复数

更新 2026年10月7日

复数有实部和虚部，写成 a + bi。虚数单位 i 由 $i^2=-1$i² = −1 定义。这样的数放不进一条数轴，所以复数住在一个平面上，在这个平面上，加法是平移，乘法是旋转。

负数的平方根是什么？

负数没有实数的平方根，因为每个实数的平方不是零就是正的，所以 $x^2=-1$x² = −1 在数轴上无解。数学的回应是定义一个新的数 i，它的平方是 −1。这样每个负数都有两个平方根：−16 的平方根是 4i 和 −4i，因为 4i 平方得 $16\times i^2$16 × i²，而 16 × (−1) = −16。一般而言，对任何正数 a，$\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$√(−a) = i√a，所以 $\sqrt{-25}=5i$√(−25) = 5i。这个定义行得通，是因为 i 遵守代数所有的一般规则，只多了一个事实：$i^2$i² 不论出现在哪里都等于 −1。有一条规则确实要改。$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a × √b = √(ab) 这条法则只在 a 和 b 都不是负数时才成立，所以 $\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}$√(−1) × √(−1) 是 i × i = −1，不是 $\sqrt{1}=1$√1 = 1。要检验一个平方根，就把它平方：5i 平方得 $25\times i^2$25 × i²，而 25 × (−1) = −25，正是你一开始的那个数。

有了 i 由 $i^2=-1$i² = −1 来定义，其他负数的平方根也就随之而来：$\sqrt{-9}=\sqrt{9}\times \sqrt{-1}=3i$√(−9) = √9 × √(−1) = 3i。算式里有 i 时，代数照样能用：像以前一样展开括号，并在 $i^2$i² 出现的每个地方换成 −1。详见 虚数单位。

i 的次方以四个为一个循环重复：i, −1, −i, 1。要求 i²⁰²⁷，把指数除以 4，只留余数。因为 2027 = 4 × 506 + 3，i²⁰²⁷ $=i^3=-i$= i³ = −i。详见 i的幂。

复数要怎么相加和相乘？

复数相加时，实部与虚部分开相加：(3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i，因为 3 + 1 = 4，2 − 5 = −3。详见 复数的加法。相乘时，把括号当成 i 是一个字母那样展开，再把 $i^2$i² 换成 −1：(2 + i)(3 + 4i) 得 $6+8i+3i+4i^2$6 + 8i + 3i + 4i²，也就是 2 + 11i。加法从不混合两个部分，因为实数和 i 的倍数是不同类的项，就像 3 和 2x 一样；乘法则会混合，因为 i × i 是实数。除法还要多一步：分子分母同乘分母的共轭复数，让分母变成实数。模是相乘的，可以用来验算乘积：$|2+i{|}^2$|2 + i|² 是 5，$|3+4i{|}^2$|3 + 4i|² 是 25，$|2+11i{|}^2$|2 + 11i|² 是 4 + 121 = 125 = 5 × 25。

完整写出来，并把 $i^2$i² 换成 −1：

$\left(3+2i\right)\left(1-5i\right)=3-15i+2i-10i^2=3-13i+10=13-13i$(3 + 2i)(1 − 5i) = 3 − 15i + 2i − 10i² = 3 − 13i + 10 = 13 − 13i.

最后一步是最容易出错的地方：$-10i^2$−10i² 是 −10 × (−1) = +10，不是 −10。详见 复数的乘法。

用共轭复数做除法

a + bi 的共轭复数是 a − bi。一个数乘以它的共轭复数必定是实数，因为中间项互相抵消，$-b^2{i}^2$−b²i² 变成 $+b^2$+b²：$\left(a+\text{bi}\right)\left(a-\text{bi}\right)=a^2+b^2$(a + bi)(a − bi) = a² + b²。详见 共轭复数。

这和分母含有根式时做的分母有理化，是同一招。详见 复数的除法。

(4 + i) / (2 − 3i) = (4 + i)(2 + 3i) / ((2 − 3i)(2 + 3i)) = (5 + 14i) / 13.

