Dezimalzahlen, Prozente und Zinsen

Aktualisiert 13. Oktober 2026

Dezimalzahlen, Prozente und Zinsen sind ein Thema mit drei Hüten. Eine Dezimalzahl ist ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist; ein Prozentsatz ist ein Bruch, bei dem sich alle auf den Nenner hundert geeinigt haben; und Zinsen sind das, was geschieht, wenn man einen Prozentsatz wieder und wieder anwendet.

Diese Seite geht die Leiter von einem Ende zum anderen und verbringt den Großteil ihrer Länge am fernen Ende — prozentuale Änderung, Rückwärts-Prozente, Verzinsung und die Arithmetik der Kredite — weil dort das Geld liegt und die Fehler teuer sind. Für die direkte Anleitung zum Dezimalrechnen beantworten der Dezimalzahlen-Ratgeber und der Prozente-Ratgeber diese Fragen für sich.

Was die Dezimalstellen bedeuten

Jeder Schritt rechts vom Punkt ist zehnmal kleiner, genau wie jeder Schritt links davon zehnmal größer ist. Dezimalzahlen führt die Zehntel ein, Hundertstel die nächste Spalte und Tausendstel die danach — und spätestens dort unterrichtet das Muster von selbst.

3.47 = 3 Einer + 4 Zehntel + 7 Hundertstel.

Dezimalzahlen vergleichen erledigt den Fehler, der alle anderen überlebt: Mehr Ziffern heißt nicht größer. 0.9 > 0.35, weil neun Zehntel dreieinhalb Zehntel schlagen. Auf gleiche Länge auffüllen — 0.90 gegen 0.35 — macht es offensichtlich. Und 0.5 ist eine Hälfte verankert die Handvoll, die man auf einen Blick kennen sollte — was den meisten Alltagsfragen das Rechnen nimmt.

Dezimalzahlen mit 10 und 100 multiplizieren und dividieren ist die Lektion, die „eine Null anhängen“ durch etwas Wahres ersetzt: Die Ziffern rücken, und der Punkt bleibt stehen. Für ganze Zahlen ist der Unterschied unsichtbar — und entscheidend, sobald ein Punkt auftaucht.

Die vier Rechenarten

Den Punkt ausrichten ist die Regel fürs Addieren, und In Spalten addieren und In Spalten subtrahieren tragen sie ins schriftliche Rechnen. $3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. Die Punkte auszurichten legt Zehntel über Zehntel; die rechten Enden auszurichten addiert Zehntel zu Hundertsteln.

Die Dezimalstellen zählen ist die Multiplikation: Punkte ignorieren, multiplizieren, dann die Dezimalstellen beider Faktoren zählen und den Punkt so weit hineinsetzen. $0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → zwei Stellen $\to 0.12$→ 0.12.

Eine Dezimalzahl dividieren übernimmt die Division durch eine ganze Zahl, bei der der Punkt senkrecht in die Antwort aufsteigt. Durch eine Dezimalzahl dividieren übernimmt den anderen Fall, indem beide Zahlen vergrößert werden, bis der Divisor ganz ist: $12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30. Dass die Antwort größer ist als 12, stimmt — viele kleine Stücke passen in eine Sache.

Auf eine und zwei Dezimalstellen runden schließt das Rechnen ab: Eine Ziffer entscheidet, die direkt nach der behaltenen Stelle.

Was ist ein Prozentsatz?

Ein Prozentsatz ist eine Anzahl Hundertstel: Das Wort Prozent bedeutet pro Hundert, also ist 30% gleich $\frac{30}{100}$30/100. Prozent beginnt dort, und Brüche, Dezimalzahlen und Prozente verknüpft die drei Arten, denselben Betrag zu schreiben. Um einen Prozentsatz von einem Betrag zu finden, findest du zuerst 10%, indem du durch zehn teilst, und baust darauf auf. Für 30% von 70 sind 10% gleich 7, also ist 30% dreimal so viel, 21. Dieselbe Rechnung mit dem Bruch geschrieben ist $\frac{30}{100}\times 70=21$30/100 × 70 = 21. Ein fester Nenner von 100 macht Prozentsätze leicht vergleichbar. Ein Ergebnis von 13 aus 20 wird zu $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65$13/20 = 65/100 = 65%, was sich direkt mit 60% bei einem anderen Test vergleichen lässt. Ein Prozentsatz kann mehr als 100 sein, wenn der Teil größer ist als das Original: 150% von 40 = 60. Zur Probe vergleiche mit der Hälfte: 30% ist weniger als 50%, also muss die Antwort weniger als die Hälfte von 70 sein, und 21 ist weniger als 35.

