二次方程与多项式

未知数的最高次幂是二的方程，就是一元二次方程。它单独占一章的原因是：它是最后一族永远服从一条能背下来的公式的方程。在它之上的一切 —— 三次、四次、五次 —— 要么碰运气因式分解，要么用数值方法解。

解它的路有三条，而且并不能互相替换。每条回答的问题略有不同，知道该伸手拿哪条，就是这门本事的大半。

怎么用因式分解解一元二次方程？

把所有东西挪到一边，拆成两个括号，再轮流让每个括号等于零。x² + 5x + 6 = 0 分解成 (x + 2)(x + 3) = 0，所以 x = −2 或 x = −3。

找的是两个数：乘起来是常数项，加起来是中间的系数 —— 这里是 2 和 3，因为 2 × 3 = 6 而 2 + 3 = 5。应用里因式分解解二次方程这节课，把这场搜索练到不假思索为止，因为人们慢就慢在这一步。

让每个括号等于零之所以行，靠的是数的一条熟到没人注意的性质：两样东西乘起来是零，其中至少一个就是零。算术里没有别的东西这样表现 —— 两个数乘成 12 的方式有无穷多种，可乘成 0 只能靠其中一个是 0。这就是整个方法坚持先把方程弄成等于零的原因。

分解不动的时候怎么办？

用公式：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a，不管分解得动分解不动，它解每一个二次方程。值得把它当一个整体学，而不是四个符号，求根公式这节课把它一项一项拆开，让 ± 和 2a 不再显得凭空。

2x² + 3x − 4 = 0 → x = (−3 ± √(9 + 32)) / 4 = (−3 ± √41) / 4。

现实里的二次方程大多分解不动。整数因式分解是一个又小又走运的子集 —— 这就是课本习题里满是它们、物理问题里几乎没有的原因。

求根公式是从哪里来的？

它就是配方，在一般方程上做一次，而不是在每道题上各做一遍。这就是它全部的出身，推导求根公式把这场推导走得足够慢，让公式变成一个你能重建的东西，而不是一个只能信的东西。

配方把 x² + 6x − 1 改写成 (x + 3)² − 10：把 6 减半得到括号里的 3，再减去括号顺手带进来的那个 9，连同原来的 −1。配方这节课让“减半”这一步显得必然，而不是变魔术。

为什么减半？因为 (x + p)² 展开是 x² + 2px + p²。中间那一项出来的永远是 p 的两倍，所以想凑出 6x 的中间项，就得让 p = 3。你在补的那个方块是真的方块 —— 一块 p 乘 p 的角砖，把一块 L 形的地补完整 —— 这幅图，也是这门技术比它现在的记号老了一千岁的原因。

改写后的形式比根更值钱。(x + 3)² − 10 一眼就说出：最小值是 −10，在 x = −3 取到 —— 因为一个平方括号永远不是负的，而且恰好取一次零。

一元二次方程有几个解，能在解之前知道吗？

能 —— 算出 b² − 4ac，也就是判别式，不用把计算做完你就知道答案。正的意味着两个不同的根，零意味着一个重根，负的意味着根本没有实根。判别式与根的性质是讲这个的课，对付“证明此方程无实数解”这种考题，它是这一页上最有用的一件东西。

同一个量还回答一个看着不相干的问题：一个二次式会不会取到负值。要是 a 是正的、判别式是负的，抛物线整个坐在轴的上方，这个式子对每个实数 x 都恒为正 —— 这件事在证明里、在检查一个模型不会算出胡话时，用个不停。

两个根加起来是多少？

加起来是 −b/a，乘起来是 c/a，两个都能不解方程、直接从方程上读下来。根的和与积讲清了为什么：把 a(x − α)(x − β) 展开、对上 ax² + bx + c，这两条关系就被逼出来了。

这反过来成了一件造方程的工具。知道想要的根，就能倒着把方程搭出来 —— 这正是构造二次方程讲的：要一个根是 2 和 −5 的方程，写下 x² − (和)x + (积) = x² + 3x − 10，一条公式都不用碰。

它还能往上走。三次方程有三个根，满足三条对应的关系；三次方程的根与系数把规律延伸上去，变换多项式的根展示随之而来的那一招：要找根是原来两倍的方程，原来的根从头到尾都不需要。

一元二次不等式怎么解？

先找根，再决定要它们的哪一侧。对 x² − x − 6 < 0，根是 −2 和 3，开口向上的抛物线只在两根之间沉到轴下面，所以答案是 −2 < x < 3。解一元二次不等式教的是先画草图的习惯 —— 碰上难题还站得住的，是这一个。

