积分技巧

更新 2026年10月7日

微分遵循一套永远有效的规则。积分没有单一的进程，所以要以一组技巧来学，而真正的功夫在于读出被积函数的形状，认出它需要哪一种技巧。

积分是什么？

积分问的是微分的反方向：哪个函数的导数是这个？那个函数叫做反导函数，每个答案都可以透过求导来检查。对 x 的幂，把次方加一，再除以新的次方，所以 $6x^2$6x² 积分得 $2x^3+C$2x³ + C，因为 6 ÷ 3 = 2。这条规则恰好抵销幂法则：对 $2x^3$2x³ 求导会把 3 拿下来，抵消掉那次除法，并把次方降回 2。常数因子留在外面，和则逐项积分，所以 4x + 3 得到 $2x^2+3x+C$2x² + 3x + C，其中 + C 涵盖求导时消失的任何常数。只有 $x^{-1}$x⁻¹ 不适用这条规则，因为新的次方会是 0；$\frac{1}{x}$1/x 改为积分得 ln|x| + C。对 $2x^3+C$2x³ + C 求导得回 $6x^2$6x²，因为 3 × 2 = 6，而 C 消失了。详见 原函数。

$x^3$x³ 积分得 $\frac{x^4}{4}$x⁴/4，用的是同一条规则。详见 幂函数积分。

为什么总有一个 + C？

求导会去掉任何常数项，所以积分无法分辨原本是哪个常数，而 + C 代表所有可能的常数。函数 $x^2$x²、$x^2+7$x² + 7 和 $x^2-100$x² − 100 求导都得 2x，所以 2x 的积分是一族函数 $x^2+C$x² + C，C 的每一个值对应一条平行的曲线。把曲线上下平移永远不会让它倾斜，所以这族里的每一条在同一个 x 的斜率都相同。多一个条件就能挑出单一的一条：通过 (2, 9)，则 9 = 4 + C，所以 C = 5，函数是 $x^2+5$x² + 5。在微分方程里，这个条件叫初始条件。定积分不需要 C，因为它在 F(b) − F(a) 中互相抵消。把 x = 2 代入 $x^2+5$x² + 5 得 4 + 5 = 9，正是要求的高度，而那里的斜率是 2 × 2 = 4。

详见 求积分常数。

积分符号到底在说什么？

符号 $\int$∫ 是一个拉长的 S，代表求和（sum），而 $\int f\left(x\right)dx$∫ f(x) dx 的意思是：把高为 f(x)、宽为 dx 的细条加起来。函数 f(x) 叫被积函数，下方和上方的数字是积分的上下限，也就是加总开始和结束的地方。常数 3 从 x = 1 积到 x = 5，就是把高为 3 的细条加满宽度 4，因为 5 − 1 = 4，所以总和是 3 × 4 = 12，也就是一个长方形的面积。这个记号记录了答案是怎么建构出来的：高乘以宽，加总起来，再把宽度缩小到总和变得精确。dx 指出被加总的变量，当式子里还有其他字母时这很重要：用 dx 积分时，任何 y 都保持不变。没有上下限时，这个符号要求的是反导函数加一个常数，而不是一个数。用反导函数 3x 也得到 15 − 3 = 12。详见 读懂积分符号。

dx 本身有它的意义。$\frac{dy}{dx}$dy/dx 原本是“垂直变化除以水平变化”，这两部分可以分开：如果 $y=x^2$y = x²，那么 dy = 2x dx。换元积分正是靠这一点。详见 微分。

积分为什么能量面积？

定积分是一串长方形面积之和的极限：把区域切成宽为 $\Delta x$Δx 的细条，把每一条当成高为 f(x) 的长方形，再把面积加起来 $f\left(x\right)\Delta x$f(x) Δx。对 y = x 从 0 到 2，取四条宽为 $\frac{1}{2}$1/2 的细条、用右端点的高度，得到 $\left(\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+2\right)\times \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$(1/2 + 1 + 3/2 + 2) × 1/2 = 5/2，比真正的面积 2 大。基本定理省去了细条：从 a 到 b 的面积，对任何反导函数 F 都等于 F(b) − F(a)，因为到 x 为止的面积是以 f(x) 的速率增长的。要求总面积还需要多一步，因为在轴线下方的区域算成负的：在每个交点处切开，再把各块的大小相加。对 y = x − 1 从 0 到 2，积分是 0，但面积是 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$1/2 + 1/2 = 1。y = x 下方的三角形面积是 $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$1/2 × 2 × 2 = 2，和在 2 处的 $\frac{x^2}{2}$x²/2 相符。详见 定积分。

