矩阵与马尔可夫链

更新 2026年10月7日

矩阵是按横行和列排成的一个长方形数表。矩阵乘以一个列的数，会得到一个新的列，所以矩阵是一条把一串数变成另一串数的规则；两个矩阵的乘积，就是先套用一条规则，再套用另一条。

矩阵怎么描述，怎么相加？

描述一个矩阵要说它的阶数：先说行数（横向），再说列数（直向），所以 2 行 3 列的矩阵是 2 × 3 矩阵。一个元素用它所在的行和列来命名：$a_{21}$a₂₁ 位于第 2 行、第 1 列。矩阵相加是对应元素逐一相加，所以两个矩阵的阶数必须相同。用分号隔开各行来书写，(1 4; 2 0) + (3 −1; 5 2) = (4 3; 7 2)，因为 1 + 3 = 4、4 − 1 = 3、2 + 5 = 7、0 + 2 = 2。这行得通，是因为两个矩阵里同一个位置放的是同一种量，例如某一家店某一种商品的销量。阶数不同的矩阵不能相加，因为有些元素找不到对应的伙伴。纯量乘法是把每个元素都乘上这个数：3 乘 (1 4; 2 0) 等于 (3 12; 6 0)。检查和的方法是减去其中一个矩阵，看能否得回另一个。

详见 矩阵的行数和列数和矩阵的加减和数乘。

矩阵乘法怎么算，为什么 AB 不等于 BA？

两个矩阵相乘时，把左边矩阵的每一行和右边矩阵的每一列配对：对应元素相乘，再把乘积加起来。设 A = (1 2; 3 4)、B = (0 1; 1 0)，A 的第 1 行配 B 的第 1 列得 1 × 0 + 2 × 1 = 2，完整的乘积是 AB = (2 1; 4 3)。这条规则让乘积表示“先做一个变换，再做另一个”。AB 通常和 BA 不同：BA = (3 4; 1 2)，因为 B 在左边时交换的是 A 的两行，在右边时交换的是 A 的两列。大小也可能让乘积不存在：只有当 A 的列数等于 B 的行数时，AB 才存在，所以 2 × 3 乘 3 × 2 得到 2 × 2。检查 BA 的一个元素：B 的第 1 行配 A 的第 1 列得 0 × 1 + 1 × 3 = 3。

A 的一行必须和 B 的一列一样长，而两个阶数外侧的数字，就是答案的阶数。

这条规则之所以这样定，是因为它在算帐：一行数量乘以一列价格，就是一家店的营业额。

反过来，3 × 2 乘 2 × 3 得到 3 × 3，所以两个乘积连阶数都不一定相同。矩阵乘法不满足交换律。

单位矩阵 I 的主对角线上都是 1，其余位置都是 0；乘以 I 不会改变任何东西，就像一个数乘以 1 一样。A 的逆矩阵是和 A 相乘得到 I 的那个矩阵。A 的幂呈现的规律用数学归纳法证明：先在 n = 1 时验证公式，再把假设成立的矩阵多乘一次 A。详见 矩阵的乘法、用矩阵乘法合并数据、为什么AB不等于BA、单位矩阵和零矩阵和用归纳法求矩阵的幂。

行列式量的是什么？

对于 2 × 2 矩阵 (a b; c d)，行列式是 ad − bc：主对角线的乘积减去另一条对角线的乘积。它是矩阵把面积放大的倍数。(4 2; 5 3) 的行列式是 4 × 3 − 2 × 5 = 12 − 10 = 2，所以单位正方形变成面积为 2 的平行四边形。这个公式算出的是面积，因为两个列 (4, 5) 和 (2, 3) 正是这个平行四边形的两边，而 ad − bc 就是带正负号的面积。行列式为负表示还做了一次镜射。行列式为 0 则完全不同：整个平面被压到一条直线或一个点上，所以矩阵没有逆矩阵，例如 (2 4; 1 2)，其中 2 × 2 − 4 × 1 = 0。检查：面积为 3 的图形会变成面积 3 × 2 = 6。

行列式为 0 时，不同的点会落到同一个点上，再也没有办法把它们分开送回去。

行列式不为 0 时，求 (a b; c d) 的逆矩阵只要三步：交换 a 和 d，改变 b 和 c 的正负号，再把每个元素除以 ad − bc。用乘法检查：乘积是 I。

逆矩阵一步就能解方程组。把方程组写成 A X = b，系数放在 A 里，未知数放在列 X 里，常数放在 b 里，再把两边从左边同乘 $A^{-1}$A⁻¹，X 就单独留下了。

3 × 3 行列式沿着一行展开：第 1 行的每个元素，乘以删去它所在的行和列之后剩下的 2 × 2 行列式，正负号依次为 +、−、+。它量的是体积，而且恰好在没有逆矩阵时等于 0。3 × 3 逆矩阵是余因子矩阵的转置除以行列式，一步就能解三个方程。详见 2×2矩阵的行列式、2×2矩阵的逆矩阵、用逆矩阵解方程组、3×3矩阵的行列式、3×3矩阵的逆矩阵和用逆矩阵解三元方程组。

