Números inteiros e valor posicional

Dez algarismos escrevem todo número inteiro que já existiu. Isso não é coincidência, nem uma convenção que poderia facilmente ter sido outra — é uma única ideia, aplicada muitas vezes: o valor de um algarismo depende de onde ele está, e cada coluna vale dez da que fica à sua direita.

Esta página segue essa ideia da primeira contagem até um milhão, e depois até as duas coisas que as pessoas realmente acham espinhosas — arredondar para o nível certo de detalhe, e os números abaixo de zero. Cada regra vem com um exemplo resolvido e o motivo de valer.

O que é valor posicional, e por que importa?

Valor posicional é a regra de que a posição carrega o tamanho. Em 3507, o 3 é três mil, o 5 é quinhentos, o 0 mantém aberta a coluna das dezenas, e o 7 é sete unidades. Os algarismos contam; as colunas pesam.

A criança encontra isso em etapas, e cada etapa é um degrau genuíno, não mais do mesmo. Contar vem primeiro: Contar até dez assenta que a última palavra dita é quantos são, e Um e um faz da primeira adição uma imagem, não um fato para decorar. Escrever números até vinte é onde o símbolo escrito e a palavra falada se encontram, o que dá um trabalho surpreendente para quem tem cinco anos — catorze fala o quatro primeiro e o escreve depois.

A comparação chega junto com a contagem, não depois dela. Mais e menos ensina a comparar emparelhando as coisas uma a uma, para a resposta não depender de contar direito. E as somas que formam dez — Somas que formam cinco, depois Somas que formam dez — são o pequeno conjunto de fatos em que tudo depois se apoia, porque o dez é o número em torno do qual o sistema inteiro foi construído.

Como um número passa de dez?

Empacotando. Dez unidades viram uma dezena, e a dezena vai para a sua própria coluna. Dezenas e unidades é a lição onde esse pacote fica visível, e Contar até cem é onde o padrão se repete vezes o bastante para ser acreditado.

E então acontece de novo, sem mudar. Dez dezenas fazem uma centena (Centenas), dez centenas fazem um milhar (O cubo do mil, que desenha o mil como um bloco sólido para o salto desde a centena plana ser algo que se vê), e o mesmo movimento feito mais três vezes chega ao milhão — o assunto de Números até um milhão.

4 207 000 lê-se quatro milhões, duzentos e sete mil. Os espaços não são decoração — agrupam os algarismos de três em três, para a palavra mil e a palavra milhão caírem no lugar certo quando você lê em voz alta.

Como arredondar um número, e até onde?

Olhe o único algarismo logo depois da casa que você vai manter: cinco ou mais sobe, quatro ou menos deixa como está. Tudo à direita da casa mantida vira zero.

3470 para a centena mais próxima → o algarismo das dezenas é $7\to 3500$7 → 3500. 3428 para a centena mais próxima → o algarismo das dezenas é $2\to 3400$2 → 3400.

Arredondar para a dezena mais próxima começa isso numa reta numérica, onde "sobe ou desce" é visivelmente uma pergunta sobre qual marca está mais perto, e Arredondar para a centena e o milhar mais próximos mostra o mesmo movimento deslizando uma coluna à esquerda sem mudar.

Quando usar algarismos significativos?

Quando o tamanho do número não se conhece de antemão. As casas decimais contam a partir do ponto; os algarismos significativos contam a partir do primeiro algarismo diferente de zero, e por isso guardam a mesma proporção de detalhe, seja o número um milhão ou um milésimo. Algarismos significativos torna precisa a regra de contagem, incluindo os zeros à esquerda que nunca contam e os do fim que às vezes contam.

Um algarismo significativo basta para conferir quase qualquer conta antes de confiar nela — Estimar com um algarismo significativo transforma 38 × 512 em 40 × 500 = 20000 num segundo, o suficiente para pegar uma resposta que saiu 1945 ou 194560. O guia de estimativa trata desse hábito com calma.

