整数与位值

更新 2026年10月13日

十个数字，写出了古往今来的每一个整数。这不是巧合，也不是一个随便换掉也行的约定 —— 它是同一个想法，一遍一遍地用：一个数字值多少，取决于它坐在哪里，而每一列都值右边邻居的十倍。

位值是什么，为什么要紧？

位值就是数字的值取决于它所在的那一位，每一位的值都是右边那一位的10倍。在 3,507 里，3 在千位，所以表示3,000；5表示500；0表示没有十；7表示7个一。把各部分加起来就还原成原数：3,000 + 500 + 0 + 7 = 3,507。这样成立，是因为十个一凑成一个十，十个十凑成一个百，十个百凑成一个千，所以十个数字就够写出任何整数。0是最容易让人出错的情况。它把十位占着，没有它的话，3、5、7 就都会往右挪一位，3,507 就变成 357，大约小了十倍。要检验一个数，就一位一位大声读出来：三千，五百，没有十，七个一。

孩子是分阶段遇见它的，而每个阶段都是实打实的一步，不是同一件事的更多遍。数数最先来：数到十敲定“你说出的最后一个词就是有多少”，一加一让第一道加法先是一幅画，而不是一条要背的口诀。写出二十以内的数是把写下的符号和嘴里的词对上号的地方 —— 对五岁的孩子来说这工作量惊人。

比较是和数数并肩到的，不是排在它后面。多与少教的是把东西一对一配起来比，所以答案不押在数得准不准上。而数对 —— 凑五的数对，然后凑十的数对 —— 是后面一切都靠着的那一小把口诀，因为十正是整个体系围着搭的那个数。

一个数怎么长过十？

一个数长过十，靠的是打捆：十个一凑成一个十，那个十写进左边新的一位。数8、9、10，个位的数字用完了，就回到0，十位变成1。十位和个位把这种打捆画成一捆十个方块，所以34就是3捆加4个散的，3 × 10 + 4 = 34。这样成立，是因为每一位只能装0到9的数字，第十个东西总会变成下一位的一个。装满的一位会向下一位进位。给99加1：个位到十变成进位，填满了十位，十位也进位，所以 99 + 1 = 100。数到一百把这个规律重复到感觉理所当然为止。要检验，就把这个数重新分组：100 是十个十，10 × 10 = 100。

然后同一件事原样再来。十个十是一百（百），十个一百是一千（千的方块，把一千画成一整块立方体，让从扁平的一百跳上来这一步看得见），同一个动作再做三次就到一百万 —— 这是数到一百万的主题。

4,207,000 读作四百二十万零七千。那些逗号不是装饰 —— 它们把数字三个一组，好让“千”和“百万”这些词在读出声时落在该落的地方。

怎么给一个数四舍五入，凑到哪一位？

要给一个数四舍五入，就看要保留的那一位后面紧跟的一位数字：5或更大就进位，4或更小保留位就不变，保留位之后的每一位都变成0。要把 2,650 凑到最近的千，保留千位的2，看百位的数字6，进位得到3,000。这样成立，是因为 2,650 落在 2,000 和 3,000 之间，从 2,500 起的每个数都更靠近 3,000。凑到哪一位由用途决定：快速估算用最近的十，大额金额用百或千。9进位时会连带进位：把 3,960 凑到最近的百，9个百变成十个百，发生进位，答案是 4,000。要检验，答案应该是保留位的倍数，并且离原数不超过半步。

3,470 凑到最近的百 $\to$→ 十位是 $7\to 3$7 → 3,500。 3,428 凑到最近的百 $\to$→ 十位是 $2\to 3$2 → 3,400。

凑到最近的十在数轴上开这个头，“往上还是往下”在那里明明白白就是“你离哪个刻度更近”；凑到最近的百和千展示同一个动作往左挪一列，分毫不变。

什么时候改用有效数字？

在数的大小事先不知道的时候。小数位从小数点数起；有效数字从第一个非零数字数起，所以不管数是一百万还是一个千分之一，它保住的细节比例相同。有效数字把数法定准，包括从来不算数的前导零和有时算数的末尾零。

一位有效数字就够在信任几乎任何计算之前先验它一验 —— 一位有效数字估算把 38 × 512 在一秒钟里变成 40 × 500 = 20,000，这正好够你逮住一个算成 1,945 或 194,560 的答案。估算指南把这个习惯讲透。

四舍五入也有代价，而且代价能说得一清二楚。界限与误差区间说明：记到最近一厘米的 24 cm，其实落在 $23.5\le x<24.5$23.5 ≤ x < 24.5 里的某处；百分误差再把这道缝变成一个比例 —— 正是这种形式，才让桥上的误差和螺栓上的误差比得起来。

负数是什么？

负数是数轴上0以下的数，写的时候带一个负号：−3 是在0下方三步的位置，就像3是在0上方三步一样。2度的气温下降5度会变成−3度，因为 2 − 5 = −3：先下降两步到0，再下降三步到0以下。负数遵守和正数一样的规则，因为它们在同一条数轴上，唯一新的是方向。加法向右移动，减法向左移动，符号告诉你这个数在0的哪一边。负数会把比大小的方向反过来。在数轴上，−8 比 −2 更靠左，所以尽管8比2大，−8 才是较小的数。减去一个负数是另一种情况，它会向右移动：4 − (−2) = 6。要检验，就在数轴上数步数，或者反过来算一遍：−3 + 5 = 2。

