二次方程与多项式

更新 2026年10月13日

未知数的最高次幂是二的方程，就是一元二次方程。它单独占一章的原因是：它是最后一族永远服从一条能背下来的公式的方程。在它之上的一切 —— 三次、四次、五次 —— 要么碰运气因式分解，要么用数值方法解。

解它的路有三条，而且并不能互相替换。每条回答的问题略有不同，知道该伸手拿哪条，就是这门本事的大半。

怎么用因式分解解一元二次方程？

要用因式分解解一元二次方程，先把所有项挪到一边，让另一边为零，再分解成两个括号，然后让每个括号分别等于零。$x^2+5x+6=0$x² + 5x + 6 = 0 分解成 (x + 2)(x + 3) = 0，所以 x = −2 或 x = −3。这两个括号来自两个数，它们相乘等于常数项，相加等于 x 的系数：2 和 3，因为 2 × 3 = 6，2 + 3 = 5。这样成立，是因为如果两个数相乘等于零，其中一个必须是零。对于 $x^2+x=12$x² + x = 12，写成 x(x + 1) = 12 什么也证明不了；要先把12移过去，再把 $x^2+x-12$x² + x − 12 分解成 (x + 4)(x − 3)，所以 x = −4 或 x = 3。把每个根代入原方程检验：x = 3 时，9 + 3 = 12；x = −2 时，4 − 10 + 6 = 0。

应用里因式分解解二次方程这节课，把寻找这两个数练到不假思索为止。

分解不动的时候怎么办？

当一元二次方程分解不了时，就用求根公式：$x=\left(-b\pm \sqrt{b^2-4ac}\right)$x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，其中 a、b、c 取自 $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0。对 $x^2+4x+1=0$x² + 4x + 1 = 0 来说，a = 1，b = 4，c = 1。根号下的部分是 16 − 4 = 12，所以 $x=\left(-4\pm \sqrt{12}\right)$x = (−4 ± √12) / 2，化简后是 $-2\pm \sqrt{3}$−2 ± √3。这个公式就是把配方法在一般方程上做一次的结果。见求根公式，它解释了$\pm$±和2a的由来。如果 b 是负数，−b 就是正数：对 $x^2-6x+7=0$x² − 6x + 7 = 0，$b^2-4ac$b² − 4ac 是 36 − 28 = 8，所以 $x=\left(6\pm \sqrt{8}\right)$x = (6 ± √8) / $2=3\pm \sqrt{2}$2 = 3 ± √2。根号下是负数就代表没有实数解。作为检验，两个根相加等于 $-\frac{b}{a}$−b/a：$-2+\sqrt{3}$−2 + √3 和 $-2-\sqrt{3}$−2 − √3 相加是 −4。

$2x^2+3x-4=0\to x=\left(-3\pm \sqrt{9+32}\right)$2x² + 3x − 4 = 0 → x = (−3 ± √(9 + 32)) / $4=\left(-3\pm \sqrt{41}\right)$4 = (−3 ± √41) / 4。

现实里的二次方程大多分解不动。整数因式分解是一个又小又走运的子集 —— 这就是课本习题里满是它们、物理问题里几乎没有的原因。

求根公式是从哪里来的？

求根公式来自配方法，把它在 $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0 这个一般方程上做一次，而不是每道题都单独做。配方法把 $x^2$x² 项和 x 项变成一个平方括号。对 $x^2+8x+3=0$x² + 8x + 3 = 0，把8取一半，因为 8 ÷ 2 = 4，注意 ${\left(x+4\right)}^2$(x + 4)² 会多带进一个 $4^2=16$4² = 16。方程就变成 ${\left(x+4\right)}^2-16+3=0$(x + 4)² − 16 + 3 = 0，也就是 ${\left(x+4\right)}^2=13$(x + 4)² = 13，所以 $x=-4\pm \sqrt{13}$x = −4 ± √13。用字母走一遍同样的步骤就得到了公式。见推导求根公式。当 $x^2$x² 项的系数不是1时，要先把整个方程除以那个系数；2a 正是从那次除法来的。要检验取一半的做法，可以展开：${\left(x+4\right)}^2-13$(x + 4)² − 13 是 $x^2+8x+16-13$x² + 8x + 16 − 13，而 16 − 13 = 3 正是原来的常数项。

配方把 $x^2+6x-1$x² + 6x − 1 改写成 ${\left(x+3\right)}^2-10$(x + 3)² − 10：把 6 减半得到括号里的 3，再减去括号顺手带进来的那个 9，连同原来的 −1。配方这节课让“减半”这一步显得必然，而不是变魔术。

改写后的形式比根更值钱。${\left(x+3\right)}^2-10$(x + 3)² − 10 一眼就说出：最小值是 −10，在 x = −3 取到 —— 因为一个平方括号永远不是负的，而且恰好取一次零。

