소수·백분율·이자
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소수와 백분율과 이자는 모자 셋을 쓴 한 과목입니다. 소수는 분모가 10의 거듭제곱인 분수. 백분율은 분모를 100으로 하자고 모두가 정한 분수. 그리고 이자는 백분율을 거듭거듭 얹을 때 일어나는 일입니다.
이 페이지는 그 사다리를 끝에서 끝까지 달리고, 길이의 대부분을 먼 끝 — 백분율 증감, 거꾸로 백분율, 복리, 대출의 산수 — 에 씁니다. 돈이 거기 있고, 실수가 비싼 곳도 거기이기 때문입니다. 소수 연산 자체의 방법이 필요하면 소수 가이드와 백분율 가이드가 따로따로 답합니다.
소수 자리는 무엇을 뜻하는가
점 오른쪽으로 한 걸음마다 10분의 1, 점 왼쪽으로 한 걸음마다 10배 — 똑같은 규칙입니다. 소수가 10분의 1 자리를, 100분의 1 자리가 다음 자리를, 1000분의 1 자리가 그다음을 소개할 때쯤에는 가르치는 것은 무늬 그 자체가 되어 있습니다.
0.2에서 0.3까지의 이 구간에는 100분의 1이 열 개 들어 있고, 마지막 자리가 아무리 커 보여도 그 안의 모든 수는 < 0.3이다: 0.25 = 25/100 < 30/100
0.2와 0.3 사이에서 0.27을 찾으세요
3.47 = 일이 3 + 10분의 1이 4 + 100분의 1이 7.
소수 크기 비교가 다른 어떤 실수보다 오래 사는 실수에 결말을 냅니다. 자릿수가 많다고 큰 것이 아닙니다. 0.9 > 0.35. 10분의 9는 10분의 3과 반을 이기니까요. 0을 붙여 길이를 맞추면 — 0.90 대 0.35 — 분명해집니다. 그리고 0.5 는 절반이 보자마자 알아야 할 한 줌을 다져서, 일상 질문 대부분에서 계산을 걷어 냅니다.
10배·100배와 10분의 1·100분의 1은 "0 붙이기"를 참인 것으로 바꿔치우는 수업입니다. 숫자가 옮겨 가고 점은 제자리에 있습니다. 그 구별은 자연수에서는 보이지 않고, 점이 나타나는 순간 결정적이 됩니다.
사칙연산
덧셈의 규칙은 점 맞추기이고, 세로로 더하기와 세로로 빼기가 그것을 세로셈으로 나릅니다. . 점을 맞추면 10분의 1 위에 10분의 1이 놓입니다. 오른쪽 끝을 맞추면 10분의 1에 100분의 1을 더하게 됩니다.
소수 자리 세기가 곱셈입니다. 점을 무시하고 곱한 뒤, 두 수의 소수 자리를 세어 그만큼 점을 넣습니다. 두 자리 .
소수 나누기는 자연수로 나누는 경우를 맡고, 점은 답으로 곧장 올라갑니다. 소수로 나누기는 나머지 경우를, 나누는 수가 자연수가 될 때까지 둘 다 키우는 것으로 다룹니다. . 답이 12보다 큰 것은 맞습니다 — 작은 조각은 많이 들어갑니다.
소수 첫째·둘째 자리 반올림이 연산을 닫습니다. 결정하는 것은 한 글자, 남기는 자리 바로 다음 숫자입니다.
이제 해 보세요
2.52을 소수 첫째 자리로 반올림해요
6.65을 소수 첫째 자리로 반올림해요
백분율이란 무엇인가
백분율은 100분의 1을 몇 개 모았는지를 나타내는 수로, 퍼센트라는 말은 "100당"이라는 뜻이므로 30%는 100분의 30입니다. 백분율은 여기서 시작하고, 분수·소수·백분율이 같은 양을 쓰는 세 가지 방법을 이어 줍니다. 어떤 양의 백분율을 구하려면 먼저 10으로 나누어 10%를 구하고 거기서부터 만들어 갑니다. 70의 30%라면 10%는 7이므로 30%는 그 세 배인 21입니다. 같은 계산을 분수로 쓰면 100분의 30 × 70 = 21입니다. 분모가 100으로 고정되어 있어서 백분율끼리는 비교하기 쉽습니다. 20점 만점에 13점은 20분의 13 = 100분의 65 = 65%가 되어, 다른 시험의 60%와 바로 비교할 수 있습니다. 부분이 원래 양보다 클 때는 백분율이 100을 넘을 수도 있습니다: 40의 150% = 60. 확인하려면 절반과 비교하세요. 30%는 50%보다 작으므로 답은 70의 절반보다 작아야 하고, 21은 35보다 작습니다.
