Números enteros y valor posicional

Actualizado 13 de octubre de 2026

Diez cifras escriben todos los números enteros que han existido jamás. No es una casualidad ni una convención que pudiéramos haber elegido de otra manera con facilidad — es una sola idea, aplicada una y otra vez: lo que vale una cifra depende de dónde está, y cada columna vale diez de la que tiene a su derecha.

¿Qué es el valor posicional, y por qué importa?

El valor posicional es la regla de que el valor de una cifra depende de la columna en la que está, y cada columna vale diez veces la columna a su derecha. En 3,507 el 3 está en la columna de los millares, así que significa 3,000; el 5 significa 500; el 0 significa ninguna decena; y el 7 significa 7 unidades. Suma las partes y el número vuelve: 3,000 + 500 + 0 + 7 = 3,507. Funciona porque diez unidades hacen una decena, diez decenas hacen una centena y diez centenas hacen un millar, así que diez cifras bastan para escribir cualquier número entero. El cero es el caso que atrapa a la gente. Mantiene abierta la columna de las decenas, y sin él el 3, el 5 y el 7 se desplazan cada uno una columna a la derecha, convirtiendo 3,507 en 357, unas diez veces más pequeño. Para comprobar un número, dilo en voz alta columna por columna: tres mil, quinientos, ninguna decena, siete unidades.

Los niños lo conocen por etapas, y cada etapa es un paso genuino y no más de lo mismo. Primero viene contar: Contar hasta diez asienta que la última palabra que dices es cuántos hay, y Uno y uno convierte la primera suma en un dibujo en vez de un dato que memorizar. Escribir los números hasta veinte es donde el símbolo escrito y la palabra dicha se emparejan, que es una cantidad sorprendente de trabajo para alguien de cinco años — catorce dice el cuatro primero y lo escribe después.

La comparación llega junto al conteo y no después. Más y menos enseña la comparación emparejando cosas una a una, para que la respuesta no dependa de contar bien. Y los amigos del diez — Parejas que suman cinco, y luego Parejas que suman diez — son el pequeño conjunto de datos en el que se apoya todo lo posterior, porque el diez es el número alrededor del cual está construido el sistema entero.

¿Cómo pasa un número de diez?

Un número se hace mayor que diez haciendo paquetes: diez unidades hacen una decena, y esa decena se escribe en una columna nueva a la izquierda. Cuenta 8, 9, 10 y a la columna de las unidades se le acaban las cifras, así que vuelve a 0 mientras la columna de las decenas muestra 1. Decenas y unidades dibuja el paquete como una barra de diez cubos, así que 34 son 3 barras y 4 cubos sueltos, y 3 × 10 + 4 = 34. Funciona porque cada columna solo contiene las cifras del 0 al 9, y un décimo elemento siempre se convierte en uno de la columna siguiente. Una columna llena se lleva a la siguiente. Suma 1 a 99: las unidades llegan a diez y se llevan, eso llena las decenas, y también se llevan, así que 99 + 1 = 100. Contar hasta cien repite ese patrón hasta que se hace normal. Para comprobar, reagrupa el número: 100 son diez decenas, y 10 × 10 = 100.

Y entonces vuelve a ocurrir, sin cambios. Diez decenas hacen una centena (Centenas), diez centenas hacen un millar (El cubo de mil, que dibuja el millar como un bloque macizo para que el salto desde la centena plana sea algo que se puede ver), y el mismo movimiento repetido tres veces más llega al millón — el tema de Números hasta el millón.

4,207,000 se lee cuatro millones doscientos siete mil. Las comas no son decoración — agrupan las cifras de tres en tres para que la palabra mil y la palabra millón caigan en su sitio cuando lo dices en voz alta.

¿Cómo se redondea un número, y a qué?

Para redondear un número, mira la única cifra justo después del lugar que conservas: 5 o más sube, 4 o menos deja la cifra conservada igual, y toda cifra después del lugar conservado se convierte en cero. Para redondear 2,650 al millar más cercano, conserva el 2 en los millares, mira la cifra de las centenas, 6, y sube a 3,000. Funciona porque 2,650 está entre 2,000 y 3,000, y todo número desde 2,500 en adelante está más cerca de 3,000. El trabajo decide el lugar: la decena más cercana para una suma rápida, una centena o un millar para una cantidad grande. Un 9 que sube se lleva. Redondear 3,960 a la centena más cercana convierte las 9 centenas en diez centenas, que se llevan, así que la respuesta es 4,000. Para comprobar, la respuesta debe ser un múltiplo del lugar que conservaste y no estar a más de medio paso del inicio.