一元二次方程有几个解，能在解之前知道吗？

一元二次方程有两个实数解、一个或没有，判别式 $b^2-4ac$b² − 4ac 能在求解之前就告诉你是哪一种。正数是两个解，零是一个重根，负数是没有实数解。对 $2x^2+3x-5=0$2x² + 3x − 5 = 0，判别式是 9 + 40 = 49，所以有两个根。对 $x^2+2x+5=0$x² + 2x + 5 = 0，判别式是 4 − 20 = −16，所以没有实数解。判别式就在公式的根号下面：负数没有实数根，零则让$\pm$±不产生任何区别。见判别式与根的性质。要求使两根相等的 k，就把判别式设为零：对 $x^2+kx+9=0$x² + kx + 9 = 0，$k^2-36=0$k² − 36 = 0，所以 k = 6 或 k = −6。检验 k = 6：$x^2+6x+9$x² + 6x + 9 就是 ${\left(x+3\right)}^2$(x + 3)²，而 3 × 3 = 9。

同一个量还回答一个看着不相干的问题：一个二次式会不会取到负值。要是 a 是正的、判别式是负的，抛物线整个坐在轴的上方，这个式子对每个实数 x 都恒为正 —— 这件事在证明里、在检查一个模型不会算出胡话时，用个不停。

两个根加起来是多少？

一元二次方程的两个根相加等于 $-\frac{b}{a}$−b/a，相乘等于 $\frac{c}{a}$c/a，所以不用解方程就能从方程本身读出这两个值。对 $2x^2-7x+3=0$2x² − 7x + 3 = 0，两根之和是 $\frac{7}{2}$7/2，之积是 $\frac{3}{2}$3/2。解出来能验证这一点：两根是3和$\frac{1}{2}$1/2，$3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$3 + 1/2 = 7/2，$3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$3 × 1/2 = 3/2。见两根之和与两根之积。这两个事实都来自因式分解的形式。展开 $a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)$a(x − α)(x − β) 得到 $a{x}^2-a\left(\alpha +\beta \right)x+a\alpha \beta$ax² − a(α + β)x + aαβ，把它逐项对上 $a{x}^2+bx+c$ax² + bx + c，就得出这两个关系。符号最容易出错：两根之和带负号，之积不带，所以对 $x^2+5x+6=0$x² + 5x + 6 = 0，两根之和是 −5，之积是 6，这意味着两根都是负数。这里 −2 和 −3 同时满足两个条件，因为 −2 + −3 = −5，−2 × −3 = 6。

这反过来成了一件造方程的工具。知道想要的根，就能倒着把方程搭出来 —— 这正是构造二次方程讲的：要一个根是 2 和 −5 的方程，写下 $x^2-($x² − (和)x + (积$)=x^2+3x-10$) = x² + 3x − 10，一条公式都不用碰。

它还能往上走。三次方程有三个根，满足三条对应的关系；三次方程的根与系数把规律延伸上去，变换多项式的根展示随之而来的那一招：要找根是原来两倍的方程，原来的根从头到尾都不需要。

一元二次不等式怎么解？

解一元二次不等式，先求出根，再决定要哪一边。对 $x^2-x-6<0$x² − x − 6 < 0，这个式子分解成 (x + 2)(x − 3)，所以根是 −2 和 3。抛物线 $y=x^2-x-6$y = x² − x − 6 开口向上，只有在两根之间才落到 x 轴下方，所以答案是 −2 < x < 3。符号只会在曲线穿过 x 轴的地方发生变化。见解一元二次不等式。当不等式问的是外侧时，答案会分成两段：$x^2-x-6>0$x² − x − 6 > 0 在 x < −2 或 x > 3 时成立。$x^2$x² 系数为负会把抛物线整个翻过来，所以要先把两边乘以 −1 并反转不等号。从每个区域各取一个值检验：x = 0 时是 0 − 0 − 6，是负数；x = 4 时是 16 − 4 − 6 = 6，是正数。

同样的小心也适用于分式不等式，那里分母会变号；不知道符号就两边乘上去，是造出一个信心十足的错误答案的经典路径。

一条直线什么时候穿过、相切、错过一条曲线？

要判断一条直线和一条曲线是相交、相切还是错过，就把直线代入曲线的方程，看所得二次方程的判别式。两个解表示相交两次，一个解表示相切，没有解表示错过。对 $y=x^2$y = x² 和 y = 2x + 3，令 $x^2=2x+3$x² = 2x + 3，得 $x^2-2x-3=0$x² − 2x − 3 = 0，判别式是 4 + 12 = 16，所以直线在 x = 3 和 x = −1 处切过曲线。每个解都是交点的 x 坐标。见一条直线什么时候穿过、相切或错过一条曲线。如果直线中带有未知数，比如 y = 2x + k，而且必须相切，就把判别式设为零解出 k：4 + 4k = 0 得 k = −1。在两个图象上检验一个交点：x = 3 时，$3^2=9$3² = 9，2 × 3 + 3 = 9。