方程里的复数是从哪里来的？

当二次方程的判别式为负时，就会出现复数。它的图形碰不到 x 轴，所以没有实根，但只要把 $\sqrt{-1}$√(−1) 写成 i，求根公式照样管用。对 $x^2-4x+13=0$x² − 4x + 13 = 0，判别式 $b^2-4ac$b² − 4ac 是 16 − 52 = −36，而 $\sqrt{-36}=6i$√(−36) = 6i，所以 $x=\left(4\pm 6i\right)$x = (4 ± 6i) / $2=2\pm 3i$2 = 2 ± 3i。详见 二次方程的复数根。公式能保留下来，是因为产生它的配方法从不要求平方根是实数。判别式的正负把各种情形分开：为正时有两个实根，为零时有一个重根，只有为负时才带进 i。用系数检验这一对根：两根相加是 2 + 2 = 4，即实部之和，相乘是 $2^2+3^2=4+9=13$2² + 3² = 4 + 9 = 13，这和这个方程的 $-\frac{b}{a}$−b/a 与 $\frac{c}{a}$c/a 相符。

这两个根互为共轭复数。当系数是实数时，非实数的根一定成对出现，且互为共轭复数。

所以系数为实数的三次方程，要嘛有三个实根，要嘛有一个实根加一对共轭复数根，它的图形一定会穿过 x 轴。已知一个非实数的根，它的共轭复数就是第二个根。把这两个对应的因式相乘，得到一个实系数的二次式，再用它去除三次式，就能求出那个实根。详见 三次方程的复数根和二次方程与多项式指南。

复数长什么样子？

复数看起来像平面上的一个点。把 a + bi 画在 (a, b)，实部沿水平轴，虚部沿垂直轴向上；这个平面叫作阿尔冈图。详见 复平面。−2 + 3i 这个点在原点左边 2、上面 3。一个点也可以用它到原点的距离（模）和它与正实轴的夹角（辐角）来表示。需要平面，是因为复数有两个独立的部分，而一条线只容得下一个。乘以 i 会让每个点逆时针转四分之一圈：$i\left(2+i\right)=2i+i^2=-1+2i$i(2 + i) = 2i + i² = −1 + 2i，所以 (2, 1) 移到 (−1, 2)。长度也证实了这个转动。两个点到原点的距离都是 $\sqrt{5}$√5，因为 $2^2+1^2=5$2² + 1² = 5，而 ${\left(-1\right)}^2+2^2=1+4=5$(−1)² + 2² = 1 + 4 = 5。

模 |z| 是它到原点的距离。指向 a + bi 的箭头，是以 a 和 b 为两股的直角三角形的斜边，所以 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$|z| = √(a² + b²)。3 + 4i 的模是 $\sqrt{9+16}=5$√(9 + 16) = 5。详见 复数的模。

辐角是箭头与正实轴所夹的角，从正实轴起逆时针量，而在同一个三角形里 $\tan \theta =\frac{b}{a}$tan θ = b/a。计算机的反正切只会给出 −90° 到 90° 之间的角，所以对第二或第三象限的点，要先画出图，再加减 180° 来修正。详见 复数的辐角。

用模 r 和辐角 $\theta$θ 来写一个数，就是极坐标形式：$z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$z = r(cos θ + i sin θ)，因为实部是 $r\cos \theta$r cos θ，虚部是 $r\sin \theta$r sin θ。详见 极坐标形式和$r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$r(cos θ + i sin θ) 的写法。

除法是把这两步倒过来：模相除，辐角相减。详见 极坐标形式的除法。

什么是棣莫弗定理？

棣莫弗定理是极坐标形式中整数次方的规则：$\left[r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\right]$[r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ$\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)$(cos nθ + i sin nθ)。把 z 取 n 次方，就是把模取 n 次方，并把辐角乘以 n。对 z = 2(cos 30° + i sin 30°)，它的立方的模是 2 × 2 × 2 = 8，辐角是 30° 的三倍，即 90°，所以 $z^3=8i$z³ = 8i。详见 棣莫弗定理。这个定理成立，是因为复数相乘时模相乘、辐角相加，而次方就是重复的乘法；对 n 用数学归纳法就是证明。较大的次方还要多一步：超过 180° 的辐角，要减去 360°，拉回 −180° 到 180° 的范围，所以 300° 变成 −60°。用直角坐标形式验证这个例子：$z=\sqrt{3}+i$z = √3 + i，它的平方是 $2+2\sqrt{3}i$2 + 2√3 i，再乘以 $\sqrt{3}+i$√3 + i 就得到 8i。

一个用途是推导三角恒等式。用二项式定理展开 ${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^3$(cos θ + i sin θ)³，再把实部和 $\cos 3\theta$cos 3θ 对照。把 ${\sin }^2\theta$sin²θ 换成 $1-{\cos }^2\theta$1 − cos²θ，得到 $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ。详见 棣莫弗定理求多倍角公式。

