Números enteros y valor posicional

Diez cifras escriben todos los números enteros que han existido jamás. No es una casualidad ni una convención que pudiéramos haber elegido de otra manera con facilidad — es una sola idea, aplicada una y otra vez: lo que vale una cifra depende de dónde está, y cada columna vale diez de la que tiene a su derecha.

Esta página sigue esa idea desde el primer conteo hasta el millón, y luego sale hacia las dos cosas que a la gente le resultan de verdad incómodas — redondear al nivel de detalle correcto, y los números por debajo de cero. Cada regla viene con un ejemplo resuelto y el motivo por el que se cumple.

¿Qué es el valor posicional, y por qué importa?

El valor posicional es la regla de que la posición lleva el tamaño. En 3,507 el 3 es tres mil, el 5 es quinientos, el 0 mantiene abierta la columna de las decenas y el 7 son siete unidades. Las cifras cuentan; las columnas pesan.

Los niños lo conocen por etapas, y cada etapa es un paso genuino y no más de lo mismo. Primero viene contar: Contar hasta diez asienta que la última palabra que dices es cuántos hay, y Uno y uno convierte la primera suma en un dibujo en vez de un dato que memorizar. Escribir los números hasta veinte es donde el símbolo escrito y la palabra dicha se emparejan, que es una cantidad sorprendente de trabajo para alguien de cinco años — catorce dice el cuatro primero y lo escribe después.

La comparación llega junto al conteo y no después. Más y menos enseña la comparación emparejando cosas una a una, para que la respuesta no dependa de contar bien. Y los amigos del diez — Parejas que suman cinco, y luego Parejas que suman diez — son el pequeño conjunto de datos en el que se apoya todo lo posterior, porque el diez es el número alrededor del cual está construido el sistema entero.

¿Cómo pasa un número de diez?

Haciendo paquetes. Diez unidades se convierten en una decena, y la decena va en su propia columna. Decenas y unidades es la lección donde ese paquete se hace visible, y Contar hasta cien es donde el patrón se repite las veces suficientes para creérselo.

Y entonces vuelve a ocurrir, sin cambios. Diez decenas hacen una centena (Centenas), diez centenas hacen un millar (El cubo de mil, que dibuja el millar como un bloque macizo para que el salto desde la centena plana sea algo que se puede ver), y el mismo movimiento repetido tres veces más llega al millón — el tema de Números hasta el millón.

4,207,000 se lee cuatro millones doscientos siete mil. Las comas no son decoración — agrupan las cifras de tres en tres para que la palabra mil y la palabra millón caigan en su sitio cuando lo dices en voz alta.

¿Cómo se redondea un número, y a qué?

Mira la única cifra justo después del lugar que conservas: cinco o más sube, cuatro o menos se queda. Todo lo que hay a la derecha del lugar conservado se convierte en cero.

3,470 a la centena más cercana → la cifra de las decenas es $7\to 3$7 → 3,500. 3,428 a la centena más cercana → la cifra de las decenas es $2\to 3$2 → 3,400.

Redondear a la decena más cercana empieza esto en una recta numérica, donde "subir o bajar" es visiblemente una pregunta sobre qué marca tienes más cerca, y Redondear a la centena y al millar muestra el mismo movimiento deslizándose una columna a la izquierda sin cambiar.

¿Cuándo se usan las cifras significativas?

Cuando el tamaño del número no se conoce de antemano. Los decimales se cuentan desde el punto; las cifras significativas, desde la primera cifra distinta de cero, así que conservan la misma proporción de detalle tanto si el número es un millón como una milésima. Cifras significativas deja precisa la regla de conteo, incluidos los ceros iniciales que nunca cuentan y los finales que a veces sí.

Una cifra significativa basta para comprobar casi cualquier cálculo antes de fiarte de él — Estimar con una cifra significativa convierte 38 × 512 en 40 × 500 = 20,000 en un segundo, que es todo lo que necesitas para cazar una respuesta que salió como 1,945 o como 194,560. La guía de estimación trata ese hábito con calma.