1퍼센트는 100분의 1이므로, 어떤 양의 n%는 그 양 × n/100이다
4분의 1을 만들어 보세요
| 분수 | 소수 | 백분율 |
|---|---|---|
| 0.5 | 50% | |
| 0.25 | 25% | |
| 0.2 | 20% | |
| 0.125 | 12.5% | |
| 0.333… | 33.3% |
백분율 구하기가 중심 동작이고, 암산의 길은 까다로운 것을 쉬운 것들로 쌓는 것입니다. 10%는 10으로 나누기, 5%는 그 절반, 1%는 100으로 나누기. 240의 35% . 백분율로 비교하기는 백분율이 존재하는 이유 그 자체입니다 — 25 중 18과 40 중 26은 72%와 65%가 되기 전에는 순위 매기기 어렵습니다.
이제 해 보세요
90의 90%
150의 40%
백분율 증감은 어떻게 계산하는가
어떤 양을 백분율로 바꾸려면 수 하나를 곱합니다. 15% 상승은 원래의 100% + 15% = 115%가 남으므로 곱하는 수는 × 1.15입니다. 15% 하락은 85%가 남으므로 곱하는 수는 × 0.85입니다. 백분율의 증가와 백분율 깎기 둘 다 이 방법을 씁니다. 60의 가격이 15% 오르면 새 가격은 입니다. 이 방법은 부분을 먼저 구해 더하는 두 단계 대신 한 단계로 새 양을 구합니다. 반대로 두 금액에서 백분율 변화를 구하려면 변화를 원래 금액으로 나눕니다. 새 금액으로 나누면 안 됩니다. 가격은 60에서 69가 되어 변화는 9이고, %입니다. 69로 나누면 더 작고 틀린 백분율이 나옵니다. 두 단계 방법으로 한 번 더 확인할 수 있습니다: 60의 15% = 9, 60 + 9 = 69.
곱하는 수는 이어서 곱해지는데 퍼센트는 더해지지 않는 이유와, 변화를 되돌리는 방법은 증감률에서 자세히 다룹니다.
감가는 같은 곱수를 아래 방향으로 되풀이 얹습니다. 해마다 18% 잃는 차는 매년 × 0.82 라서 3년 뒤에는 — 값의 약 55%를 지킵니다. 18%를 세 번 빼면 나올 것 같은 46%가 아닙니다.
단리인가, 복리인가
단리는 언제나 처음 금액을 기준으로 계산되고 복리는 잔액을 기준으로 계산되므로, 이자가 다시 이자를 낳습니다. 단리는 직선을 그리는 경우를 보여 줍니다. 2,000을 연 10%로 3년 동안 저축하면, 단리는 매년 2,000의 10% = 200을 지급하므로 합계는 200 × 3 = 600입니다. 복리에서는 다음 해를 계산하기 전에 그해의 이자가 더해집니다. 잔액은 2,000에서 2,200으로 늘고, 2,200의 10% = 220이 더해져 2,420이 되고, 2,420의 10% = 242가 더해져 2,662가 됩니다. 이자는 662로, 단리 합계보다 62 많습니다. 이 차이는 모두 이전 이자에 다시 붙은 이자에서 나오므로, 처음에는 차이가 작고 해가 지날수록 커집니다. 첫해에는 두 방법이 같은 금액을 지급합니다. 그 뒤로는 복리가 항상 단리를 앞서야 하며, 이는 답을 빠르게 확인하는 방법이 됩니다.
단리는 해마다 8% of 100 = 8씩 더해지는 직선이고, 복리는 불어나는 잔액에 8%를 더하므로 곡선을 그리며 멀어진다 — 올해의 차이는 115
잔액이 처음으로 두 배가 되는 해를 찾으세요
복리는 곱수를 기간마다 한 번씩 얹은 것입니다. , 곧 이자 157.63. 단리 대 복리가 둘을 나란히 놓는데, 정직한 요약은 이렇습니다. 차이는 처음에는 심심하고 나중에는 어마어마하다 — 5%로 30년이면 단리는 1,500을, 복리는 3,322를 줍니다.