3,470 a la centena más cercana $\to$→ la cifra de las decenas es $7\to 3$7 → 3,500. 3,428 a la centena más cercana $\to$→ la cifra de las decenas es $2\to 3$2 → 3,400.

Redondear a la decena más cercana empieza esto en una recta numérica, donde "subir o bajar" es visiblemente una pregunta sobre qué marca tienes más cerca, y Redondear a la centena y al millar muestra el mismo movimiento deslizándose una columna a la izquierda sin cambiar.

¿Cuándo se usan las cifras significativas?

Cuando el tamaño del número no se conoce de antemano. Los decimales se cuentan desde el punto; las cifras significativas, desde la primera cifra distinta de cero, así que conservan la misma proporción de detalle tanto si el número es un millón como una milésima. Cifras significativas deja precisa la regla de conteo, incluidos los ceros iniciales que nunca cuentan y los finales que a veces sí.

Una cifra significativa basta para comprobar casi cualquier cálculo antes de fiarte de él — Estimar con una cifra significativa convierte 38 × 512 en 40 × 500 = 20,000 en un segundo, que es todo lo que necesitas para cazar una respuesta que salió como 1,945 o como 194,560. La guía de estimación trata ese hábito con calma.

Redondear también tiene un coste, y el coste se puede enunciar con exactitud. Cotas e intervalos de error muestra que una longitud anotada como 24 cm al centímetro más cercano está en realidad en algún punto de $23.5\le x<24.5$23.5 ≤ x < 24.5, y Error porcentual convierte ese hueco en una proporción, que es la forma que permite comparar un error en un puente con un error en un tornillo.

¿Qué son los números negativos?

Los números negativos son los números por debajo de cero en la recta numérica, escritos con un signo menos: −3 son tres pasos por debajo de cero, igual que 3 son tres pasos por encima. Una temperatura de 2 grados que baja 5 grados termina en −3, porque 2 − 5 = −3: dos pasos hacia abajo llegan a cero y tres más van por debajo. Siguen las mismas reglas que los números positivos porque están en la misma recta; solo la dirección es nueva. Sumar mueve a la derecha, restar mueve a la izquierda, y el signo te dice en qué lado del cero estás. Los números negativos invierten la comparación. En la recta, −8 queda más a la izquierda que −2, así que −8 es el número menor, aunque 8 sea mayor que 2. Restar un negativo es el otro caso, y mueve a la derecha: 4 − (−2) = 6. Para comprobar, cuenta los pasos en una recta numérica, o trabaja hacia atrás: −3 + 5 = 2.

Bajo cero los presenta donde ya viven para casi todo el mundo: la temperatura, las plantas de sótano, el dinero que se debe. Ordenar números negativos fija después la única comparación que atrapa a todos — −7 es menor que −3, porque está más abajo, aunque 7 sea más que 3.

Sumar y restar cruzando el cero

La suma mueve a la derecha y la resta a la izquierda, empieces en el lado del cero que empieces. Sumar y restar cruzando el cero trabaja los cruces: −4 + 7 = 3 son cuatro pasos hasta el cero y tres más allá.

Restar un negativo es el movimiento que necesita un motivo y no una regla, y Restar números negativos da dos. El primero es un patrón: 5 − 1 = 4, 5 − 0 = 5, 5 − (−1) = 6, subiendo de uno en uno sin ningún hueco donde cambia el signo. El segundo es significado: quitarte una deuda de tres te deja tres mejor, así que 5 − (−3) = 8.

Valor absoluto es la herramienta para las veces en que solo importa la distancia. |−7| = 7 — cómo de lejos del cero, no hacia dónde — y es lo que permite escribir una tolerancia una vez en lugar de dos.

Por qué dos negativos multiplicados dan positivo

Porque multiplicar por un negativo invierte la dirección, e invertir dos veces te deja mirando hacia delante. Multiplicar y dividir números negativos enseña el mismo argumento como un patrón que se niega a romperse:

3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0. Cada respuesta está 2 por encima de la anterior. Mantener esa subida constante da (−1) × (−2) = 2.

¿Cómo se resuelve un problema con números enteros sin álgebra?