每条细条的高度可以在它的左端、右端或中点读取。在上升的曲线上，左和低估，右和高估。用西格玛记法，这个和是 $\sum _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\Delta x$Σ f(xᵢ) Δx from i = 1 to n；让 n 趋向无限大，$\sum$Σ 就变成 $\int$∫，$\Delta x$Δx 就变成 dx。详见 左黎曼和、右黎曼和与中点黎曼和和用西格玛记法写黎曼和。

设 A(x) 是曲线下方到 x 为止的面积。把 x 增加一点点，面积就多出一条高为 f(x) 的细条，所以 A 的导数是 f。详见 微积分基本定理。

轴线下方的面积算成负的。sin x 从 0 到 $\pi$π 的拱形积分是 2，从 $\pi$π 到 $2\pi$2π 的积分是 −2，整个周期的积分是 0。要求总面积，就在交点处切开，再把大小相加：2 + 2 = 4。详见 轴下方的面积。

交换上下限会改变正负号，常数因子可以提到外面，从 a 到 b 加上从 b 到 c 合起来就是从 a 到 c。详见 定积分的性质。

函数套着函数，怎么积分？

换元积分就是倒过来读的链式法则：当积分里含有内层函数的导数作为因式时，把内层叫做 u，替换掉每一个 x，再对 u 积分。对于 $3x^2{\left(x^3+2\right)}^4$3x²(x³ + 2)⁴ 的积分，令 $u=x^3+2$u = x³ + 2，所以 $du=3x^{2}dx$du = 3x² dx，积分变成 $\int u^{4}du=\frac{u^5}{5}+C$∫ u⁴ du = u⁵/5 + C，也就是 $\frac{{\left(x^3+2\right)}^5}{5}+C$(x³ + 2)⁵/5 + C。因式 $3x^2$3x² 恰好被 du 吸收，只剩下一个单纯的幂。定积分只差一步：把上下限换成 u 的值，就再也不必回到 x。x 从 0 到 1 时，u 从 2 到 3，所以积分是 $\frac{\left(3^5-2^5\right)}{5}$(3⁵ − 2⁵)/5，而 243 − 32 = 211，得到 $\frac{211}{5}$211/5。合适的 u 通常是括号里或根号下的式子，而且不会留下任何 x。用链式法则对 $\frac{{\left(x^3+2\right)}^5}{5}$(x³ + 2)⁵/5 求导，会把因式 $3x^2$3x² 还原回来。详见 换元积分法。

1. 选择 u，通常是括号里或根号下的式子。
2. 求出 $\frac{du}{dx}$du/dx，把 dx 用 du 表示。
3. 替换掉每一个 x。如果还剩下一个，就是 u 选错了。
4. 对 u 积分，再把 x 的式子写回去。如果是定积分，改为换算上下限。

$\int 2x{\left(x^2+1\right)}^{5}dx$∫ 2x(x² + 1)⁵ dx：2x 是 $x^2+1$x² + 1 的导数，所以令 $u=x^2+1$u = x² + 1，du = 2x dx。积分变成 $\int u^{5}du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{{\left(x^2+1\right)}^6}{6}+C$∫ u⁵ du = u⁶/6 + C = (x² + 1)⁶/6 + C。

当内层是一次式 ax + b 时，它的导数是常数 a，有一条捷径：把内层当成普通的 x 来积分，再除以 a。$\int \cos 3xdx=\left(\frac{1}{3}\right)\sin 3x+C$∫ cos 3x dx = (1/3) sin 3x + C。弯曲的内层，导数会随 x 改变，所以这条捷径不适用。详见 积分 f(ax + b)。

乘积怎么积分？

分部积分是倒过来读的乘积法则：$\int udv=uv-\int vdu$∫ u dv = uv − ∫ v du。选求导后会变简单的因式当作 u。对于 $\int x\cos xdx$∫ x cos x dx，令 u = x、dv = cos x dx，所以 du = dx、v = sin x，积分等于 $x\sin x-\int \sin xdx$x sin x − ∫ sin x dx，也就是 x sin x + cos x + C。这个公式就是 uv 的乘积法则，积分后再移项。新的积分必须更容易，这就是为什么多项式搭配 $e^x$eˣ、sin x 或 cos x 时要当作 u：求导会降低它的次方。次方更高就需要更多轮，所以 $x^2{e}^x$x² eˣ 要做两轮，得到 $\left(x^2-2x+2\right)e^x+C$(x² − 2x + 2)eˣ + C。从 0 到 $\pi$π，第一个答案得 (0 − 1) − (0 + 1) = −2，而对 x sin x + cos x 求导会得回 x cos x。详见 分部积分法。

