Números inteiros e valor posicional

Atualizado 13 de outubro de 2026

Dez algarismos escrevem todo número inteiro que já existiu. Isso não é coincidência, nem uma convenção que poderia facilmente ter sido outra — é uma única ideia, aplicada muitas vezes: o valor de um algarismo depende de onde ele está, e cada coluna vale dez da que fica à sua direita.

O que é valor posicional, e por que importa?

O valor posicional é a regra de que o valor de um algarismo depende da coluna onde ele está, e cada coluna vale dez vezes a coluna à sua direita. Em 3507, o 3 está na coluna dos milhares, então significa 3,000; o 5 significa 500; o 0 significa nenhuma dezena; e o 7 significa 7 unidades. Some as partes e o número volta: 3,000 + 500 + 0 + 7 = 3,507. Isso funciona porque dez unidades fazem uma dezena, dez dezenas fazem uma centena e dez centenas fazem um milhar, então dez algarismos bastam para escrever qualquer número inteiro. O zero é o caso que pega as pessoas. Ele mantém aberta a coluna das dezenas, e sem ele o 3, o 5 e o 7 deslizam cada um uma coluna para a direita, transformando 3,507 em 357, cerca de dez vezes menor. Para conferir um número, diga-o em voz alta coluna por coluna: três mil, quinhentos, nenhuma dezena, sete unidades.

A criança encontra isso em etapas, e cada etapa é um degrau genuíno, não mais do mesmo. Contar vem primeiro: Contar até dez assenta que a última palavra dita é quantos são, e Um e um faz da primeira adição uma imagem, não um fato para decorar. Escrever números até vinte é onde o símbolo escrito e a palavra falada se encontram, o que dá um trabalho surpreendente para quem tem cinco anos — catorze fala o quatro primeiro e o escreve depois.

A comparação chega junto com a contagem, não depois dela. Mais e menos ensina a comparar emparelhando as coisas uma a uma, para a resposta não depender de contar direito. E as somas que formam dez — Somas que formam cinco, depois Somas que formam dez — são o pequeno conjunto de fatos em que tudo depois se apoia, porque o dez é o número em torno do qual o sistema inteiro foi construído.

Como um número passa de dez?

Um número fica maior que dez empacotando: dez unidades fazem uma dezena, e essa dezena é escrita numa coluna nova à esquerda. Conte 8, 9, 10 e a coluna das unidades fica sem algarismos, então ela volta para 0 enquanto a coluna das dezenas mostra 1. Dezenas e unidades desenha o pacote como uma barra de dez cubinhos, então 34 são 3 barras e 4 cubinhos soltos, e 3 × 10 + 4 = 34. Isso funciona porque cada coluna só guarda os algarismos de 0 a 9, e um décimo item sempre vira um da coluna seguinte. Uma coluna cheia sobe para a próxima. Some 1 a 99: as unidades chegam a dez e sobem, isso enche as dezenas, e elas também sobem, então 99 + 1 = 100. Contar até cem repete esse padrão até parecer normal. Para conferir, reagrupe o número: 100 são dez dezenas, e 10 × 10 = 100.

E então acontece de novo, sem mudar. Dez dezenas fazem uma centena (Centenas), dez centenas fazem um milhar (O cubo do mil, que desenha o mil como um bloco sólido para o salto desde a centena plana ser algo que se vê), e o mesmo movimento feito mais três vezes chega ao milhão — o assunto de Números até um milhão.

4 207 000 lê-se quatro milhões, duzentos e sete mil. Os espaços não são decoração — agrupam os algarismos de três em três, para a palavra mil e a palavra milhão caírem no lugar certo quando você lê em voz alta.

Como arredondar um número, e até onde?

Para arredondar um número, olhe o único algarismo logo depois da casa que você vai manter: 5 ou mais sobe, 4 ou menos deixa o algarismo mantido como está, e todo algarismo depois da casa mantida vira zero. Para arredondar 2,650 para o milhar mais próximo, mantenha o 2 nos milhares, olhe o algarismo das centenas, 6, e suba para 3,000. Isso funciona porque 2,650 fica entre 2,000 e 3,000, e todo número a partir de 2,500 fica mais perto de 3,000. O trabalho decide a casa: a dezena mais próxima para uma soma rápida, uma centena ou milhar para uma quantia grande. Um 9 que sobe carrega. Arredondar 3,960 para a centena mais próxima transforma as 9 centenas em dez centenas, que sobem, então a resposta é 4,000. Para conferir, a resposta deve ser um múltiplo da casa que você manteve e não mais que meio passo do início.

