36 个心算魔法技巧，每一招为什么成立
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不带理由的心算技巧，背下来也会忘掉。下面每条捷径都是一条乔装打扮的代数恒等式 —— 一旦看见了那条恒等式，招忘了也能从头重造出来，更有用的是，你分得清它什么时候适用。
这是 Math Challenge 里全部 36 节课，一条不落。
想看短版的话，心算技巧指南讲的是最常用的那十来招，每一招的篇幅更足。
全部 36 个，按顺序
- 乘 5
- 乘 9
- 乘 11
- 乘 12
- 乘 15
- 乘 25
- 99 法则
- 101 法则
- 翻倍与减半
- 平方差
- 交叉相乘
- 刚过 100
- 靠近 100，从下方
- 都以 5 结尾，相差十
- 尾数是 5 的平方
- 100 附近的平方
- 50 多的平方
- 40 多的平方
- 1000 附近的平方
- 除以 5
- 除以 25
- 除以 3
- 加上倒过来的数
- 减去倒过来的数
- 从 1000 减
- 连续奇数之和
- 从 1 加到 N（高斯）
- 裂项相消
- 芝诺悖论
- 乘方的末位数字
- 乘积的末位数字
- 数字根（模 9）
- 被 11 整除
- 大指数的循环
- 百分数对调
- 连分数里的黄金分割
乘法 — 14 招
这些几乎全是同一个动作：拿旁边一个好算的数换掉难算的那个，再补上差。
46 × (10 − 1) = 460 − 46 × 1 = 460 − 46 = 414：减去的长条是1份46，×9和×99都是这条长条
把M拖到12，读出上面加的两条长条
乘 5
48 × 5 → 48 的一半是 24 → 2405 是 10 的一半，所以 ×5 就是 ×10 再减半 —— 而在十进制里，10 是最好乘的数。
乘 9
48 × 9 → 480 − 48 = 4329 是 10 − 1，所以取十份，再还回一份。这也是 9 的乘法表里每个答案的数字相加都是 9 的原因。
乘 11
43 × 11 → 4 (4+3) 3 → 47311 是 10 + 1，所以 43 × 11 就是 430 + 43。对齐一加，十位变成 4 + 3 —— “和放中间”这条规则就是那次加法，提前做完了；这也是和到了 10 就要进位的原因。
乘 12
34 × 12 → 340 + 68 = 40812 是 10 + 2：十份，再加一个翻倍。
乘 15
34 × 15 → 340 + 170 = 51015 是 10 + 5，而 5 是 10 的一半 —— 所以先 ×10，再加上刚得出来那个数的一半。
乘 25
32 × 25 → 32 的四分之一是 8 → 80025 是 100 的四分之一。把数除以四，再乘 100。
99 法则
43 × 99 → 4300 − 43 = 425799 是 100 − 1。和 ×9 一个形状，高一个数位。
101 法则
43 × 101 → 4343101 是 100 + 1，所以得到 4300 + 43。数不满 100，两份抄本永远不会撞在一起，答案就是把这个数写两遍。
翻倍与减半
14 × 45 → 7 × 90 = 630一个因数翻倍、另一个减半，是乘了 2 又除了 2，乘积动不了。重复下去，直到某一边变成你喜欢的数。
平方差
98 × 102 → 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996在一个好算的中点两侧、距离相等的两个数，是 (m − d) 和 (m + d)，它们的乘积永远是 。
交叉相乘
23 × 12 → 2×1 | 2×2 + 3×1 | 3×2 → 2 | 7 | 6 → 276它就是 (20 + 3)(10 + 2) 的普通展开，只是按数位归拢而不是写成竖式。从左到右一遍过，没有中间行。
刚过 100
104 × 106 → 104 + 6 = 110 → 11000，再加 4 × 6 = 24 → 11024(100 + a)(100 + b) = 10000 + 100(a + b) + ab。第一步管百位，第二步管零头。
靠近 100，从下方