$\int x{e}^{x}dx$∫ x eˣ dx：令 u = x 且 $dv=e^{x}dx$dv = eˣ dx，所以 du = dx 且 $v=e^x$v = eˣ。于是 $\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C。如果新的积分比原来的更难，就换一个 u。

$\int \ln xdx$∫ ln x dx 用分部积分，取 u = ln x、dv = 1 dx。$\int e^x\sin xdx$∫ eˣ sin x dx 做两轮后会回到自己；把原来的积分当成未知数，解出它来。

三角函数怎么积分？

积分是微分的逆运算，所以 cos x 积分得 sin x + C，sin x 积分得 −cos x + C，因为 cos x 的导数是 −sin x。把其他标准结果倒过来，得到 ${\sec }^{2}x\to \tan x$sec²x → tan x 和 $\sec x\tan x\to \sec x$sec x tan x → sec x。角度用弧度时，cos x 从 0 到 $\frac{\pi }{2}$π/2 下方的面积是 $\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)-\sin 0$sin(π/2) − sin 0，也就是 1 − 0 = 1。余弦前面的负号是最常被弄丢的部分。这些结果需要弧度，因为只有在弧度下，sin x 的导数才恰好是 cos x；用角度的话，每个结果都会多一个因子 $\frac{180}{\pi }$180/π。幂和乘积会改变方法。${\sin }^{2}x$sin²x 不是任何标准函数的导数，所以要先用二倍角公式改写，而 sin x cos x 变成 $\frac{\left(\sin 2x\right)}{2}$(sin 2x)/2，积分得 $-\frac{\left(\cos 2x\right)}{4}+C$−(cos 2x)/4 + C。对 −cos x + C 求导会得回被积函数 sin x，C 则消失了。

${\sin }^{2}x$sin²x 不是任何标准函数的导数，所以用二倍角公式改写：${\sin }^{2}x=\frac{\left(1-\cos 2x\right)}{2}$sin²x = (1 − cos 2x)/2，而 $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\left(\sin 2x\right)}{4}+C$∫ sin²x dx = x/2 − (sin 2x)/4 + C。${\cos }^{2}x=\frac{\left(1+\cos 2x\right)}{2}$cos²x = (1 + cos 2x)/2 也用同样的方法积分。这些公式在弧度与三角恒等式（英文）中；详见 ${\sin }^2$sin² 与 ${\cos }^2$cos² 的积分。

tan x 是 sin x 除以 cos x，而分子是分母的导数的相反数，所以 $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C=\ln |\sec x|+C$∫ tan x dx = −ln|cos x| + C = ln|sec x| + C。详见 ${\sec }^{2}x$sec²x、sec x tan x 与 tan x 的积分。

指数、对数和分式怎么积分？

$e^x$eˣ 的导数是它自己，所以 $\int e^{x}dx=e^x+C$∫ eˣ dx = eˣ + C，而 $e^{2x}$e^(2x) 积分得 $\frac{e^{2x}}{2}+C$e^(2x)/2 + C。因为 ln x 的导数是 $\frac{1}{x}$1/x，$\frac{1}{x}$1/x 的积分是 ln|x| + C；绝对值让它在 x 为负时也有定义。对数填补了幂法则留下的空缺，因为把次方 −1 加一，就得除以 0。分子是分母的导数的分式，积分得分母的对数，因为链式法则让 $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$f'(x)/f(x) 成为 ln f(x) 的导数。所以 $\frac{3x^2}{\left(x^3+1\right)}$3x²/(x³ + 1) 积分得 $\ln |x^3+1|+C$ln|x³ + 1| + C。分母能因式分解的，先拆成部分分式。用伸缩可以解释为什么 ln 4 − ln 2 = ln 2：$\frac{1}{x}$1/x 下方从 2 到 4 的那一条，就是从 1 到 2 的那一条变成两倍宽、一半高，而 $2\times \frac{1}{2}=1$2 × 1/2 = 1。详见 指数函数与对数函数的积分。

用链式法则对 ln f(x) 求导得 $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$f'(x)/f(x)。倒过来读：当分子是分母的导数时，积分就是分母的 ln。$\int \frac{2x}{\left(x^2+1\right)}dx=\ln \left(x^2+1\right)+C$∫ 2x/(x² + 1) dx = ln(x² + 1) + C，因为 2x 是 $x^2+1$x² + 1 的导数。先对分母求导，看看分子是否吻合。详见 积分 f'/f。

如果分母反而可以因式分解，就拆成部分分式。把 $\frac{1}{\left(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right)}$1/((x − 1)(x + 1)) 写成 $\frac{A}{\left(x-1\right)}+\frac{B}{\left(x+1\right)}$A/(x − 1) + B/(x + 1)，去分母后，代入 x = 1 求 A，代入 x = −1 求 B。每一块都是常数除以一次的括号，所以每一块都积分成对数。重复的因式，每个次方要各写一个分式；不能分解的二次式，分子要保留成 Ax + B。详见 部分分式积分法。

