小数、百分数与利息

更新 2026年9月25日

小数、百分数和利息是同一个学科戴着三顶帽子。小数是分母为十的乘方的分数；百分数是大家约定分母为一百的分数；而利息，就是把一个百分数反复应用之后发生的事。

这一页把这条阶梯从头走到尾，而且大部分篇幅都花在远的那一端——百分数变化、逆百分数、复利和贷款的算法——因为钱就在那里，代价高昂的错误也在那里。如果你想直接了解小数运算怎么做，小数指南和百分数指南会单独回答那些问题。

小数的每一位是什么意思

小数点右边每移一位就小十倍，正如左边每移一位就大十倍。小数引入十分位，百分位接着讲下一列，千分位讲再下一列——到这时候，规律本身就在讲课了。

3.47 = 3 个一 + 4 个十分之一 + 7 个百分之一。

比较小数解决了那个比其他错误都顽固的误解：位数多不代表数大。0.9 > 0.35，因为九个十分之一比三个半十分之一大。把位数补齐——0.90 对 0.35——就一目了然了。而0.5 就是二分之一把那几个值得一眼认出的小数钉死在心里，让大多数日常问题都用不着计算。

小数乘以和除以 10 与 100这节课把"加个零"换成了真正正确的说法：数字在移动，小数点没动。对整数来说这个区别看不出来，一旦出现小数点，它就说了算。

四则运算

对齐小数点是加法的规则，竖式加法和竖式减法把它用到笔算里。$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. 对齐小数点，才能让十分位压着十分位；对齐右边的末尾，会把十分位加到百分位上去。

数小数位讲的是乘法：先不管小数点，照常相乘，再数一数两个因数一共有多少位小数，把小数点点到那么远。$0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → 两位 $\to 0.12$→ 0.12.

小数除以整数处理的是除以一个整数，小数点会直接往上升进答案里。除以一个小数处理另一种情况，做法是把两个数一起放大，直到除数变成整数：$12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30。答案比 12 大是对的——一件东西里能装下很多小碎片。

把小数四舍五入到一位、两位小数收尾这部分运算：只有一个数字说了算，就是你要保留的那一位后面紧跟的那一位。

什么是百分数？

百分数就是以一百为分母的数：percent 这个词的意思是"每一百中"，所以 30% 就是 $\frac{30}{100}$30/100。百分数从这里讲起，分数、小数与百分数把写同一个数量的三种方式连在一起。要求一个数量的百分之几，先除以十求出 10%，再从它搭出其他的。求 70 的 30%，10% 是 7，所以 30% 就是三倍那么多，21。同样的算式写成分数就是 $\frac{30}{100}\times 70=21$30/100 × 70 = 21。固定的分母 100 让百分数很容易比较。20 题中对 13 题换算成 $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65$13/20 = 65/100 = 65%，可以直接和另一场测验的 60% 比较。当部分比原来的整体还大时，百分数可以超过 100：40 的 150% = 60。用一半来检验：30% 小于 50%，所以答案必须小于 70 的一半，而 21 确实小于 35。

求一个数的百分之几是最核心的一招，心算的路子是从简单的搭出难算的：除以十求 10%，把它减半求 5%，除以一百求 1%。35% 的 $240\to 24+24+24+12=84$240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84。用百分数比较说的正是百分数存在的理由——25 题对 18 题和 40 题对 26 题很难排出高下，直到它们变成 72% 和 65%。

怎么求百分数变化？

要按百分数改变一个金额，就乘以一个单一的数。涨 15% 剩下 100% + 15% = 115% 的原值，所以乘数是 × 1.15。跌 15% 剩下 85%，所以乘数是 × 0.85。百分数增长和打折扣用的都是这个方法。一个价格为 60 的东西涨 15%，新价格是 $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69。乘数一步就能求出新金额，而不必先求出那部分再加上去，分成两步。反过来，要从两个金额求出百分数变化，就拿变化量除以原来的金额，绝不能除以新的金额。价格从 60 变成 69，变化量是 9，而 $\frac{9}{60}=15$9/60 = 15%。如果改成除以 69，会得到一个偏小、错误的百分数。用两步法算一遍可以验证答案：60 的 15% = 9，60 + 9 = 69。

240 涨 15% $\to 240\times 1.15=276$→ 240 × 1.15 = 276。 80 打 85 折 $\to 80\times 0.85=68$→ 80 × 0.85 = 68。

百分数变化把这个过程反过来跑一遍。$40\to 50$40 → 50是 $\frac{10}{40}=25$10/40 = 25% 涨； $50\to 40$50 → 40是 $\frac{10}{50}=20$10/50 = 20% 跌。同样是十，却是两个不同的百分数，因为参照的基准变了。

逆百分数

逆百分数值得放慢速度，因为错误的方法算出来的结果，看着也挺像那么回事。如果一件外套打 85 折后是 68，那么 68 就是原价的 85%，所以原价是 68 ÷ 0.85 = 80。把 68 的 15% 加回去，得到 78.20——错了，因为折扣从来不是按售价算的百分数。