97 × 94 → 97 − 6 = 91 → 9100，再加 3 × 6 = 18 → 9118(100 − a)(100 − b) = 10000 − 100(a + b) + ab —— 同一条恒等式，符号翻了个面，这就是要减去对方到 100 的距离、而不是加上的原因。
都以 5 结尾，相差十
35 × 45 → 3 × 5 = 15 → 1575(10n + 5)(10n + 15) 算出来是 100 × n(n + 2) + 75，所以规则是“十位数字乘上比它大二的数，再接 75”。验一下：。
你来试试
276 × 20
31 × 16
平方 — 5 招
这几招全都锚在一个整数上，再用一个小平方来修正。
没有增加也没有减少——这个矩形就是去掉了一个d × d角的正方形，所以积恰好少了 9
做出一个比正方形小16的矩形。
尾数是 5 的平方
65 × 65 → 6 × 7 = 42 → 4225尾数是 5 的数是 10n + 5，而 。这正是那条规则：n 乘比它大一的数，末尾接 25。
100 附近的平方
96² → 96 − 4 = 92 → 9200，再加 4² = 16 → 9216。把距离减掉一次，百位就有了；剩下的正好是距离的平方。
50 多的平方
54² → 25 + 4 = 29 → 2900，再加 4² = 16 → 2916。那个 25 来自 是 2500。
40 多的平方
48² → 25 − 2 = 23 → 2300，再加 2² = 4 → 2304同一条恒等式，从上方靠近：。
1000 附近的平方
996² → 996 − 4 = 992 → 992000，再加 4² = 16 → 992016。就是 100 附近那招，高一个数位。
你来试试
是多少？
是多少？
除法 — 3 招
除以 5
130 ÷ 5 → 260 → 26除以 5 就是乘 2 再除以 10，因为 5 = 10 ÷ 2。翻倍容易，去个零不花钱。
除以 25
800 ÷ 25 → 3200 → 3225 是 100 的四分之一，所以 ÷25 就是 ×4 再 ÷100。
除以 3
5712 → 5+7+1+2 = 15，能整除 → 5712 ÷ 3 = 190410 的每个乘方除以 3 都余 1，所以不管一个数字坐在哪一位上，它对余数的贡献都只有它自己。这就是一个数和它的数字之和余数相同的原因，也是这条检验公平的原因。
你来试试
一个数能被 10 整除…
下面哪一个能被 2 整除？
加法和减法 — 3 招
加上倒过来的数
47 + 74 → 11 × (4 + 7) = 121(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)。正是这一倒，让两个数位互换、配成了对。
减去倒过来的数
82 − 28 → 9 × (8 − 2) = 54(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b)。每个这样的差都是 9 的倍数 —— 不是巧合，是恒等式。
从 1000 减
1000 − 473 → 9−4, 9−7, 10−3 → 5271000 是 999 + 1，而从 999 减什么都不用借位。每一位从 9 里减，最后一位从 10 里减，借位就整个消失了。
级数与数列 — 2 招
1 + 2 + … + n 是一个楼梯形，把它倒过来复制一份正好填满空隙
设 n = 6，把第二个楼梯滑进来
连续奇数之和
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²每个新的奇数，恰好是把一个正方形长成下一个正方形的那圈 L 形边。把前 N 个加起来，你搭出的正是一个 N × N 的正方形。
从 1 加到 N（高斯）
1 + 2 + … + 100 → 100 × 101 ÷ 2 = 5050两头配对：1 + 100，2 + 99，3 + 98 —— 五十对，每对都是 101。公式就是把这个配对写了下来。
无穷和与裂项和 — 2 招
裂项相消
