Les nombres entiers et la valeur de position

Mis à jour 13 octobre 2026

Dix chiffres écrivent tous les nombres entiers qui ont jamais existé. Ce n'est ni une coïncidence ni une convention qu'on aurait pu choisir autrement sans peine — c'est une seule idée, appliquée encore et encore : la valeur d'un chiffre dépend de l'endroit où il se trouve, et chaque colonne vaut dix fois celle qui est à sa droite.

Qu'est-ce que la valeur de position, et pourquoi compte-t-elle ?

La valeur de position est la règle selon laquelle la valeur d'un chiffre dépend de la colonne où il se trouve, et chaque colonne vaut dix fois la colonne à sa droite. Dans 3 507, le 3 est dans la colonne des milliers, donc il vaut 3 000 ; le 5 vaut 500 ; le 0 vaut aucune dizaine ; et le 7 vaut 7 unités. Additionnez les parties et le nombre revient : 3 000 + 500 + 0 + 7 = 3 507. Cela fonctionne parce que dix unités font une dizaine, dix dizaines font une centaine et dix centaines font un millier, donc dix chiffres suffisent à écrire n'importe quel nombre entier. Le zéro est le cas qui piège les gens. Il tient ouverte la colonne des dizaines, et sans lui le 3, le 5 et le 7 glissent chacun d'une colonne vers la droite, transformant 3 507 en 357, environ dix fois plus petit. Pour vérifier un nombre, dites-le à voix haute colonne par colonne : trois mille, cinq cents, aucune dizaine, sept unités.

Les enfants la rencontrent par étapes, et chaque étape est un vrai pas plutôt qu'un simple prolongement. Le comptage vient d'abord : Compter jusqu'à dix établit que le dernier mot prononcé dit combien il y en a, et Un et un fait de la première addition une image plutôt qu'un fait à mémoriser. Écrire les nombres jusqu'à vingt est l'endroit où le symbole écrit et le mot parlé s'apparient, ce qui représente une somme de travail surprenante pour un enfant de cinq ans — quatorze ne dit ni n'écrit ses chiffres dans un ordre évident.

La comparaison arrive en même temps que le comptage plutôt qu'après. Plus et moins enseigne la comparaison en appariant les objets un à un, si bien que la réponse ne dépend pas d'un comptage exact. Et les compléments — Les compléments à cinq, puis Les compléments à dix — forment le petit stock de faits sur lequel tout le reste s'appuie, parce que dix est le nombre autour duquel le système entier est construit.

Comment un nombre dépasse-t-il dix ?

Un nombre devient plus grand que dix en se groupant : dix unités font une dizaine, et cette dizaine s'écrit dans une nouvelle colonne à gauche. Comptez 8, 9, 10 et la colonne des unités n'a plus de chiffres, donc elle revient à 0 pendant que la colonne des dizaines affiche 1. Dizaines et unités dessine le groupement comme un bâton de dix cubes, donc 34, c'est 3 bâtons et 4 cubes isolés, et 3 × 10 + 4 = 34. Cela fonctionne parce que chaque colonne ne contient que les chiffres de 0 à 9, et qu'un dixième élément devient toujours celui de la colonne suivante. Une colonne pleine se reporte sur la suivante. Ajoutez 1 à 99 : les unités atteignent dix et se reportent, cela remplit les dizaines, qui se reportent aussi, donc 99 + 1 = 100. Compter jusqu'à cent répète ce motif jusqu'à ce qu'il paraisse normal. Pour vérifier, regroupez le nombre : 100, c'est dix dizaines, et 10 × 10 = 100.

Puis cela recommence, à l'identique. Dix dizaines font une centaine (Les centaines), dix centaines font un millier (Le cube de mille, qui dessine le millier comme un bloc massif pour que le saut depuis la centaine plate soit quelque chose que l'on voit), et le même geste répété trois fois de plus atteint le million — le sujet de Les nombres jusqu'au million.

4 207 000 se lit quatre millions deux cent sept mille. Les espaces ne sont pas une décoration — ils groupent les chiffres par trois pour que le mot mille et le mot million tombent au bon endroit quand on lit à voix haute.

Comment arrondit-on un nombre, et à quoi ?

Pour arrondir un nombre, regardez le seul chiffre juste après la position que vous gardez : 5 ou plus fait monter, 4 ou moins laisse le chiffre gardé tel quel, et chaque chiffre après la position gardée devient zéro. Pour arrondir 2 650 au millier le plus proche, gardez le 2 dans les milliers, regardez le chiffre des centaines, 6, et montez à 3 000. Cela fonctionne parce que 2 650 se trouve entre 2 000 et 3 000, et que tout nombre à partir de 2 500 est plus proche de 3 000. Le travail décide de la position : la dizaine la plus proche pour une somme rapide, une centaine ou un millier pour une grande quantité. Un 9 qui monte se reporte. Arrondir 3 960 à la centaine la plus proche transforme les 9 centaines en dix centaines, qui se reportent, donc la réponse est 4 000. Pour vérifier, la réponse doit être un multiple de la position gardée et à moins d'un demi-pas du départ.