한 해에 여러 번 복리가 다음 질문에 답합니다. 다달이 복리가 붙는 6%란 0.5%를 열두 번이라는 뜻이고, — 실효 6.17%입니다. 더 자주 붙을수록 더 주지만, 이득은 금세 줄고 한없이 크는 대신 천장에 다가갑니다.
이제 해 보세요
$1000을 연 10% 단리로 예금해요. 3년 후 잔액은 얼마일까요?
$2000을 연 10%로 2년 동안 투자해요. 복리는 단리보다 이자를 얼마나 더 줄까요?
빌리는 돈의 산수는 어떻게 되는가
빌리는 것은 복리를 다른 방향에서 본 것입니다. 돈의 시간 가치가 원리를 세웁니다. 지금 가진 돈은 이자를 낳을 수 있으므로, 날짜가 다른 금액은 한쪽을 다른 쪽의 날짜로 옮기기 전에는 비교할 수 없습니다. 연 5%라면 오늘의 1,000은 1년 뒤 으로 늘어납니다. 나누기는 돈을 과거로 옮기므로, 1년 뒤 1,050의 오늘 가치는 1,050 ÷ 1.05 = 1,000입니다. 빚도 같은 방식으로 불어납니다. 500을 연 10%로 2년 동안 빌리면 갚아야 할 금액은 입니다. 대출을 나누어 갚을 때는 각 상환금이 먼저 이자를 채우고, 남는 부분만 잔액을 줄입니다. 1,000을 10%로 빌린 상태에서 연말에 300을 갚으면 잔액은 1,000 + 100 − 300 = 800이 됩니다. 대출 비용은 갚은 금액 전체에서 빌린 금액을 뺀 것입니다. 2년짜리 대출이라면 605 − 500 = 105입니다.
1년 후의 B = 1100은 오늘 가치로 1048이며, 1000보다 큽니다; 그리고 오늘의 1000은 1050로 늘어나며, 1100보다 작습니다: 어느 시점에서 비교해도 결과는 같습니다
제시된 이자율에서 오늘의 1000과 같아지는 B를 찾아 보세요
물가 상승 뒤의 실질 가치는 같은 할인을 살 수 있는 힘에 얹습니다. 3% 주는 저축은 물가가 4% 오르는 동안 실질로는 해마다 약 1%씩 잃고 있습니다. 그것이 중요한 숫자이고, 헤드라인 금리가 감추는 숫자입니다.
대출 상환은 첫 대출자 대부분을 놀라게 하는 상환 일정을 설명합니다. 매번의 납입은 지난번 이후 쌓인 이자를 먼저 갚고, 남는 것만 잔액을 줄입니다. 이른 납입은 대부분 이자, 늦은 납입은 대부분 원금 — 그리고 납입액 자체는 결코 변하지 않습니다. 연금의 가치는 같은 납입의 흐름을 통째로 하나의 값으로 재는 것이고, 목돈과 수입 — 연금, 임대, 합의금 제안 — 을 비교하는 도구입니다.
이제 해 보세요
대출 상환금은 매번 똑같아요. 그 안의 배분은 어떻게 바뀔까요?
월 0.5%인 150000달러 대출의 잔액이 70000달러로 줄었어요. 다음 1200달러 상환금 중 이자는 얼마일까요?
한 문제를 끝에서 끝까지
어느 가게가 재킷을 20% 세일 인하 뒤 96으로 표시했고, 이 가격에는 9% 세금이 들어 있습니다. 가게가 매긴 세전 정가는 얼마였을까요?
받은 숫자에서 바깥으로, 각 변화를 뺄셈이 아니라 나눗셈으로 풀어 나갑니다.
- 세금을 벗긴다. 96은 세전 세일 가격의 109%이므로 그 가격은 96 ÷ 1.09 = 88.07.
- 할인을 벗긴다. 88.07은 정가의 80%이므로 정가는 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
- 앞으로 확인한다. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. 곱수는 어느 순서로든 이어 붙으니, 확인이 빠른 이유가 그것입니다.