3470 para a centena mais próxima $\to o$→ o algarismo das dezenas é $7\to 3500$7 → 3500. 3428 para a centena mais próxima $\to o$→ o algarismo das dezenas é $2\to 3400$2 → 3400.

Arredondar para a dezena mais próxima começa isso numa reta numérica, onde "sobe ou desce" é visivelmente uma pergunta sobre qual marca está mais perto, e Arredondar para a centena e o milhar mais próximos mostra o mesmo movimento deslizando uma coluna à esquerda sem mudar.

Quando usar algarismos significativos?

Quando o tamanho do número não se conhece de antemão. As casas decimais contam a partir do ponto; os algarismos significativos contam a partir do primeiro algarismo diferente de zero, e por isso guardam a mesma proporção de detalhe, seja o número um milhão ou um milésimo. Algarismos significativos torna precisa a regra de contagem, incluindo os zeros à esquerda que nunca contam e os do fim que às vezes contam.

Um algarismo significativo basta para conferir quase qualquer conta antes de confiar nela — Estimar com um algarismo significativo transforma 38 × 512 em 40 × 500 = 20000 num segundo, o suficiente para pegar uma resposta que saiu 1945 ou 194560. O guia de estimativa trata desse hábito com calma.

Arredondar também tem um custo, e o custo pode ser dito com exatidão. Limites e intervalos de erro mostra que um comprimento anotado como 24 cm ao centímetro mais próximo está na verdade em algum lugar de $23.5\le x<24.5$23.5 ≤ x < 24.5, e Erro percentual transforma esse vão numa proporção, que é a forma que permite comparar um erro numa ponte com um erro num parafuso.

O que são números negativos?

Números negativos são os números abaixo de zero na reta numérica, escritos com um sinal de menos: −3 são três passos abaixo de zero, assim como 3 são três passos acima. Uma temperatura de 2 graus que cai 5 graus termina em −3, porque 2 − 5 = −3: dois passos para baixo chegam a zero e mais três vão além. Eles seguem as mesmas regras que os números positivos porque estão na mesma reta; só a direção é nova. Somar move para a direita, subtrair move para a esquerda, e o sinal diz de que lado do zero você está. Números negativos invertem a comparação. Na reta, −8 fica mais à esquerda que −2, então −8 é o número menor, mesmo que 8 seja maior que 2. Subtrair um negativo é o outro caso, e move para a direita: 4 − (−2) = 6. Para conferir, conte os passos numa reta numérica, ou trabalhe de trás para frente: −3 + 5 = 2.

Abaixo de zero os apresenta onde eles já moram para a maioria das pessoas: temperatura, andares abaixo do térreo, dinheiro devido. Ordenar números negativos conserta então a comparação que pega todo mundo — −7 é menor que −3, porque está mais para baixo, mesmo 7 sendo mais que 3.

Somar e subtrair atravessando o zero

A adição anda para a direita e a subtração para a esquerda, comece você do lado do zero que for. Somar e subtrair atravessando o zero treina as travessias: −4 + 7 = 3 são quatro passos até o zero e mais três além dele.

Subtrair um negativo é o movimento que pede um motivo em vez de uma regra, e Subtrair números negativos dá dois. O primeiro é um padrão: 5 − 1 = 4, 5 − 0 = 5, 5 − (−1) = 6, subindo um de cada vez, sem buraco onde o sinal muda. O segundo é significado: tirar uma dívida de três deixa você três melhor, então 5 − (−3) = 8.

Valor absoluto é a ferramenta para as horas em que só a distância importa. |−7| = 7 — a que distância do zero, não para que lado — e é o que deixa uma tolerância ser escrita uma vez em vez de duas.

Por que dois negativos multiplicados dão positivo

Porque multiplicar por um negativo inverte a direção, e inverter duas vezes deixa você virado para a frente. Multiplicar e dividir números negativos mostra o mesmo argumento como um padrão que se recusa a quebrar:

3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0. Cada resposta é 2 maior que a anterior. Manter essa subida constante dá (−1) × (−2) = 2.

Como resolver um problema com números inteiros sem álgebra?