3 470 à la centaine la plus proche $\to$→ le chiffre des dizaines est $7\to 3500$7 → 3 500. 3 428 à la centaine la plus proche $\to$→ le chiffre des dizaines est $2\to 3400$2 → 3 400.

Arrondir à la dizaine la plus proche commence sur une droite graduée, où « arrondir vers le haut ou le bas » est visiblement une question de repère le plus proche, et Arrondir à la centaine et au millier montre le même geste glissant d'une colonne vers la gauche sans changer.

Quand utilise-t-on plutôt les chiffres significatifs ?

Quand la taille du nombre n'est pas connue d'avance. Les décimales se comptent depuis le point ; les chiffres significatifs se comptent depuis le premier chiffre non nul, alors ils gardent la même proportion de détail, que le nombre soit un million ou un millième. Les chiffres significatifs rend la règle de comptage précise, y compris les zéros de tête qui ne comptent jamais et ceux de queue qui comptent parfois.

Un seul chiffre significatif suffit à vérifier presque n'importe quel calcul avant de lui faire confiance — Estimer à un chiffre significatif transforme 38 × 512 en 40 × 500 = 20 000 en une seconde, tout ce qu'il faut pour attraper une réponse sortie à 1 945 ou 194 560. Le guide de l'estimation approfondit cette habitude.

Arrondir a aussi un coût, et ce coût s'énonce exactement. Bornes et intervalles d'erreur montre qu'une longueur relevée à 24 cm au centimètre près se trouve en réalité quelque part dans $23.5\le x<24.5$23.5 ≤ x < 24.5, et L'erreur en pourcentage change cet écart en proportion — la forme qui permet de comparer une erreur sur un pont avec une erreur sur un boulon.

Que sont les nombres négatifs ?

Les nombres négatifs sont les nombres en dessous de zéro sur la droite graduée, écrits avec un signe moins : −3, c'est trois pas en dessous de zéro, tout comme 3 est trois pas au-dessus. Une température de 2 degrés qui baisse de 5 degrés finit à −3, parce que 2 − 5 = −3 : deux pas vers le bas atteignent zéro et trois de plus vont en dessous. Ils suivent les mêmes règles que les nombres positifs parce qu'ils sont sur la même droite ; seule la direction est nouvelle. Additionner déplace vers la droite, soustraire déplace vers la gauche, et le signe vous dit de quel côté de zéro vous êtes. Les nombres négatifs inversent la comparaison. Sur la droite, −8 est plus à gauche que −2, donc −8 est le plus petit nombre, même si 8 est plus grand que 2. Soustraire un négatif est l'autre cas, et cela déplace vers la droite : 4 − (−2) = 6. Pour vérifier, comptez les pas sur une droite graduée, ou travaillez à l'envers : −3 + 5 = 2.

Sous zéro les introduit là où ils habitent déjà pour la plupart des gens : la température, les étages en sous-sol, l'argent dû. Ordonner les nombres négatifs fixe ensuite la comparaison qui attrape tout le monde — −7 est plus petit que −3, parce qu'il est plus bas, même si 7 est plus grand que 3.

Additionner et soustraire en traversant zéro

L'addition va vers la droite et la soustraction vers la gauche, de quelque côté de zéro que l'on parte. Additionner et soustraire en traversant zéro travaille les traversées : −4 + 7 = 3, c'est quatre pas pour remonter à zéro et trois de plus au-delà.

Soustraire un négatif est le geste qui réclame une raison plutôt qu'une règle, et Soustraire des nombres négatifs en donne deux. La première est une suite : 5 − 1 = 4, 5 − 0 = 5, 5 − (−1) = 6, qui grimpe d'un à chaque pas sans trou là où le signe change. La seconde est un sens : retirer une dette de trois vous laisse trois de mieux, donc 5 − (−3) = 8.

La valeur absolue est l'outil des moments où seule la distance compte. |−7| = 7 — à quelle distance de zéro, pas dans quel sens — et c'est elle qui permet d'écrire une tolérance une fois au lieu de deux.

Pourquoi deux négatifs se multiplient en positif

Parce que multiplier par un négatif renverse la direction, et se renverser deux fois vous laisse face à l'avant. Multiplier et diviser des nombres négatifs montre le même argument sous la forme d'une suite qui refuse de se briser :

3 × (−2) = −6, 2 × (−2) = −4, 1 × (−2) = −2, 0 × (−2) = 0. Chaque réponse dépasse la précédente de 2. Maintenir cette montée régulière donne (−1) × (−2) = 2.

Comment résout-on un problème avec des nombres entiers sans algèbre ?