那条诱人的近路 —— 两边同除、当成一次不等式摆弄 —— 之所以失败，是因为你除的那个东西的符号取决于 x，而除以负数会翻转不等号。草图把整个问题绕开了：曲线要么在轴上方要么在轴下方，你只是在读哪一段 x 干哪件事。

同样的小心也适用于分式不等式，那里分母会变号；不知道符号就两边乘上去，是造出一个信心十足的错误答案的经典路径。

一条直线什么时候穿过、相切、错过一条曲线？

把直线代进曲线，读代出来的那个二次方程的判别式。两个解意味着直线穿过曲线两次，一个解意味着它是切线，没有解意味着完全错过 —— 直线与曲线相交、相切或错过这节课把三种代数结果和三幅图连起来。

走到那一步需要代入本身，那是一次方程与二次方程联立的主题：把一次方程整理出一个变量，代进二次方程，解出剩下的单变量方程。相切是值得反复排练的那一种，因为“这条直线是切线”是一句几何句子，它的代数翻译恰好是“判别式等于零”。

会变成二次方程的方程

许多长得一点不像二次方程的方程，一次整理之后就成了二次方程。去掉分母，分式方程变成二次方程；两边平方，带根号的方程也一样。

这两个动作都可能造出从未存在过的解。平方是危险的那个：x = −2 是假的，可两边一平方，x² = 4 就成真了。平方后的方程比你出发时那句是更弱的陈述，所以它容得下多余的答案。这就是根式方程永远以验根收尾的原因 —— 把每个候选答案代回去不是勤快，是方法本身的一部分。

二项式定理是什么？

它是不乘开就展开一个括号乘方的办法。(1 + x)⁵ = 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵，系数 1、5、10、10、5、1 正是你预料中的杨辉三角那一行。二项式定理讲清它们从哪里来，而不是要你把三角背下来。

把 (1 + x)⁵ 乘开，意思是从五个括号里各挑一个 1 或一个 x，把每种可能的结果都加起来。一个 x² 的项，恰好出现在你从两个括号里挑了 x、从另外三个里挑了 1 的时候 —— 而挑哪两个有十种挑法。这就是系数是组合数的原因：它们真的是在数选择。

这条定理接着越过整数次幂，从那里起它不再是代数上的方便，而成了近似工具。负指数和分数指数的二项式级数把 √(1 + x) 和 1/(1 + x) 这样的东西变成对小 x 精确的无穷级数，展开 (a + bx) 的有理数次幂处理括号不巧不以 1 开头的情形 —— 先把 a 提出来，适用条件也跟着一起来。

三次多项式怎么因式分解？

先试出一个根，再把它除出去。把 x = 2 代进一个多项式得到零，那 (x − 2) 就是它的因式，除一下，三次就降成了你已经会收尾的二次。因式定理与余式定理是让这一切名正言顺的那句话，它还告诉你代入不等于零时剩下的是什么：你得到的值恰好就是余式。

试哪些根不是碰运气 —— 多项式的系数都是整数的话，任何整数根都必须整除常数项，所以一个以 −6 结尾的三次式，只有 ±1、±2、±3、±6 值得一试。

要是没有精确答案呢？

把方程改写成 x = g(x) 的形状，从一个粗糙的猜测出发，把每次的输出喂回去当下一次的输入。数值通常会安顿下来，不再变的那些位就是对的位。迭代解方程讲这个方法，更要紧的是讲它什么时候失灵 —— 同一个方程的一些改写收敛得飞快，另一些直奔无穷远，哪个是哪个，事先看不出来。

这件事比它初看上去要紧。四次以上不存在一般的根式解公式，所以迭代不是懒人的退路：对实践里冒出来的大多数多项式方程，它就是方法。

值得点名的错误

在应用里正经学

Math Challenge 把二次方程教成一条配图的阶梯，而不是一张公式表 —— 上面链到的每节课都是一小屏：一幅图、一道做出来的例题、几道试一试，它们住在一套从数数一路修到微积分的 800 多节课程目录里。从这里自然的下一步是方程的图象与坐标几何 —— 同一条抛物线从另一侧看 —— 和函数与分式函数（英文），配方在那里以图象变换的身份再次登场。

轮到你了

三题试一试，点选作答。

因式分解 x² − 9

(x − 2)(x + 5) = 0 的根

x² + 6x + 9 =

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