Muchos problemas verbales con números enteros tienen una forma conocida, y cada forma tiene un método que funciona sin letras para las incógnitas. Cada método es también una ecuación disfrazada, lo que Formar ecuaciones muestra escribiendo el mismo tipo de problema con una letra. Seis formas cubren la mayoría: huecos e intervalos, suposición, exceso y defecto, un recipiente pesado dos veces, trabajar hacia atrás, y eliminación. La primera son los huecos e intervalos. Una valla de 60 m de largo con un poste cada 4 m, de un extremo al otro, tiene 60 ÷ 4 = 15 huecos, y un poste más que huecos, así que 16 postes. Cuenta primero los huecos, porque los huecos son lo que divide la medida. Un reloj que tarda 4 segundos en dar las 3 tiene 2 huecos entre sus 3 campanadas, así que cada hueco dura 2 segundos, y dar las 7, con 6 huecos, tarda 12 segundos.

La suposición trata dos tipos de cosas mezcladas. Una granja tiene 20 gallinas y conejos con 56 patas entre todos. Supón que las 20 fueran gallinas: eso son 40 patas, 16 de menos. Cada conejo que sustituye a una gallina añade 2 patas, así que hay 16 ÷ 2 = 8 conejos y 12 gallinas. Compruébalo: 8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56. El exceso y el defecto compara dos maneras de repartir. Dar a cada niño 4 lápices deja 10 de sobra, y darle 6 falta por 6. La segunda manera necesita 10 + 6 = 16 lápices más que la primera, y cada niño recibe 2 más, así que hay 16 ÷ 2 = 8 niños y 4 × 8 + 10 = 42 lápices. Comprueba: 6 × 8 = 48, que es 6 más que 42.

Un recipiente pesado dos veces da el contenido por resta. Un tarro lleno de arroz pesa 1500 g, y medio lleno pesa 900 g. La diferencia, 600 g, es la mitad del arroz, así que la cantidad total de arroz es 1200 g y el tarro vacío pesa 1500 − 1200 = 300 g. Trabajar hacia atrás deshace cada paso en orden inverso. Alguien tomó la mitad de una pila de cartas y 3 más, y quedaron 9. Antes de tomar esas 3 más había 9 + 3 = 12, y esos 12 eran la mitad que quedaba, así que la pila empezó con 24. Comprueba hacia adelante: la mitad de 24 es 12, y se tomaron 12 + 3 = 15, quedando 24 − 15 = 9. Multiplicar y dividir se deshacen entre sí es la idea de fondo.

La eliminación compara dos listas de compra que comparten un artículo. Dos bolígrafos y tres reglas cuestan 13 dólares, y dos bolígrafos y una regla cuestan 9 dólares. Los bolígrafos son los mismos en ambas, así que la diferencia de 4 dólares es el precio de dos reglas, y una regla cuesta 2 dólares. Entonces dos bolígrafos cuestan 9 − 2 = 7 dólares, así que un bolígrafo cuesta 3 dólares con 50 centavos. Cuando ningún artículo coincide, multiplica primero una lista para que coincida: Simultáneas por eliminación muestra cómo. Un resto hay que leerlo en su situación, como enseña Los restos: 38 personas en taxis de 4 plazas necesitan 10 taxis, no 9.5 ni 9, porque las 2 personas que sobran también necesitan viajar.

Los cuatro errores que conviene nombrar

• Leer los ceros como nada. Un cero mantiene abierta una columna. Quitárselo a 4,207,000 no acorta el número: lo encoge por un factor de diez mil.
• Redondear en dos pasos. 3,449 a la centena más cercana es 3,400. Redondear primero a 3,450 y luego a 3,500 deja votar dos veces a una cifra.
• Tratar −7 como mayor que −3. Más lejos del cero no es más arriba. Compara posiciones en la recta, no tamaños con un signo pegado.
• Contar los ceros iniciales como significativos. 0.00427 son tres cifras significativas, no cinco. La significación empieza en la primera cifra que no es un cero.

Adónde lleva esto

El valor posicional es el cimiento sobre el que se sostienen los métodos escritos: las llevadas y los préstamos son valor posicional en movimiento, y se trabajan en la guía de métodos aritméticos mentales y escritos (en inglés). Extender las columnas a la derecha de las unidades, en vez de a la izquierda, da décimas y centésimas — el tema de la guía de decimales y de la escalera más completa de decimales, porcentajes e interés (en inglés). Y preguntar qué enteros dividen a cuáles lleva a factores, múltiplos y primos (en inglés).