이것을 "9%를 빼고 20%를 도로 더하기"로 하면 104.83이 나오고, 오차는 작지 않습니다. 백분율 사슬의 걸음마다 곱셈이니, 푸는 걸음마다 나눗셈입니다.
이름을 붙여 둘 만한 실수 넷
자주 나오는 실수는 네 가지입니다: 연이은 퍼센트를 더하기, 할인을 다시 더해서 되돌리기, 백분율 변화에서 새 값으로 나누기, 퍼센트와 퍼센트포인트를 헷갈리기. 각각을 그림과 함께 이름을 붙여 둘 만한 실수에서 다룹니다.
다음으로 이어지는 곳
소수는 표기를 바꾼 분수라서 분수 사다리는 같은 재료의 한 걸음 앞입니다. 부분 대 전체가 아니라 두 양을 비교하는 것은 비·비율·비례. 그리고 복리 곱수를 n번 얹은 것은 지수함수 — 자릿값이 마침내 대수에 바통을 넘기는 자리입니다.
이제 당신 차례
세 문제 — 정답이라고 생각하는 것을 누르세요.
0.35를 백분율로 나타내면
연 5% 단리로 $200을 넣으면, 1년 동안 버는 이자는
$50에서 20% 할인 — 얼마를 내나요?
질문과 답변
- 백분율 증가는 어떻게 계산하나요?
- 1에 백분율을 소수로 더한 수를 곱합니다. 240의 15% 인상은 240 × 1.15 = 276 입니다. 곱수 꼴은 배울 만합니다. 이어 붙일 수 있기 때문입니다. 10% 인상이 두 번이면 1.10 × 1.10 = 1.21, 곧 21% 증가이지 20%가 아닙니다. 곱수를 곱하는 대신 백분율을 더하는 것이 이 주제 전체에서 가장 흔한 실수입니다.
- 거꾸로 백분율이란 무엇인가요?
- 변화 뒤의 금액만 알 때 원래 금액을 찾는 일입니다. 곱하는 대신 나눕니다. 코트가 15% 할인 뒤 68이라면 68은 원래 값의 85%이므로, 원래 값은 68 ÷ 0.85 = 80 입니다. 68의 15%를 도로 더하면 78.20이 나오는데 틀렸습니다. 할인은 세일 가격의 백분율이었던 적이 없기 때문입니다.
- 단리와 복리는 무엇이 다른가요?
- 단리는 언제나 처음 금액에 대해 계산됩니다. 복리는 잔액에 대해 계산되므로 지난 이자도 이자를 법니다. 1,000을 5%로 3년이면 단리는 150을, 복리는 157.63을 줍니다. 차이는 처음에는 작고 한없이 벌어집니다. 단리의 성장은 곧은 선, 복리의 성장은 곡선입니다.
- 복리 공식은 무엇인가요?
- 마지막 금액은 처음 금액 곱하기 (1 + r)의 n제곱입니다. r는 한 기간의 이율을 소수로, n은 기간의 수입니다. 1,000을 5%로 3년이면 1000 × 1.05 세제곱 = 1,157.63. 거듭제곱은 곱수를 기간마다 한 번씩 곱했다는 뜻일 뿐이라, 공식은 되풀이 곱셈을 짧게 쓴 것입니다.
- 오늘의 돈은 왜 내년의 같은 돈보다 값어치가 있나요?
- 오늘 쥔 돈은 굴려서 수익을 낼 수 있으니, 지금의 만 원과 1년 뒤의 만 원은 같은 자산이 아니기 때문입니다. 날짜가 다른 금액을 비교하려면 나중 것을 할인합니다. 5%라면 1년 뒤에 받는 1,050의 오늘 값어치는 1,050 ÷ 1.05, 곧 1,000입니다. 물가 상승은 나중 돈으로 살 수 있는 것을 줄여 그 효과를 겹칩니다.
- 소수로 나누려면 어떻게 하나요?
- 나누는 수가 자연수가 될 때까지 두 수를 10배씩 곱한 뒤 평소대로 나눕니다. 12 나누기 0.4 는 120 나누기 4가 되어 30입니다. 둘을 같은 배율로 키워도 답은 건드려지지 않습니다. '12에 0.4가 몇 개 들어가는가'는 '120에 4가 몇 개 들어가는가'와 같은 질문이기 때문입니다.