Beaucoup de problèmes en mots avec des nombres entiers ont une forme connue, et chaque forme a une méthode qui fonctionne sans lettres pour les inconnues. Chaque méthode est aussi une équation déguisée, ce que Former des équations montre en écrivant le même genre de problème avec une lettre. Six formes en couvrent la plupart : écarts et intervalles, supposition, excédent et manque, un récipient pesé deux fois, remonter le problème à l'envers, et élimination. La première, ce sont les écarts et intervalles. Une clôture de 60 m de long avec un poteau tous les 4 m, d'un bout à l'autre, $\text{a}60/4=15$a 60 / 4 = 15 écarts, et un poteau de plus que d'écarts, donc 16 poteaux. Compte d'abord les écarts, car ce sont eux que la mesure divise. Une horloge qui met 4 secondes à sonner 3 heures a 2 écarts entre ses 3 coups, donc chaque écart dure 2 secondes, et sonner 7 heures, avec 6 écarts, prend 12 secondes.

La supposition traite deux sortes de choses mélangées. Une ferme a 20 poules et lapins, avec 56 pattes en tout. Suppose que les 20 soient des poules : cela fait 40 pattes, soit 16 de moins. Chaque lapin substitué à une poule ajoute 2 pattes, donc il $y\text{a}16/2=8$y a 16 / 2 = 8 lapins et 12 poules. Vérifie : 8 × 4 + 12 × 2 = 32 + 24 = 56. L'excédent et le manque compare deux façons de partager. Donner 4 crayons à chaque enfant en laisse 10 de trop, et lui en donner 6 en manque 6. La deuxième façon demande 10 + 6 = 16 crayons de plus que la première, et chaque enfant en reçoit 2 de plus, donc il $y\text{a}16/2=8$y a 16 / 2 = 8 enfants et 4 × 8 + 10 = 42 crayons. Vérifie : 6 × 8 = 48, soit 6 de plus que 42.

Un récipient pesé deux fois donne le contenu par soustraction. Un pot plein de riz pèse 1500 g, et à moitié plein il pèse 900 g. La différence, 600 g, est la moitié du riz, donc la quantité totale de riz est 1200 g et le pot vide pèse 1500 − 1200 = 300 g. Remonter le problème à l'envers défait chaque étape dans l'ordre inverse. Quelqu'un a pris la moitié d'une pile de cartes et 3 de plus, et il en restait 9. Avant que ces 3 de plus soient prises, il y en avait 9 + 3 = 12, et ces 12 étaient la moitié restante, donc la pile a commencé avec 24. Vérifie en avançant : la moitié de 24 est 12, et 12 + 3 = 15 ont été prises, laissant 24 − 15 = 9. Multiplier et diviser se défont l'un l'autre est l'idée qui sous-tend tout cela.

L'élimination compare deux listes de courses qui partagent un article. Deux stylos et trois règles coûtent 13 dollars, et deux stylos et une règle coûtent 9 dollars. Les stylos sont les mêmes dans les deux, donc la différence de 4 dollars est le prix de deux règles, et une règle coûte 2 dollars. Alors deux stylos coûtent 9 − 2 = 7 dollars, donc un stylo coûte 3 dollars et 50 cents. Quand aucun article ne correspond, multiplie d'abord une liste pour qu'il corresponde : Simultanées par élimination montre comment. Un reste doit se lire dans sa situation, comme l'enseigne Les restes : 38 personnes dans des taxis de 4 places ont besoin de 10 taxis, pas 9.5 ni 9, parce que les 2 personnes en trop ont quand même besoin d'y aller.

Les quatre erreurs qui méritent un nom

• Lire les zéros comme du rien. Un zéro tient une colonne ouverte. Le retirer de 4 207 000 ne raccourcit pas le nombre, il le rétrécit d'un facteur dix mille.
• Arrondir en deux temps. 3 449 à la centaine la plus proche, c'est 3 400. Passer d'abord à 3 450 puis à 3 500 laisse un chiffre voter deux fois.
• Traiter −7 comme plus grand que −3. Plus loin de zéro n'est pas plus haut. Comparez des positions sur la droite, pas des tailles avec un signe collé dessus.
• Compter les zéros de tête comme significatifs. 0.00427, c'est trois chiffres significatifs, pas cinq. La signification commence au premier chiffre qui n'est pas un zéro.

La suite du chemin

La valeur de position est la fondation sur laquelle tiennent les méthodes posées : la retenue et l'emprunt sont la valeur de position en mouvement, et le guide des méthodes de calcul de tête et posées les travaille en détail. Prolonger les colonnes à droite des unités, au lieu de la gauche, donne les dixièmes et les centièmes — le sujet du guide des décimaux et de l'échelle plus complète décimaux, pourcentages et intérêts. Et demander quels entiers divisent lesquels mène vers facteurs, multiples et nombres premiers.