哪些积分会积出反函数？

微分法则（英文）里的两个导数，倒过来读就给出反三角函数的答案。因为 ${\tan }^{-1}x$tan⁻¹x 的导数是 $\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²)，$\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²) 积分得 ${\tan }^{-1}x$tan⁻¹x；又因为 ${\sin }^{-1}x$sin⁻¹x 的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1/√(1 − x²)，$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1/√(1 − x²) 积分得 ${\sin }^{-1}x$sin⁻¹x。$\frac{1}{\left(1+x^2\right)}$1/(1 + x²) 下方从 0 到 1 的面积，就是正切为 1 的那个角，$\frac{\pi }{4}$π/4。把 1 换成 $a^2$a²，答案就变成 $\left(\frac{1}{a}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$(1/a) tan⁻¹(x/a) 和 ${\sin }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$sin⁻¹(x/a)，所以 $\frac{1}{\left(9+x^2\right)}$1/(9 + x²) 得 $\left(\frac{1}{3}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+C$(1/3) tan⁻¹(x/3) + C，因为 9 = 3 × 3。代换 $x=\tan \theta$x = tan θ 可以解释原因：$1+x^2$1 + x² 变成 ${\sec }^2\theta$sec²θ，正好消去 $dx={\sec }^2\theta d\theta$dx = sec²θ dθ。没有根号时，$\frac{1}{\left(1-x^2\right)}$1/(1 − x²) 则要用部分分式。对 $\left(\frac{1}{3}\right){\tan }^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)$(1/3) tan⁻¹(x/3) 求导会出现两个 $\frac{1}{3}$1/3 因子，而 $\left(\frac{1}{3}\right)\times \left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{9}$(1/3) × (1/3) = 1/9 把结果变成 $\frac{1}{\left(9+x^2\right)}$1/(9 + x²)；详见 积出 ${\tan }^{-1}$tan⁻¹ 与 ${\sin }^{-1}$sin⁻¹ 的积分。

当 $\sqrt{a^2-x^2}$√(a² − x²) 出现、旁边却没有 x 的因式时，代换 $x=a\sin \theta$x = a sin θ。于是 $a^2-x^2=a^2{\cos }^2\theta$a² − x² = a² cos²θ，根号变成 $a\cos \theta$a cos θ，而 $dx=a\cos \theta d\theta$dx = a cos θ dθ。根号里是减号用正弦，是加号用正切。详见 选择三角换元。

根号下是加号时，答案是双曲函数：$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$1/√(x² + 1) 积分得 arsinh x，$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$1/√(x² − 1) 积分得 arcosh x。两者都是对数，所以两种写法都正确。详见 积分得到 arsinh 与 arcosh。

怎么选择方法？

先读被积函数的形状，再依序问：它是标准结果或一个幂吗？分子是分母的导数、积出对数吗？内层函数的导数在不在、需要代换吗？它是两个不相关家族的乘积，例如 x 和 $e^x$eˣ，需要分部积分吗？它是分母能因式分解的分式、需要部分分式吗？它是 ${\sin }^{2}x$sin²x 或 ${\cos }^{2}x$cos²x、需要二倍角公式吗？所以 $\frac{x}{\left(x^2+4\right)}$x/(x² + 4) 在差一个因子 2 的情况下通过第二个检验，积分得 $\left(\frac{1}{2}\right)\ln \left(x^2+4\right)+C$(1/2) ln(x² + 4) + C。前面的检验比较快，而且一个被积函数可能通过好几个：$x{e}^{x^2}$x e^(x²) 看起来像乘积，但用代换一行就做完了。有些，例如 $e^{-x^2}$e^(−x²)，一个也通不过，这时就交给数值方法。对那个对数求导，得到 2x 除以分母，而 $\frac{1}{2}\times 2=1$1/2 × 2 = 1 留下 $\frac{x}{\left(x^2+4\right)}$x/(x² + 4)。

值得点名的错误

• 漏掉 + C。不定积分是一族曲线。
• 代换后还留着 x。每一个 x 都要换掉，包括 dx 里的那一个。
• 把带正负号的面积当成总面积。先在交点处切开。
• 分部积分选错了因式。如果新的积分更难，就交换。
• 忘了 ln|x| 的绝对值。少了它，结果在 x 为负时就不成立。

被倒过来用的规则在微分法则（英文）中，它们的应用在积分的应用与极坐标曲线（英文）中，定义背后的极限则在极限与连续（英文）中。