反方向是把 $\cos \theta$cos θ 的次方变成多倍角的余弦，这是积分之前需要的形式。若 |z| = 1，则 $\frac{1}{z}$1/z 是 z 的共轭复数，所以 $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$z + 1/z = 2 cos θ，且 zⁿ $+\frac{1}{z}$+ 1/zⁿ $=2\cos n\theta$= 2 cos nθ。详见 $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$z + 1/z = 2 cos θ 恒等式。

棣莫弗定理也能求余弦级数的和：$\cos k\theta$cos kθ 的和是 z^k 之和的实部，而那是公比为 z 的等比级数。详见 用棣莫弗定理求级数和和数列与级数指南。

单位根

方程 zⁿ = 1 有 n 个解，每个解的模都是 1，辐角依次是 0°、$\frac{360^{\circ }}{n}$360°/n、$2\times \frac{360^{\circ }}{n}$2 × 360°/n，依此类推，因为这些角乘以 n 都刚好是整数圈。详见 单位根。

依序连起来，它们是一个正多边形的顶点：1 的五次方根构成一个正五边形。详见 单位根构成的正多边形。

同样的方法可以求任何复数的 n 次方根。取模的实数 n 次方根，把辐角除以 n，再每次转 $\frac{360^{\circ }}{n}$360°/n，收集其余的根。8i 的三个立方根，模都是 2，辐角分别是 30°、150° 和 270°。详见 复数的n次方根。

这一切的背后是指数式。把 $x=i\theta$x = iθ 代入 e^x 的级数，各项就分成余弦和正弦的级数，所以 e^$i\theta$iθ $=\cos \theta +i\sin \theta$= cos θ + i sin θ，而每个复数都是 re^$i\theta$iθ。棣莫弗定理就成了指数律 (e^$i\theta$iθ)ⁿ = e^in$\theta$θ。详见 复数的指数形式。

怎样把复数方程当成图来读？

把每个模读成距离，把每个辐角读成方向：|z − a| 是 z 到点 a 的距离，所以 |z − a| = r 是圆心为 a、半径为 r 的圆。例如，|z − 3 + 2i| = 4 是圆心在 3 − 2i、半径为 4 的圆，因为 z − 3 + 2i 就是 z − (3 − 2i)。在读出圆心之前，一定要先把式子改写成 z 减去一个数。这个图像行得通，是因为 z − a 是从 a 指向 z 的箭头，而模就是长度。有两个模时，|z − 1| = |z − 5| 说的是 z 到 1 和到 5 一样远，所以它是中垂线：通过 (1 + 5) ÷ 2 = 3 的垂直线。检验一个点：z = 7 − 2i 使 z − 3 + 2i 等于 4，而它的模是 4。

|z − a| = |z − b| 说的是 z 到 a 和到 b 的距离相等，所以 z 落在 a、b 两点连接段的中垂线上。详见 复平面上的圆和中垂线。

固定辐角会得到一条射线：arg(z − a) = 45° 是从 a 出发、指向 45° 的射线。把等号改成不等号，就会涂出一个区域：$|z|\le 3$|z| ≤ 3 是半径 3 的整个圆盘，而严格不等号则不含边界。详见 复平面上的射线和区域。

值得点名的错误

• 丢了 $i^2$i² 的负号。 $-10i^2$−10i² 是 +10，因为 $i^2=-1$i² = −1。
• 相信计算机的反正切给出辐角。 它给出的角在 −90° 到 90° 之间。要画出该点，在第二或第三象限时加上或减去 180°。
• 写成 $\sqrt{-4}\times \sqrt{-9}=\sqrt{36}=6$√(−4) × √(−9) = √36 = 6。 规则 $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a × √b = √(ab) 只在 a、b 都是非负数时成立。要先转换：$2i\times 3i=6i^2=-6$2i × 3i = 6i² = −6。
• 忘了非实数的根是成对出现的。 若 2 + 3i 是根而系数是实数，则 2 − 3i 也是根。
• 只给出一个 n 次方根。 一个复数有三个立方根，平均分布在一个圆上。

接下来往哪里走

旋转在这里是乘以一个复数，在矩阵指南里则是一个 2 × 2 矩阵。恒等式 e^$i\theta$iθ $=\cos \theta +i\sin \theta$= cos θ + i sin θ 来自数列与级数指南里的麦克劳林级数，而二次方程与多项式指南里的每个多项式，只要容许复数，就有完整的一组根。