零下在负数本来就住着的地方介绍它们：气温、地下楼层、欠的钱。负数排大小接着钉死那个人人都栽过的比较 —— −7 比 −3 小，因为它更靠下，哪怕 7 比 3 大。

跨过零的加减

加法向右走，减法向左走，不管你从零的哪一边出发。跨过零的加减专练这些穿越：−4 + 7 = 3 是先四步爬到零，再往前三步。

减去负数是那个需要理由、光有规则不够的动作，减去负数给了两个。第一个是规律：5 − 1 = 4，5 − 0 = 5，5 − (−1) = 6，每次涨一，在换号的地方没有一丝裂缝。第二个是含义：拿走一笔三块钱的债，你就宽裕了三块，所以 5 − (−3) = 8。

绝对值是只关心距离的那些时刻用的工具。|−7| = 7 —— 离零多远，不管朝哪边 —— 有了它，一条公差写一遍就够，不用写两遍。

为什么两个负数相乘得正

因为乘一个负数是调转方向，调转两次就又朝前了。负数的乘除把同一个论证摆成一条不肯断的规律：

3 × (−2) = −6，2 × (−2) = −4，1 × (−2) = −2，0 × (−2) = 0。每个答案比上一个高 2。让这条平稳的爬升继续走，就得到 (−1) × (−2) = 2。

不用代数怎么解整数应用题？

很多整数应用题都有一个眼熟的样子，每种样子都有一套不用给未知数设字母就能用的办法。每种办法其实也是一个乔装过的方程，列方程把同一类题目用一个字母写一遍就能看出来。六种样子覆盖了大部分：间隔问题、假设法、盈亏问题、两次称重的容器、倒推，还有消去法。第一种是间隔问题。一道 60 米长的篱笆，每隔 4 米一根柱子，从一头到另一头，有 60 ÷ 4 = 15 个间隔，柱子比间隔多一根，所以是 16 根柱子。先数间隔，因为量出来的长度除的正是间隔。一座打3点要4秒的钟，3声之间有2个间隔，所以每个间隔2秒，打7点，6个间隔，要12秒。

假设法处理混在一起的两种东西。一个农场有鸡和兔子共20只，腿一共56条。假设20只全是鸡：那是40条腿，少了16条。每把一只鸡换成兔子就多2条腿，所以兔子有 16 ÷ 2 = 8只，鸡有12只。验算一下：8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56。盈亏问题比较两种分法。每个孩子分4支铅笔，剩10支，每个孩子分6支，差6支。第二种分法比第一种多需要 10 + 6 = 16支铅笔，每个孩子多拿2支，所以有 16 ÷ 2 = 8个孩子，铅笔 4 × 8 + 10 = 42支。验算：6 × 8 = 48，比42多6。

两次称重的容器靠减法把里面装的东西算出来。一罐装满米重1500 g，装到一半重900 g。差的600 g是半罐米的重量，所以整罐米是1200 g，空罐子重 1500 − 1200 = 300 g。倒推把每一步按相反的顺序还原。有人拿走一叠卡片的一半，又多拿了3张，剩下9张。在多拿的那3张被拿走之前，有 9 + 3 = 12张，这12张正是剩下的那一半，所以这叠卡片一开始是24张。往前验算：24的一半是12，拿走了 12 + 3 = 15张，剩下 24 − 15 = 9张。乘和除互相抵消就是这背后的道理。

消去法比较两张有一样东西重复出现的购物清单。2支笔加3把尺子要13美元，2支笔加1把尺子要9美元。两张单子里的笔都一样，所以4美元的差就是2把尺子的价钱，一把尺子2美元。那么2支笔是 9 − 2 = 7美元，一支笔就是3美元50美分。要是没有东西对得上，就先把一张清单乘一个数，让它对上：用消去法解联立演示了怎么做。余数要放回它的情境里去读，就像 余数 教的那样：38人坐能载4人的出租车，需要10辆，不是9.5辆也不是9辆，因为多出来的2人也得有车坐。

四个值得点名的错误

• 把零读成没有。零撑开一列。把 4,207,000 里的零丢掉，不是把数变短，是把它缩小一万倍。
• 分两步凑整。3,449 凑到最近的百是 3,400。先凑成 3,450 再凑成 3,500，是让一个数字投了两次票。
• 把 −7 当得比 −3 大。离零更远不等于更靠上。比的是数轴上的位置，不是贴了个符号的大小。
• 把前导零算进有效数字。0.00427 是三位有效数字，不是五位。有效性从第一个不是零的数字才开始。

接下来通向哪里

位值是竖式方法站着的地基：进位和借位就是动起来的位值，它们在心算与竖式算术方法指南里一步步过。把列往个位的右边延伸，而不是左边，就得到十分位和百分位 —— 那是小数指南和更完整的小数、百分数与利息（英文）阶梯的主题。而追问哪些整数整除哪些，会走进因数、倍数与质数（英文）。