Einen Prozentsatz finden ist der zentrale Griff, und der Kopfrechenweg baut die sperrigen aus den leichten: 10% durch Teilen durch zehn, 5% durch Halbieren davon, 1% durch Teilen durch hundert. 35% von $240\to 24+24+24+12=84$240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. Mit Prozenten vergleichen ist der Daseinsgrund der Prozente — 18 von 25 und 26 von 40 sind schwer zu ordnen, bis sie zu 72% und 65% werden.

Wie rechnet man eine prozentuale Änderung aus?

Um einen Betrag um einen Prozentsatz zu ändern, multiplizierst du ihn mit einer einzigen Zahl. Ein Anstieg um 15% lässt 100% + 15% = 115% des Originals übrig, also ist der Multiplikator × 1.15. Ein Rückgang um 15% lässt 85% übrig, also ist der Multiplikator × 0.85. Prozentualer Anstieg und Einen Prozentsatz abziehen nutzen beide diese Methode. Für einen Preis von 60, der um 15% steigt, ist der neue Preis $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69. Der Multiplikator findet den neuen Betrag in einem Schritt statt in zwei, bei denen zuerst der Anteil gefunden und dann addiert wird. Um umgekehrt die prozentuale Änderung aus zwei Beträgen zu finden, teilst du die Änderung durch den ursprünglichen Betrag, nie durch den neuen. Der Preis stieg von 60 auf 69, eine Änderung von 9, und $\frac{9}{60}=15$9/60 = 15%. Durch 69 zu teilen ergäbe stattdessen einen kleineren, falschen Prozentsatz. Der Zweischritt bestätigt einmal die Antwort: 15% von 60 = 9, und 60 + 9 = 69.

Warum sich die Faktoren verketten und die Prozentsätze nicht und wie man eine Änderung rückgängig macht, steht ausführlich in Prozentuale Änderung.

Abschreibung wendet denselben Multiplikator wiederholt nach unten an. Ein Auto, das 18% pro Jahr verliert, ist jedes Jahr × 0.82 wert, behält also nach drei Jahren $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — etwa 55% seines Preises, nicht die 46%, die dreimaliges Abziehen von 18% vermuten ließe.

Einfache Zinsen oder Zinseszins?

Einfache Zinsen werden immer auf den ursprünglichen Betrag berechnet, während der Zinseszins auf den Kontostand berechnet wird, sodass die Zinsen ihre eigenen Zinsen tragen. Einfache Zinsen zeigt den geradlinigen Fall. Für 2 000 angelegt zu 10% pro Jahr über 3 Jahre zahlen einfache Zinsen jedes Jahr 10% von 2 000 = 200, also insgesamt 200 × 3 = 600. Beim Zinseszins wird jedes Jahr der Zins addiert, bevor der Zins des nächsten Jahres berechnet wird. Der Kontostand wächst von 2 000 auf 2 200, dann macht 10% von 2 200 = 220 daraus 2 420, dann macht 10% von 2 420 = 242 daraus 2 662. Das sind 662 Zinsen, 62 mehr als die einfache Gesamtsumme. Der Unterschied kommt ganz aus Zinsen auf frühere Zinsen, weshalb die Lücke anfangs klein und über viele Jahre groß ist. Im ersten Jahr zahlen beide Methoden gleich viel. Danach sollte der Zinseszins immer vorn liegen, was ein schneller Test für jede Antwort ist.

Zinseszins ist der Multiplikator, einmal pro Periode angewandt: $1000\times 1.05^3=1157.63$1 000 × 1.05³ = 1 157.63, also 157.63 an Zinsen. Einfache Zinsen gegen Zinseszins stellt beide nebeneinander, und die ehrliche Zusammenfassung lautet: Die Lücke ist früh unscheinbar und spät gewaltig — über 30 Jahre zu 5% zahlen einfache Zinsen 1 500, der Zinseszins 3 322.