走到那一步需要代入本身，那是一次方程与二次方程联立的主题：把一次方程整理出一个变量，代进二次方程，解出剩下的单变量方程。

会变成二次方程的方程

许多长得一点不像二次方程的方程，一次整理之后就成了二次方程。去掉分母，分式方程变成二次方程；两边平方，带根号的方程也一样。

二项式定理是什么？

二项式定理是把一个括号的整数次方展开、而不用逐项相乘的办法。${\left(1+x\right)}^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5$(1 + x)⁵ = 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵，它的系数正是杨辉三角第5行。每一项都是从五个括号里各取一个1或一个x组成的。$x^2$x²项数的是从五个括号中选两个来提供x的方法数，一共有 5 × 4 ÷ 2 = 10 种。见二项式定理。当第一项不是1时，它的乘方会进入每一个系数。在 ${\left(2+x\right)}^3$(2 + x)³ 里，系数 1、3、3、1 要乘上2的递减次方，得到 $8+12x+6x^2+x^3$8 + 12x + 6x² + x³，因为 3 × 4 = 12，3 × 2 = 6。代入 x = 1 可以检验这一行：1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32，正好是五个2相乘。

这条定理接着越过整数次幂，从那里起它不再是代数上的方便，而成了近似工具。负指数和分数指数的二项式级数把 $\sqrt{1+x}$√(1 + x) 和 $\frac{1}{\left(1+x\right)}$1/(1 + x) 这样的东西变成对小 x 精确的无穷级数，展开 (a + bx) 的有理数次幂处理括号不巧不以 1 开头的情形 —— 先把 a 提出来，适用条件也跟着一起来。

三次多项式怎么因式分解？

要分解一个三次多项式，先试出一个根，把它给出的因式除出去，再分解剩下的部分。对 $x^3-6x^2+11x-6$x³ − 6x² + 11x − 6，试 x = 1：1 − 6 + 11 − 6 = 0，所以 (x − 1) 是一个因式。除下来剩 $x^2-5x+6$x² − 5x + 6，也就是 (x − 2)(x − 3)，所以这个三次式是 (x − 1)(x − 2)(x − 3)。因式定理证明了这样试是合理的：如果 x = a 让多项式等于零，那么 (x − a) 就是一个因式。只需要试常数项的因数就够了。见因式与余式定理。当代入的值不等于零时，那个值就是余数：在 x = 4 处，64 − 96 + 44 − 6 = 6，所以除以 (x − 4) 会剩下6。在 x = 0 处检验分解后的形式，括号给出 −1 × −2 × −3 = −6，正是常数项。

系数都是整数的话，一个以 −6 结尾的三次式，只有 $\pm 1$±1、$\pm 2$±2、$\pm 3$±3、$\pm 6$±6 值得一试。

要是没有精确答案呢？

当写不出精确的解时，就把方程改写成 x = g(x) 的形式，从一个粗略的猜测开始，把每次的输出当作下一次的输入代进去。这些值通常会逐渐靠近一个根。对 $x^2=2$x² = 2，一种改写方式是 $x=\left(x+\frac{2}{x}\right)$x = (x + 2/x) / 2。从1开始，$\left(1+2\right)÷2=\frac{3}{2}$(1 + 2) ÷ 2 = 3/2，下一步是 $\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right)÷2=\frac{17}{12}$(3/2 + 4/3) ÷ 2 = 17/12，已经很接近 $\sqrt{2}$√2 了。根是一个不动点：代进去会得到同一个数，所以附近的值都会被拉向它。见迭代解方程。不是每种改写方式都会收敛。写成 $x=\frac{2}{x}$x = 2/x 时，同一个方程会把1送到2、把2又送回1，永远循环下去，所以当数值来回跳动时就该换一种形式试试。把结果代回原方程检验：17 × 17 = 289，2 × 144 = 288，所以 $\frac{17}{12}$17/12 的平方只比2多一点点。

这件事比它初看上去要紧。四次以上不存在一般的根式解公式，所以迭代不是懒人的退路：对实践里冒出来的大多数多项式方程，它就是方法。

值得点名的错误

• 还没等于零就开始解。(x + 2)(x + 3) = 2 对括号什么也没说。零积性质需要那个零。
• 丢掉负根。$\sqrt{9}$√9 是 3，可“$x^2=9$x² = 9”有两个答案。根号这个符号，和解开一个平方这个动作，是两回事。
• 忘了减去配方多加的。${\left(x+3\right)}^2$(x + 3)² 不是 $x^2+6x$x² + 6x；它多带着一个 9。
• 信任平方过的方程。每个根式方程都以把答案代回去收尾。

从这里自然的下一步是方程的图象与坐标几何 —— 同一条抛物线从另一侧看 —— 和函数与分式函数，配方在那里以图象变换的身份再次登场。