Muitos problemas com palavras e números inteiros têm um formato conhecido, e cada formato tem um método que funciona sem letras para as incógnitas. Cada método também é uma equação disfarçada, o que Formar equações mostra escrevendo o mesmo tipo de problema com uma letra. Seis formatos cobrem a maioria: lacunas e intervalos, suposição, excesso e falta, um recipiente pesado duas vezes, trabalhar de trás para frente, e eliminação. O primeiro são as lacunas e intervalos. Uma cerca de 60 m de comprimento com um poste a cada 4 m, de uma ponta a outra, tem 60 ÷ 4 = 15 lacunas, e um poste a mais que as lacunas, então 16 postes. Conte as lacunas primeiro, porque são elas que a medida divide. Um relógio que leva 4 segundos para bater 3 horas tem 2 lacunas entre suas 3 batidas, então cada lacuna dura 2 segundos, e bater 7 horas, com 6 lacunas, leva 12 segundos.

A suposição trata dois tipos de coisas misturadas. Uma fazenda tem 20 galinhas e coelhos com 56 patas ao todo. Suponha que as 20 fossem galinhas: são 40 patas, 16 a menos. Cada coelho trocado por uma galinha soma 2 patas, então há 16 ÷ 2 = 8 coelhos e 12 galinhas. Confira: 8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56. O excesso e a falta compara dois jeitos de repartir. Dar 4 lápis para cada criança deixa 10 sobrando, e dar 6 falta 6. O segundo jeito precisa de 10 + 6 = 16 lápis a mais que o primeiro, e cada criança recebe 2 a mais, então há 16 ÷ 2 = 8 crianças e 4 × 8 + 10 = 42 lápis. Confira: 6 × 8 = 48, que é 6 a mais que 42.

Um recipiente pesado duas vezes dá o conteúdo por subtração. Um pote cheio de arroz pesa 1500 g, e meio cheio pesa 900 g. A diferença, 600 g, é metade do arroz, então a quantidade cheia de arroz é 1200 g e o pote vazio pesa 1500 − 1200 = 300 g. Trabalhar de trás para frente desfaz cada passo na ordem inversa. Alguém tirou metade de um monte de cartas e mais 3, e sobraram 9. Antes de essas 3 a mais serem tiradas havia 9 + 3 = 12, e esse 12 era a metade que sobrou, então o monte começou com 24. Confira para a frente: metade de 24 é 12, e 12 + 3 = 15 foram tiradas, sobrando 24 − 15 = 9. Multiplicar e dividir se desfazem um ao outro é a ideia por trás disso.

A eliminação compara duas listas de compras que têm um item em comum. Duas canetas e três réguas custam 13 dólares, e duas canetas e uma régua custam 9 dólares. As canetas são as mesmas nas duas, então a diferença de 4 dólares é o preço de duas réguas, e uma régua custa 2 dólares. Então duas canetas custam 9 − 2 = 7 dólares, então uma caneta custa 3 dólares e 50 centavos. Quando nenhum item bate, multiplique uma lista primeiro para que bata: Simultâneas por eliminação mostra como. Um resto precisa ser lido na sua situação, como Os restos ensina: 38 pessoas em táxis de 4 lugares precisam de 10 táxis, não 9.5 nem 9, porque as 2 pessoas que sobram também precisam ir.

Os quatro erros que merecem nome

• Ler os zeros como nada. Um zero mantém uma coluna aberta. Tirá-lo de 4 207 000 não encurta o número, encolhe-o por um fator de dez mil.
• Arredondar em duas etapas. 3449 para a centena mais próxima é 3400. Arredondar primeiro para 3450 e depois para 3500 deixa um algarismo votar duas vezes.
• Tratar −7 como maior que −3. Mais longe do zero não é mais para cima. Compare posições na reta, não tamanhos com um sinal grudado.
• Contar zeros à esquerda como significativos. 0.00427 tem três algarismos significativos, não cinco. A significância começa no primeiro algarismo que não é zero.

Para onde isso leva

O valor posicional é o alicerce em que os métodos escritos se apoiam: o vai um e o empréstimo são valor posicional em movimento, e estão trabalhados no guia de métodos de cálculo mental e escrito. Estender as colunas para a direita das unidades, em vez da esquerda, dá décimos e centésimos — o assunto do guia de decimais e da escada mais completa de decimais, porcentagens e juros. E perguntar quais inteiros dividem quais leva a fatores, múltiplos e primos.