整数と位取り

更新 2026年10月13日

10個の数字で、これまでに存在したすべての整数が書けます。これは偶然ではありませんし、別の決め方も簡単にできたはずの取り決めでもありません — 一つの考えを、何度も何度も当てはめた結果です。数字の値打ちは置かれた場所で決まり、どの位も右どなりの10個ぶんの重さを持つ、という考えです。

位取りとは何か、なぜ大事か

位取りとは、数字の値がどの位にあるかで決まり、どの位もその右どなりの位の10倍の値を持つという決まりです。3,507 では、3 は千の位にあるので3,000を意味し、5 は500、0 は十が0であることを意味し、7 は一が7であることを意味します。それぞれの部分を足すと元の数に戻ります。3,000 + 500 + 0 + 7 = 3,507。これがうまくいくのは、一が10個で十に、十が10個で百に、百が10個で千になるからで、10種類の数字だけでどんな整数でも書き表せます。0はつまずきやすい場合です。0は十の位をあけておく役目をしていて、もしなければ3、5、7はそれぞれ一つ右の位にずれ、3,507は357になり、およそ10分の1の大きさになってしまいます。数を確かめるには、位ごとに声に出して読みます。三千、五百、十はゼロ、七。

子どもは段階を踏んでここに出会います。どの段階も「同じことの続き」ではなく本物の一歩です。まず数えること。10まで数えるで「最後に言った言葉が個数」ということが腹に落ち、1と1で最初のたし算が、暗記する事実ではなく絵になります。20までの数を書くは、書いた記号と口で言う言葉を結びつけるところで、5歳にとってはおどろくほどの大仕事です — 「じゅうよん」は二つの言葉なのに、書くのは 14 というひとつづりなのですから。

くらべることは、数えることのあとではなく、となりにやってきます。多いと少ないは一対一に並べてくらべることを教えるので、答えは正しく数えられたかどうかに頼りません。そして、数の組 — 5になる組、続いて10になる組 — は、のちのすべてが寄りかかる少数の事実です。10は、この仕組みぜんたいがそのまわりに組み立てられた数だからです。

数はどうやって10より大きくなるのか

数が10より大きくなるのは、たばねることによってです。一が10個で一つの十になり、その十は左どなりの新しい位に書かれます。8、9、10 と数えると、一の位は数字を使い切ってしまうので0に戻り、十の位が1になります。十と一は、そのたばねを10個の立方体の棒として描き、34 は棒3本とばら4個で、3 × 10 + 4 = 34 です。これがうまくいくのは、どの位も0から9までの数字しか持てず、10個目のものは必ず次の位の1個になるからです。いっぱいになった位は次の位にくり上がります。99 に1を足すと、一の位が10になってくり上がり、それが十の位を満たしてまたくり上がるので、99 + 1 = 100 です。100まで数えるは、このパターンをあたりまえに感じるまでくり返します。確かめるには、数を組み替えます。100 は十が10個で、10 × 10 = 100 です。

そして同じことが、姿を変えずにもう一度起こります。十が10個で百（百）、百が10個で千（千の立方体 — 千をかたまりの箱として描くので、平たい百からの跳びが目で見えます）、同じ動きをあと3回で100万 — 100万までの数の主題です。

4,207,000 は「四百二十万七千」と読みます。区切りのコンマは飾りではありません — 数字を3けたずつたばね、声に出したときに「千」「百万」という言葉が正しい場所に落ちるようにしています。

数はどう丸めるのか、どこまで丸めるのか

数を丸めるには、残す位のすぐ次の1文字を見ます。5以上なら切り上げ、4以下なら残す位はそのまま、残した位より右のけたはすべて0になります。2,650 を千の位に丸めるなら、千の位の2を残し、百の位の6を見て、切り上げて3,000にします。これがうまくいくのは、2,650 が2,000と3,000のあいだにあり、2,500以上の数はどれも3,000のほうに近いからです。どの位に丸めるかは目的が決めます。ざっとした計算なら十の位、大きな金額なら百の位や千の位です。9が切り上がるとくり上がります。3,960 を百の位に丸めると、9百がくり上がって10百になり、答えは4,000です。確かめるには、答えが残した位の倍数になっていること、そしてもとの数から半歩以内に収まっていることを見ます。