Arredondar também tem um custo, e o custo pode ser dito com exatidão. Limites e intervalos de erro mostra que um comprimento anotado como 24 cm ao centímetro mais próximo está na verdade em algum lugar de 23.5 ≤ x < 24.5, e Erro percentual transforma esse vão numa proporção, que é a forma que permite comparar um erro numa ponte com um erro num parafuso.

O que são números negativos?

Números negativos são o que aparece quando a reta numérica não para no zero. São tão reais quanto os positivos e obedecem exatamente às mesmas regras — o desconforto é todo sobre direção, e passa assim que a direção vira a coisa que você acompanha.

Abaixo de zero os apresenta onde eles já moram para a maioria das pessoas: temperatura, andares abaixo do térreo, dinheiro devido. Ordenar números negativos conserta então a comparação que pega todo mundo — −7 é menor que −3, porque está mais para baixo, mesmo 7 sendo mais que 3.

Somar e subtrair atravessando o zero

A adição anda para a direita e a subtração para a esquerda, comece você do lado do zero que for. Somar e subtrair atravessando o zero treina as travessias: −4 + 7 = 3 são quatro passos até o zero e mais três além dele.

Subtrair um negativo é o movimento que pede um motivo em vez de uma regra, e Subtrair números negativos dá dois. O primeiro é um padrão: 5 − 1 = 4, 5 − 0 = 5, 5 − (−1) = 6, subindo um de cada vez, sem buraco onde o sinal muda. O segundo é significado: tirar uma dívida de três deixa você três melhor, então 5 − (−3) = 8.

Valor absoluto é a ferramenta para as horas em que só a distância importa. |−7| = 7 — a que distância do zero, não para que lado — e é o que deixa uma tolerância ser escrita uma vez em vez de duas.

Por que dois negativos multiplicados dão positivo

Porque multiplicar por um negativo inverte a direção, e inverter duas vezes deixa você virado para a frente. Multiplicar e dividir números negativos mostra o mesmo argumento como um padrão que se recusa a quebrar:

3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0. Cada resposta é 2 maior que a anterior. Manter essa subida constante dá (−1) × (−2) = 2.

Os quatro erros que merecem nome

• Ler os zeros como nada. Um zero mantém uma coluna aberta. Tirá-lo de 4 207 000 não encurta o número, encolhe-o por um fator de dez mil.
• Arredondar em duas etapas. 3449 para a centena mais próxima é 3400. Arredondar primeiro para 3450 e depois para 3500 deixa um algarismo votar duas vezes.
• Tratar −7 como maior que −3. Mais longe do zero não é mais para cima. Compare posições na reta, não tamanhos com um sinal grudado.
• Contar zeros à esquerda como significativos. 0.00427 tem três algarismos significativos, não cinco. A significância começa no primeiro algarismo que não é zero.

Para onde isso leva

O valor posicional é o alicerce em que os métodos escritos se apoiam: o vai um e o empréstimo são valor posicional em movimento, e estão trabalhados no guia de métodos de cálculo mental e escrito. Estender as colunas para a direita das unidades, em vez da esquerda, dá décimos e centésimos — o assunto do guia de decimais e da escada mais completa de decimais, porcentagens e juros. E perguntar quais inteiros dividem quais leva a fatores, múltiplos e primos.

Pratique no jogo

O Math Challenge é um jogo de cálculo mental com uma lição ilustrada para cada passo acima — imagens, uma derivação resolvida e problemas para tentar que reensinam exatamente a pergunta que você errou, não uma parecida. As lições citadas nesta página fazem parte de um catálogo de mais de 800, da primeira contagem aos assuntos de vestibular.

Para treinar em vez de ler, o tópico Números negativos roda as regras de sinal até elas dispensarem pensamento, e Arredondamento faz o mesmo com as decisões de valor posicional.

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