2 到 12 的整除判别法

更新 2026年10月7日

整除判别法能让你不做除法，就知道一个数能不能被另一个数整除。下面每一条都附上成立的原因，因为看得懂原因的规则，忘记时也能自己重新推出来。

整除判别法有哪些？

整除判别法能让你不做除法，就知道一个数能不能整除。一个数的个位数字是偶数，就能被 2 整除；个位是 0 或 5，能被 5 整除；个位是 0，能被 10 整除。末两位数能被 4 整除，这个数就能被 4 整除；末三位数能被 8 整除，就能被 8 整除。各位数字的和是 3 或 9 的倍数，就能被 3 或 9 整除；从个位起，把各位数字交错标上 + 和 −，加起来是 0 或 11 的倍数，就能被 11 整除。以 5,832 为例：个位是 2，所以能被 2 整除；各位数字相加 5 + 8 + 3 + 2 = 18，所以能被 3 和 9 整除。下面各节会说明每条规则为什么成立。要判别 6、12 和 15，就合并两条数字之间没有公因数的规则。用除法可以验证结果：5,832 ÷ 9 = 648。

本页其余的部分是在说明原因。原因分成三类：末几位、各位数字的和，以及交错和。

为什么 2、5、10、4 和 8 只看末几位？

之所以只看末几位，是因为数的其他部分，早就是除数的倍数了。10 是 2、5 和 10 的倍数，所以数中所有的十都能被这三个数整除，只剩个位数字需要检查。100 是 4 的倍数，因为 100 = 4 × 25，所以每一个一百都能被 4 整除，只有末两位数有影响。以 9,136 为例：它是 91 个一百加上 36，不论 91 是多少，这些一百都能被 4 整除，而 36 = 4 × 9，所以 9,136 能被 4 整除。1,000 是 8 的倍数，因为 1,000 = 8 × 125，所以判别 8 要看末三位数。只看两位不够，因为 100 不是 8 的倍数。例如 116 的末两位 16 能被 8 整除，但 116 不能。用除法可以验证 4 的判别：9,136 ÷ 4 = 2,284。

把 3,746 写成 374 个十加上 6。每一个十都是 10，10 能被 2 整除，所以不论 374 是多少，这整堆十都能被 2 整除。只有 6 可能破坏它，而 6 是偶数，所以 3,746 能被 2 整除。

所以 4,312 是 4 个一千加上 312，一千的部分不用管，312 = 8 × 39 就决定了结果。

为什么 3 和 9 可以用各位数字的和来判别？

各位数字的和之所以管用，是因为每一个位值都比 9 的某个倍数多 1：10 是 9 + 1，100 是 99 + 1，1,000 是 999 + 1。以 513 为例：它的 5 个一百是 5 × 99 再多 5，1 个十是 1 × 9 再多 1，还有 3 个一。由 99 和 9 组成的部分都是 9 的倍数，不会影响余数，剩下的是 5 + 1 + 3 = 9，就是各位数字的和。所以 513 和 9 一样，能被 9 整除：513 = 9 × 57。3 的判别法顺便就有了，因为 9 的倍数也都是 3 的倍数。如果各位数字的和还很大，就把它的各位数字再加一次：8,976 的各位数字和是 30，3 + 0 = 3，所以它能被 3 整除，但不能被 9 整除。用除法验证：8,976 ÷ 3 = 2,992。

以 471 为例：它是 4 个一百、7 个十和 1。把每个一百写成 99 + 1，每个十写成 9 + 1：

1. 471 = 4 × 100 + 7 × 10 + 1
2. = 4 × (99 + 1) + 7 × (9 + 1) + 1
3. = (4 × 99 + 7 × 9) + (4 + 7 + 1)

第一个括号完全由 99 和 9 组成，所以是 9 的倍数，对余数没有贡献。剩下的是 4 + 7 + 1 = 12，也就是各位数字的和。所以 471 和 12 除以 9 的余数相同，而 471 能被 3 整除，正好当 12 能被 3 整除时。

8,946 的各位数字相加是 27，27 的各位数字相加是 9，所以 8,946 能被 9 整除。

怎么判别 11？

判别 11：从个位数字开始标 +，往左 + 和 − 交错标上各位数字，再加起来。总和是 0 或 11 的倍数，这个数就能被 11 整除。以 3,729 为例，总和是 9 − 2 + 7 − 3 = 11，所以 3,729 能被 11 整除，而 3,729 = 11 × 339。这个判别法成立，是因为 10 比 11 少 1，所以各个位值轮流往后数、往前数。总和是 0 也算通过：5,654 得到 4 − 5 + 6 − 5 = 0，而 5,654 = 11 × 514。总和是负的 11 的倍数也算：8,294 的总和是 4 − 9 + 2 − 8 = −11，所以 8,294 能被 11 整除。其他的总和，例如 3 或 14，就表示这个数不能被 11 整除。做除法可以验证：8,294 ÷ 11 = 754。

对 11 来说，10 相当于 −1，100 相当于 +1，1,000 又相当于 −1，往下每个位值都这样轮流。

怎么判别 6、12 和 15？

判别 6、12 或 15，把这个数拆成两个没有公因数的因数，再检查两条规则是否都通过。6 是 2 × 3，12 是 3 × 4，15 是 3 × 5。以 2,316 为例：各位数字相加是 12，所以能被 3 整除；末两位是 16，所以能被 4 整除。两个判别都通过，所以它能被 12 整除，而 2,316 = 12 × 193。判别 15：4,035 的个位是 5，各位数字相加是 12，所以能被 15 整除。这个方法成立，是因为一个数能被 3 和 4 整除，而 3 和 4 没有公因数，所以这个数必然含有 3 × 4 这个因数。12 也是 2 × 6，但这一对不行：18 能被 2 和 6 整除，却不能被 12 整除，因为 2 和 6 有公因数 2。用除法可以消除疑虑：4,035 ÷ 15 = 269。

两个因数不能有公因数，这个条件就是全部的关键，也是最容易出错的地方。12 也是 2 × 6，但 2 和 6 都是偶数，所以两个都通过，能证明的比看起来少：

7 有判别法吗？

7 有判别法：去掉个位数字，把它乘以 2，再从剩下的数减去。如果结果是 7 的倍数（包括 0 或负的倍数），原来的数也是 7 的倍数。重复这个步骤，直到数小到一眼就看得出来。以 1,358 为例：去掉 8 剩 135，135 − 16 = 119。去掉 9 剩 11，11 − 18 = −7，是 7 的倍数，所以 1,358 能被 7 整除。这个步骤不会改变一个数能不能被 7 整除，因为它只是减去 7 的倍数，再除以 10，而 10 没有 7 这个因数。如果结果不是 7 的倍数，原来的数也不是：123 得到 12 − 6 = 6，所以 123 不能被 7 整除。用除法验证第一个例子：1,358 ÷ 7 = 194。

它成立，是因为乘以 10 不会产生或消除 7 这个因数。如果缩短后的数 a − 2b 能被 7 整除，那么它的十倍也能；而它的十倍和原来的数 10a + b 恰好差 21b，也就是每个 b 差三个 7。

坦白说：这是本页唯一一条，常常比省下来的除法更费事的规则。861 用它很快；遇到六位数，直接除以 7 通常更快。

这个主题在学习阶梯中的位置

整除是你化简分数、找公分母、找质因数时用的工具，每一件事都从“什么能整除它？”开始。

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