3,470 を百の位まで $\to$→ 十の位は $7\to 3$7 → 3,500。 3,428 を百の位まで $\to$→ 十の位は $2\to 3$2 → 3,400。

十の位への四捨五入はこれを数直線の上で始めます。そこでは「上げるか下げるか」が、どちらの目盛りに近いかという目で見える問いです。百・千の位への四捨五入は、同じ動きが姿を変えずに一つ左の位へすべることを見せます。

有効数字を使うのはいつか

数の大きさが前もってわからないときです。小数点以下のけた数は小数点から数えますが、有効数字は最初の0でない数字から数えるので、数が100万でも1000分の1でも、同じ割合の細かさを保ちます。有効数字は、決して数えない先頭の0と、ときどき数える末尾の0を含めて、数え方の決まりを正確にします。

有効数字1けたあれば、ほとんどどんな計算も、信じる前にたしかめられます — 有効数字1けたで見積もるは 38 × 512 を一瞬で 40 × 500 = 20,000 に変えます。答えが 1,945 や 194,560 と出てきたときにつかまえるには、それで十分です。この習慣は見積もりのガイドがじっくり扱います。

丸めには代償もあり、その代償は正確に述べられます。上限・下限と誤差の区間は、センチメートル単位で 24 cm と記録された長さが、実際には $23.5\le x<24.5$23.5 ≤ x < 24.5 のどこかにあることを見せ、百分率誤差はその幅を割合に直します。橋の誤差とボルトの誤差をくらべられる形は、そちらです。

負の数とは何か

負の数とは、数直線の0より下にある数で、マイナス記号をつけて書きます。−3 は0から下へ3歩の位置で、3が0から上へ3歩なのと同じです。2度の気温が5度下がると −3 度になります。2 − 5 = −3 だからです。2歩下がって0に着き、さらに3歩下がるので0より下に出ます。負の数が正の数と同じ規則に従うのは、同じ数直線の上にあるからで、新しいのは向きだけです。足し算は右へ動き、引き算は左へ動き、符号がその数が0のどちら側にあるかを教えてくれます。負の数は大小のくらべ方を逆にします。数直線上で −8 は −2 より左にあるので、8 が2より大きくても −8 のほうが小さい数です。負の数を引くのは別の場合で、これは右へ動きます。4 − (−2) = 6。確かめるには、数直線で歩数を数えるか、逆算します。−3 + 5 = 2。

0より下は、たいていの人にとって負の数がすでに住んでいる場所 — 気温、地下の階、借りたお金 — から紹介します。続いて負の数の並べ方が、全員を引っかける一つのくらべを直します — −7 は −3 より小さい。7 は 3 より多くても、より下にあるからです。

0をまたぐたし算とひき算

たし算は右へ、ひき算は左へ — 0のどちら側から始めても同じです。0をまたいで足し引きするが渡り方を練習します。−4 + 7 = 3 は、0まで四歩のぼって、さらに三歩です。

負の数を引くことは、決まりではなく理由が要る動きで、負の数を引くは理由を二つ与えます。一つは並びです。5 − 1 = 4、5 − 0 = 5、5 − (−1) = 6 — 符号の変わり目にも切れ目なく、一段ずつのぼります。もう一つは意味です。3の借金を取り除けば3だけ暮らし向きがよくなる。だから 5 − (−3) = 8。

絶対値は、距離だけが問題になるときの道具です。|−7| = 7 — どちら向きかではなく、0からどれだけ遠いか。許容差を二度ではなく一度で書けるのは、これのおかげです。

負×負が正になる理由

負の数をかけることは向きを反対にすることで、二度反対にすれば前を向くからです。負の数のかけ算とわり算は、同じ論法を、壊れることを拒む並びとして見せます。

3 × (−2) = −6、2 × (−2) = −4、1 × (−2) = −2、0 × (−2) = 0。答えは一段ごとに 2 ずつのぼります。その一定ののぼりを続ければ (−1) × (−2) = 2 です。