Mehr als einmal im Jahr verzinsen beantwortet die nächste Frage. Ein Satz von 6%, monatlich verzinst, heißt zwölfmal 0.5%, also $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — effektiv 6.17%. Häufigere Verzinsung zahlt mehr, aber der Gewinn schrumpft schnell und nähert sich einer Decke, statt grenzenlos zu wachsen.

Wie funktioniert die Arithmetik des Leihens?

Ein Kredit ist Zinseszins, aus einer anderen Richtung betrachtet. Der Zeitwert des Geldes legt das Prinzip dar: Geld, das du jetzt hast, kann Zinsen erwirtschaften, also lassen sich Beträge an verschiedenen Zeitpunkten nicht vergleichen, bis einer zum Zeitpunkt des anderen verschoben ist. Bei 5% pro Jahr wachsen 1 000 heute auf $1000\times \frac{105}{100}=1050$1 000 × 105/100 = 1 050 in einem Jahr. Teilen verschiebt Geld zurück, also sind 1 050 fällig in einem Jahr heute 1 050 ÷ 1.05 = 1 000 wert. Ein Kredit wächst genauso. Leihe dir 500 zu 10% pro Jahr für zwei Jahre, und du schuldest $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605. Wird ein Kredit in Raten zurückgezahlt, deckt jede Rate zuerst die Zinsen, und nur der Rest senkt den Saldo. Bei einer Schuld von 1 000 zu 10% lässt eine Rate von 300 am Jahresende 1 000 + 100 − 300 = 800 übrig. Die Kosten eines Kredits sind alles Zurückgezahlte minus das Geliehene: 605 − 500 = 105 für den zweijährigen Kredit.

Realwert nach Inflation wendet dieselbe Abzinsung auf die Kaufkraft an. Erspartes, das 3% zahlt, während die Preise um 4% steigen, verliert real etwa 1% pro Jahr — die Zahl, auf die es ankommt, und die, die Schlagzeilen-Zinssätze verbergen.

Einen Kredit tilgen verfolgt diesen Zahlungsplan bis zur letzten Rate. Frühe Raten sind vor allem Zinsen; späte vor allem Tilgung; die Rate selbst ändert sich nie. Der Wert einer Rente ist derselbe Zahlungsstrom, als Ganzes bewertet, und das Werkzeug, um eine Einmalsumme gegen ein Einkommen abzuwägen — eine Pension, einen Mietvertrag oder ein Vergleichsangebot.

Eine Frage, von Anfang bis Ende durchgerechnet

Ein Laden zeigt eine Jacke für 96 nach 20% Rabatt an, und der Preis enthält 9% Steuer. Welchen Listenpreis vor Steuer hatte der Laden angesetzt?

Arbeite von der gegebenen Zahl nach außen und mache jede Änderung mit einer Division rückgängig, nicht mit einer Subtraktion.

• Die Steuer entfernen. 96 sind 109% des Verkaufspreises vor Steuer, also ist dieser Preis 96 ÷ 1.09 = 88.07.
• Den Rabatt entfernen. 88.07 sind 80% des Listenpreises, also ist der Listenpreis 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
• Vorwärts prüfen. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. Die Multiplikatoren verketten sich in beliebiger Reihenfolge — deshalb ist die Probe schnell.

Dasselbe durch Abziehen von 9% und Wiederaufschlagen von 20% ergibt 104.83, und der Fehler ist nicht klein. Jeder Schritt einer Prozentkette ist eine Multiplikation, also ist jeder Schritt, sie rückgängig zu machen, eine Division.

Die vier Fehler, die einen Namen verdienen

Vier Fehler kommen immer wieder vor: aufeinanderfolgende Prozentsätze addieren, einen Rabatt durch Zurückaddieren rückgängig machen, bei einer prozentualen Änderung durch den neuen Betrag teilen und Prozent mit Prozentpunkten verwechseln. Jeder wird mit seiner Abbildung in Die Fehler, die einen Namen verdienen durchgearbeitet.

Wohin es von hier aus geht

Dezimalzahlen sind Brüche in anderer Schreibweise, also ist die Brüche-Leiter derselbe Stoff eine Stufe früher. Zwei Mengen miteinander zu vergleichen statt einen Teil mit einem Ganzen ist Verhältnis, Raten und Proportion. Und ein Zinseszins-Multiplikator, n-mal angewandt, ist eine Exponentialfunktion — der Punkt, an dem der Stellenwert endgültig an die Algebra übergibt.