Redondear también tiene un coste, y el coste se puede enunciar con exactitud. Cotas e intervalos de error muestra que una longitud anotada como 24 cm al centímetro más cercano está en realidad en algún punto de 23.5 ≤ x < 24.5, y Error porcentual convierte ese hueco en una proporción, que es la forma que permite comparar un error en un puente con un error en un tornillo.

¿Qué son los números negativos?

Los números negativos son lo que obtienes cuando la recta numérica no se detiene en el cero. Son tan reales como los positivos y se comportan exactamente bajo las mismas reglas — la incomodidad es toda cosa de la dirección, y se despeja en cuanto la dirección es lo que estás siguiendo.

Bajo cero los presenta donde ya viven para casi todo el mundo: la temperatura, las plantas de sótano, el dinero que se debe. Ordenar números negativos fija después la única comparación que atrapa a todos — −7 es menor que −3, porque está más abajo, aunque 7 sea más que 3.

Sumar y restar cruzando el cero

La suma mueve a la derecha y la resta a la izquierda, empieces en el lado del cero que empieces. Sumar y restar cruzando el cero trabaja los cruces: −4 + 7 = 3 son cuatro pasos hasta el cero y tres más allá.

Restar un negativo es el movimiento que necesita un motivo y no una regla, y Restar números negativos da dos. El primero es un patrón: 5 − 1 = 4, 5 − 0 = 5, 5 − (−1) = 6, subiendo de uno en uno sin ningún hueco donde cambia el signo. El segundo es significado: quitarte una deuda de tres te deja tres mejor, así que 5 − (−3) = 8.

Valor absoluto es la herramienta para las veces en que solo importa la distancia. |−7| = 7 — cómo de lejos del cero, no hacia dónde — y es lo que permite escribir una tolerancia una vez en lugar de dos.

Por qué dos negativos multiplicados dan positivo

Porque multiplicar por un negativo invierte la dirección, e invertir dos veces te deja mirando hacia delante. Multiplicar y dividir números negativos enseña el mismo argumento como un patrón que se niega a romperse:

3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0. Cada respuesta está 2 por encima de la anterior. Mantener esa subida constante da (−1) × (−2) = 2.

Los cuatro errores que conviene nombrar

• Leer los ceros como nada. Un cero mantiene abierta una columna. Quitárselo a 4,207,000 no acorta el número: lo encoge por un factor de diez mil.
• Redondear en dos pasos. 3,449 a la centena más cercana es 3,400. Redondear primero a 3,450 y luego a 3,500 deja votar dos veces a una cifra.
• Tratar −7 como mayor que −3. Más lejos del cero no es más arriba. Compara posiciones en la recta, no tamaños con un signo pegado.
• Contar los ceros iniciales como significativos. 0.00427 son tres cifras significativas, no cinco. La significación empieza en la primera cifra que no es un cero.

Adónde lleva esto

El valor posicional es el cimiento sobre el que se sostienen los métodos escritos: las llevadas y los préstamos son valor posicional en movimiento, y se trabajan en la guía de métodos aritméticos mentales y escritos (en inglés). Extender las columnas a la derecha de las unidades, en vez de a la izquierda, da décimas y centésimas — el tema de la guía de decimales y de la escalera más completa de decimales, porcentajes e interés (en inglés). Y preguntar qué enteros dividen a cuáles lleva a factores, múltiplos y primos (en inglés).

Practícalo en el juego

Math Challenge es un juego de cálculo mental con una lección ilustrada para cada paso de arriba — dibujos, una derivación resuelta y problemas para probar que reenseñan la pregunta exacta que fallaste y no una parecida. Las lecciones nombradas en esta página forman parte de un catálogo de más de 800 a lo largo de toda la escalera, desde el primer conteo hasta temas de acceso a la universidad.

Para entrenar en vez de leer, el tema de Números negativos ejercita las reglas de los signos hasta que dejan de necesitar pensamiento, y Redondeo hace lo mismo con las decisiones de valor posicional.

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