整数の問題を代数を使わずに解くにはどうすればよいか

整数の文章題の多くは見覚えのある形をしていて、それぞれの形には、未知数に文字を使わなくても通用するやり方があります。どのやり方も、実は姿を変えた方程式であることを方程式をつくるが、同じ種類の問題を文字で書くことで示します。六つの形が、その大半をカバーします。すき間と間隔、仮定、過不足、二度はかった容器、逆算、そして消去です。最初はすき間と間隔です。端から端まで60mのさくに4mごとに柱を立てると、60 ÷ 4 = 15 個のすき間ができ、すき間より柱が1本多いので、柱は16本です。まずすき間を数えてください。測った長さが割るのは、まさにこのすき間だからです。3時を打つのに4秒かかる時計は、3回の音の間に2つのすき間があるので、すき間1つが2秒、6つのすき間がある7時を打つには12秒かかります。

仮定は、二種類の混ざったものを扱います。ある農場にニワトリとウサギが合わせて20匹いて、足は56本です。20匹全部がニワトリだと仮定すると、足は40本になり、16本足りません。ニワトリの代わりにウサギを1匹入れ替えるごとに足が2本増えるので、ウサギは 16 ÷ 2 = 8匹、ニワトリは12匹です。確かめると、8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56 です。過不足は、二通りの配り方を比べます。子ども一人に鉛筆を4本ずつ配ると10本余り、6本ずつ配ると6本足りません。二つ目の配り方は最初のより 10 + 6 = 16本多く必要で、子ども一人あたり2本多くもらうので、子どもは 16 ÷ 2 = 8人、鉛筆は 4 × 8 + 10 = 42本です。確かめると、6 × 8 = 48 は42より6多い数です。

二度はかった容器は、引き算で中身を教えてくれます。米でいっぱいのびんは1500 gで、半分だと900 gです。差の600 gは米の半分にあたるので、いっぱいの米の量は1200 gで、空のびんは 1500 − 1200 = 300 g です。逆算は、それぞれの手順を逆の順序でもとに戻します。誰かがカードの山の半分と、さらに3枚を取ったところ、9枚残りました。その3枚が取られる前には 9 + 3 = 12枚あり、その12枚が残った半分だったので、山は24枚から始まりました。前向きに確かめると、24の半分は12、12 + 3 = 15枚が取られ、24 − 15 = 9枚残ります。かけ算とわり算はたがいをもとに戻すが、その土台にある考え方です。

消去は、同じ品物を含む二つの買い物リストを比べます。ペン2本と定規3本で13ドル、ペン2本と定規1本で9ドルです。どちらもペンは同じなので、4ドルの差は定規2本分の値段で、定規1本は2ドルです。すると、ペン2本は 9 − 2 = 7ドルなので、ペン1本は3ドル50セントです。どの品物も一致しないときは、まず一方のリストを何倍かして一致させます。やり方は消去法による連立が示します。余りはその場面の中で読み取る必要があると、余りは教えます。4人乗りのタクシーに38人が乗るには10台のタクシーが要り、9.5台でも9台でもありません。余った2人にも乗る場所が要るからです。

名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ

• 0を「何もない」と読む。0は位を開けて支えています。4,207,000 から0を落とすと、数は短くなるのではなく、1万分の1に縮みます。
• 二段階で丸める。3,449 を百の位までにすると 3,400。先に 3,450 にしてから 3,500 にするのは、一つの数字に二度投票させることです。
• −7 を −3 より大きいとあつかう。0から遠いことは、上にあることではありません。くらべるのは線の上の位置であって、符号を貼りつけた大きさではありません。
• 先頭の0を有効数字に数える。0.00427 は有効数字3けたで、5けたではありません。有効は、0でない最初の数字から始まります。

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位取りは、筆算の方法が立つ土台です。くり上がりもくり下がりも、動いている位取りにほかならず、暗算と筆算の方法のガイドがひとつずつ通ります。位を一の位の右へのばせば、10分の1と100分の1 — 小数のガイドと、より広い小数・百分率・利息の段ばしごの主題です。そして、どの整数がどの整数を割り切るかを問えば、約数・倍数・素数（英語）へ続きます。