折旧把同一个乘数反复往下用。一辆车每年贬值 18%，每年就值原来的 × 0.82，所以三年后还剩 $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551——大约是原价的 55%，而不是把 18% 减三次会让人以为的 46%。

单利还是复利？

单利总是按原始金额来算，复利则按余额来算，所以利息本身也会生出利息。单利展示的是直线增长的情形。2,000 按每年 10% 存 3 年，单利每年付 2,000 的 10% = 200，所以一共是 200 × 3 = 600。用复利的话，每年的利息要在算下一年之前先加进去。余额从 2,000 涨到 2,200，再算 2,200 的 10% = 220，变成 2,420，再算 2,420 的 10% = 242，变成 2,662。这一共是 662 的利息，比单利的总数多 62。这个差额完全来自"利息生利息"，这也是为什么这个差距一开始很小、多年之后却很大。第一年两种方法付的一样多。从那之后，复利应该总是领先，这是检验任何答案的一个快速办法。

复利就是把乘数每期应用一次：1,$000\times 1.05^3=1$000 × 1.05³ = 1,157.63，也就是 157.63 的利息。单利对复利把两者并排放在一起，老实说，这个差距一开始不起眼，到后来却大得惊人——按 5% 存 30 年，单利付 1,500，复利付 3,322。

一年计息不止一次回答了下一个问题。年利率 6%，按月复利，意味着 0.5% 算十二次，也就是 $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617——实际年利率是 6.17%。计息越频繁付得越多，但增量很快就会缩小，逼近一个上限，而不是无限往上涨。

借贷的算法是怎样的？

借贷是从另一个方向看的复利。货币的时间价值定下了这个原则：手上现在的钱可以生息，所以不同日期的金额没法直接比，除非把一个挪到另一个的日期上。按每年 5%，今天的 1,000 一年后长成 1,$000\times \frac{105}{100}=1$000 × 105/100 = 1,050。用除法把钱挪回来，所以一年后到期的 1,050，相当于今天的 1,050 ÷ 1.05 = 1,000。贷款也是同样的长法。按每年 10% 借 500，借两年，你欠的是 $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605。贷款分期偿还时，每一笔还款先付利息，剩下的才用来减少余额。欠 1,000，利率 10%，年底还 300，剩下 1,000 + 100 − 300 = 800。贷款的成本是还的总数减去借的本金：这笔两年期贷款是 605 − 500 = 105。

通胀之后的实际价值把同样的折算方法用到购买力上。存款利率 3%、物价涨 4%，实际上每年大约亏 1%，而这个数字才是关键，也是表面利率藏起来的东西。

分期还款把这套时间表一路走到最后一笔还款。早期的还款大部分是利息；后期大部分是本金；每一期还款金额本身从不改变。年金的价值就是把同一串还款整体估值，是拿一笔整钱和一份收入流——养老金、租约或和解方案——比较时用的工具。

一道题，从头做到尾

一家店把一件外套标价 96，这是打 8 折之后的价格，而且这个价格已经含 9% 的税。这家店定的税前标价是多少？

从给你的这个数字往外倒推，每一步变化都用除法撤销，而不是用减法。

• 去掉税。 96 是税前售价的 109%，所以那个价格是 96 ÷ 1.09 = 88.07。
• 去掉折扣。 88.07 是标价的 80%，所以标价是 88.07 ÷ 0.80 = 110.09。
• 正着检验一遍。 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96。 这些乘数不管按什么顺序相乘都一样，这正是这个检验能这么快的原因。

如果改成先减 9% 再加回 20%，会得到 104.83，这个误差不算小。百分数链条的每一步都是一次乘法，所以撤销每一步都要用除法。

值得点名的四个错误

• 把连续的百分数直接相加。 打 8 折再打 9 折，一共是省了 28%，不是 30%。要把乘数相乘。
• 用加回去的方式撤销折扣。 应该用乘数去除；折扣是按原价算的百分数，不是按售价算的。
• 求百分数变化时除以新金额。 原来的金额永远是基准。
• 把百分数和百分点弄混。 一个利率从 4% 变到 5%，涨了一个百分点——但涨了 25%。

接下来学什么

小数是用另一种记号写的分数，所以分数阶梯（英文）讲的是同一批内容，只是早一步。比较两个量，而不是拿部分对整体，就是比、比率与比例（英文）。而复利乘数应用 n 次，就是一个指数函数，这正是位值最终把接力棒交给代数的地方。

在游戏里练习

Math Challenge 把上面每一级台阶都教成配图的课程，从十分位方格一直到分期还款时间表，收在一套 800 多节课程的目录里。每一课都配有画出来的推导过程和试一试的题目，专门针对你答错的那一步重新讲一遍。

百分数这个主题专门练最核心的一招——求一个数的百分之几——从好算的数的 10%、25% 和 50% 开始，答对了再逐步加大难度。