什么是特征值和特征向量？

方阵 A 的特征向量是一个非零的列，A 只会把它拉长或缩短，而拉伸的倍数就是它的特征值：$Av=\lambda v$A v = λ v。乘以 A = (4 −1; 2 1) 时，大多数列都会改变方向，但 (1, 1) 回来时是 (3, 3)，因为 4 × 1 − 1 × 1 = 3 且 2 × 1 + 1 × 1 = 3，所以 (1, 1) 是特征值为 3 的特征向量。特征向量的任何倍数也是特征向量，所以特征向量指的是一个方向。负的特征值会把方向反转，0 则把它压扁。特征向量重要，是因为沿着它们，矩阵的作用就像普通的乘法，所以求幂很容易：把 A 作用五次，(1, 1) 就被放大 $3^5$3⁵ 倍。求特征向量要从特征值开始，特征值是 $\det \left(A-\lambda I\right)=0$det(A − λI) = 0 的解，每个特征值再给出一个方向。验证一个声称的特征向量：A 乘 (1, 2) 得 (2, 4)，是原列的两倍，所以另一个特征值是 2。

求特征值时，把 $Av=\lambda v$A v = λ v 改写成 $\left(A-\lambda I\right)v=0$(A − λI) v = 0。一个非零列被送到零，表示 $A-\lambda I$A − λI 没有逆矩阵，所以 $\det \left(A-\lambda I\right)=0$det(A − λI) = 0。减去 $\lambda I$λI 就是从每个对角元素减去 $\lambda$λ，所以这里 $\det \left(A-\lambda I\right)=\left(4-\lambda \right)\left(1-\lambda \right)+2={\lambda }^2-5\lambda +6$det(A − λI) = (4 − λ)(1 − λ) + 2 = λ² − 5λ + 6，这就是特征多项式。它的根 2 和 3 就是特征值。

对每个特征值解 $\left(A-\lambda I\right)v=0$(A − λI) v = 0。在 $\lambda =3$λ = 3 时两行都得出 y = x，所以 v = (1, 1)；在 $\lambda =2$λ = 2 时两行都得出 y = 2x，所以 v = (1, 2)。

把特征向量作为 P 的各列，再把特征值按同样的顺序放在 D 的对角线上。于是 A P = P D，所以 $A=PD{P}^{-1}$A = P D P⁻¹。幂也就跟着出来了，因为中间的每个 $P^{-1}P$P⁻¹ P 都互相抵消：$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹，而 $D^n$Dⁿ 可以逐个元素求出。详见 特征值和特征向量、特征多项式、求特征向量、对角化2×2矩阵和用对角化求矩阵的幂。

什么是马尔可夫链，它为什么会稳定下来？

马尔可夫链在固定几种状态之间移动，每一步只取决于目前的状态。移动的概率填成一个转移矩阵 T，T 乘以今年的分布就得到明年的分布。假设每年城市里有 0.2 的人搬到乡下，乡下有 0.3 的人搬到城市。T 的每一列代表一个起始状态，所以每一列的元素加起来等于 1。如果两地各有 500 人，明年城市就有 400 + 150 = 550 人，因为 500 人中有 $\frac{4}{5}$4/5 留下，另外 500 人中有 $\frac{3}{10}$3/10 搬来。正则的链会稳定下来，是因为 T 会让某一个分布保持不变，而起点里其余的部分每一步都在缩小。这里那个分布让双向的流量相等，城市因此占所有人的 $\frac{3}{5}$3/5。陷阱状态是没有人会离开的状态，最终会收容所有能到达它的人。验证这个稳定分布：$\frac{2}{10}$2/10 等于 400 的 $600=120=\frac{3}{10}$600 = 120 = 3/10。

n 年后的分布是 $T^n$Tⁿ 乘以起始分布，而把 T 对角化，求 $T^n$Tⁿ 就很容易了。

转移图用状态之间的箭头表示同样的数字，留在原地的比例画成一个回到自己的圈。如果 T 的某个幂的所有元素都是正数，这条链就是正则的。一个状态如果唯一的箭头指回自己，进去的人就全被困住，这样的链就不是正则的。

让所有人一开始都在城市，分布就会稳定下来。稳定的分布是 T 不会改变的分布，所以它是 T 的特征值为 1 的特征向量。解 (T − I) s = 0：两行都得出 2x = 3y，所以长期来看，城市和乡下的人口比是 3 比 2。

每个转移矩阵都有特征值 1，因为它的每一列加起来都是 1。其余特征值的大小都小于 1，所以它们在任何起点中所占的部分每一步都在缩小，最后剩下的就是特征值 1 的特征向量。PageRank 就是网页之间链接矩阵的这个向量。详见 转移矩阵、转移图和长期稳态。

接下来通往哪里

矩阵运算说明矩阵对一个列做了什么，行列式说明这能不能复原，特征值则说明矩阵作用很多次之后会发生什么。马尔可夫链就是把最后这个问题，放在一个由概率组成的矩阵上来问。

值得点名的错误

• 逐个元素相乘。矩阵乘法是把左边矩阵的每一行和右边矩阵的每一列配对。
• 以为 AB = BA。两个都要算出来。
• 把矩阵约掉。只有当 A 有逆矩阵时，AB = AC 才能推出 B = C。
• 把行列式为零当成一个很小的答案。它表示这个矩阵没有逆矩阵。

矩阵对图形的作用，在全等、圆的定理与变换（英文）中继续；特征多项式用到的因式分解，来自二次方程与多项式。相关指南：积分的应用与极坐标曲线（英文）和复数。