1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(N×(N+1)) = 1 − 1/(N+1)每一项都是 。这样写出来，中间的每一块都被邻居抵消，只有两头活了下来。
芝诺悖论
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1每一步走掉剩下路程的一半，所以到 1 的缺口每次都减半。步数无穷多，路却还是走得完 —— 这就是“收敛”的意思。
数论 — 5 招
251 = 100a + 10b + c：每个百都是99 + 1，每个十都是9 + 1，把它们拆开，看看9吞不下什么
做出342，然后把它拆开
乘方的末位数字
7¹、7²、7³、7⁴ 的末位是 7、9、3、1 —— 然后开始循环只有上一步的个位会喂给下一步的个位，所以末位数字终究要进入循环。找出循环，再把指数化成它在圈里的位置。
乘积的末位数字
347 × 893 → 7 × 3 = 21 → 末位是 1其他每个数位都带着一个 10 的因子，而乘了 10 的东西末位都是 0。能到达个位的，只有两个个位数字。
数字根（模 9）
4573 → 4+5+7+3 = 19 → 1+9 = 10 → 1，而 4573 = 9 × 508 + 110 除以 9 余 1，10 的每个乘方也一样。所以不管数字坐在哪一位，它对余数的贡献都只有它自己。
被 11 整除
2728 → 2 − 7 + 2 − 8 = −11，所以能（2728 = 11 × 248）10 除以 11 余 −1，所以 10 的乘方在 +1 和 −1 之间交替。这正是那个交错和。
大指数的循环
7¹⁰⁰ → 循环长 4，而 100 能被 4 整除 → 末位是 1还是上面那个循环，用在一个大到没法展开的指数上。你从头到尾没算这个乘方 —— 你算的是它落在圈里的哪个位置。
你来试试
829 mod 9 等于多少？
447 mod 9 等于多少？
分数与连分数 — 2 招
百分数对调
50 的 8% → 8 的 50% = 4两边是同一个乘法，8 × 50 ÷ 100，只是读的顺序不同。百分数指南里还有更多。
连分数里的黄金分割
x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) → x = 1 + 1/x → x² = x + 1 → x ≈ 1.618这个分数里装着一份完整的它自己，所以可以把整体命名为 x，再把 x 代回它自己。一个无穷的式子，塌缩成一个一元二次方程。
拿这份清单怎么办
别想把 36 条捷径都学会。心算快的人，往往是有那么几招不假思索就伸手拿，其余的现场推。
挑两三个和你真会遇到的算式对得上的，学理由而不是背菜谱 —— 理由才能让你在题目还没读完时就知道这招用得上。要是乘法表还没到脱口而出，先从那里开始：这一页上的每条捷径，都默认你没在把工作记忆花在 7 × 8 上。
轮到你了
三题试一试，点选作答。
65²
47 + 74
130 ÷ 5
常见问题
- 心算技巧值得学吗，还是只是聚会上的把戏？
- 值得学的是有理由的那些。这一页上的每条捷径都是一条乔装打扮的代数恒等式 —— 乘 9 就是乘 10 再拿回一份，因为 9 是 10 减 1。学会恒等式，忘了招也能当场重造出来，还分得清它什么时候适用。只背菜谱，你记住的是一个没法检验的东西。
- 心算技巧该先学哪个？
- 乘 5、乘 9、乘 11，还有尾数是 5 的平方。这四个天天用得上，四个都只有一步，而且四个靠的是同一个想法：拿旁边一个好算的数换掉难算的那个，再把差补上。这个想法一旦熟了，剩下的清单就不再像清单了。
- 为什么乘 11 是把两个数字的和放到中间？
- 因为 11 是 10 加 1。43 乘 11 就是 430 加 43，两个数对齐相加时，十位正好变成 4 加 3。“把数字和放中间”这条规则，就是那次加法，提前做完了而已。这也是和到了 10 就要进位的原因。
- 判断能否被 3 或 9 整除的数字和检验法，凭什么成立？
- 因为 10 除以 3 或 9 都余 1，10 的每个乘方也一样。这意味着不管一个数字坐在哪一位上，它对余数的贡献都只有它自己。所以一个数和它的数字之和余数相同 —— 这就是把数字加起来是个公平检验的原因。