小数・百分率・利息

更新 2026年10月13日

小数と百分率と利息は、三つの帽子をかぶった一つの科目です。小数は分母が10の累乗の分数。百分率は、分母を100にそろえようとみんなで決めた分数。そして利息は、百分率を何度も何度も当てはめたときに起こることです。

このページはその段ばしごを端から端まで走り、長さの大半を遠いほうの端 — 百分率の増減、逆算の百分率、複利、ローンの計算 — に使います。お金がそこにあり、間違いが高くつくのもそこだからです。小数の計算そのもののやり方がほしければ、小数のガイドと百分率のガイドがそれぞれ単独で答えます。

小数の位は何を意味するのか

点の右へ一歩ごとに10分の1、点の左へ一歩ごとに10倍 — まったく同じ決まりです。小数が10分の1の位を、100分の1の位が次の位を、1000分の1の位がその次を紹介するころには、教えているのは規則性そのものになっています。

3.47 = 一が3つ + 10分の1が4つ + 100分の1が7つ。

小数の大小くらべは、ほかのどの間違いより長生きする間違いに決着をつけます。けた数が多いほど大きい、ではありません。0.9 > 0.35。10分の9は、10分の3と半分に勝つからです。0を足して長さをそろえれば — 0.90 と 0.35 — 一目瞭然です。そして0.5 は半分が、見ただけで言えるべきひとにぎりを定着させ、日常の問いのほとんどから計算を取り除きます。

10倍・100倍と10分の1・100分の1は、「0をつける」を本当のことで置きかえるレッスンです。動くのは数字で、点はその場にとどまる。この区別は整数では見えず、点が現れたとたんに決定的になります。

四則計算

たし算の決まりは点をそろえるで、たての足し算とたての引き算がそれを筆算に運びます。$3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95。点をそろえれば10分の1の上に10分の1が乗ります。右端をそろえれば、10分の1に100分の1を足してしまいます。

小数点以下を数えるがかけ算です。点を無視してかけ、両方の小数点以下のけた数を数えて、そのぶん点を入れます。$0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to 2$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → 2けた $\to 0.12$→ 0.12。

小数を割るは整数で割る場合を受け持ち、点は答えへまっすぐ上がります。小数で割るはもう一つの場合を、割る数が整数になるまで両方を大きくすることで扱います。$12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30。答えが 12 より大きいのは正しいことです — 小さなかけらは、たくさん入ります。

小数第1位・第2位への四捨五入が計算をしめくくります。決めるのは1文字、残す位のすぐ次の数字です。

百分率とは何か

百分率は100分の1をいくつ集めたかを表す数で、パーセントということばは「100につき」という意味なので、30% は 100分の30 です。百分率はここから始まり、分数・小数・百分率が同じ量を書く三つの方法をつなぎます。ある量の百分率を求めるには、まず10で割って10%を求め、そこから組み立てます。70 の 30% なら、10% は 7 なので、30% はその3倍の 21 です。同じ計算を分数で書けば 100分の30 × 70 = 21 です。分母が100に固定されているおかげで、百分率どうしは比べやすくなります。20点満点で13点は 20分の13 = 100分の65 = 65% になり、別のテストの60%と直接くらべられます。部分がもとの量より大きいときは、百分率が100を超えることもあります。40 の 150% = 60 です。確かめるには半分とくらべます。30% は 50% より小さいので、答えは 70 の半分より小さいはずで、21 は 35 より小さくなっています。

百分率を求めるが中心の動きで、暗算の道は、やっかいなものをやさしいものから組み立てることです。10% は10で割る、5% はその半分、1% は100で割る。240 の 35% $\to 24+24+24+12=84$→ 24 + 24 + 24 + 12 = 84。百分率でくらべるは、百分率がそもそも存在する理由です — 25人中18人と40人中26人は、72% と 65% になるまで順位がつけにくいのです。

百分率の増減はどう計算するのか

ある量を百分率で変えるには、一つの数をかけます。15%の上昇は、もとの 100% + 15% = 115% が残るので、かける数は× 1.15です。15%の下落は 85% が残るので、かける数は× 0.85です。百分率の増加も百分率引きもこの方法を使います。60 の値段が15%上がるなら、新しい値段は $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69 です。この方法なら、まず部分を求めてから足すという二段階ではなく、一段階で新しい量が求まります。逆に二つの額から百分率の変化を求めるには、変化をもとの額で割ります。新しい額で割ってはいけません。値段は 60 から 69 になり、変化は 9、$\frac{9}{60}=15$9/60 = 15% です。69 で割ってしまうと、答えは小さすぎる間違った百分率になります。二段階の方法でもう一度確かめられます。60 の15% = 9、60 + 9 = 69 です。

かける数は続けてかけられるのにパーセントは足せない理由と、変化を元に戻す方法は 増減率 でくわしく扱います。

減価は同じかけ数を下向きにくり返し当てはめます。年に 18% 目減りする車は毎年 × 0.82 で、3年後には $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — 値段の約55%を保っています。18% を3回引き算した場合に出てくる 46% ではありません。

単利か、複利か

単利はいつも最初の額にもとづいて計算され、複利は残高にもとづいて計算されるので、利息がさらに利息を生みます。単利はまっすぐな直線の場合を示します。2,000 を年利10%で3年間預けると、単利は毎年2,000 の10% = 200を払うので、合計 200 × 3 = 600 です。複利では、次の年を計算する前に、その年の利息が加えられます。残高は 2,000 から 2,200 に増え、次に 2,200 の10% = 220 が加わって 2,420、さらに 2,420 の10% = 242 が加わって 2,662 になります。これは利息が 662 で、単利の合計より 62 多いことになります。この差はすべて、以前の利息にさらについた利息から生まれるので、差は最初は小さく、年数がたつほど大きくなります。1年目はどちらの方法でも同じ額です。それ以降は複利がつねに単利を上回るはずで、これは答えを手早く確かめる方法にもなります。

複利は、かけ数を期ごとに一度ずつ当てはめたものです。$1,000\times 1.05^3=1,157.63$1,000 × 1.05³ = 1,157.63、つまり利息は 157.63。単利と複利が二つを並べて見せます。正直にまとめれば、差は初めのうちは地味で、あとになるほど途方もない — 5% で30年なら、単利は 1,500、複利は 3,322 を払います。

年に一度より多い複利が次の問いに答えます。月ごとに複利のつく 6% とは、0.5% を12回ということで、$1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — 実質 6.17% です。複利の回数が多いほど増えますが、増え方はすぐ縮み、際限なくのびるのではなく天井に近づきます。

借りるお金の計算はどう働くのか

借りることは、複利を別の向きから見たものです。お金の時間の値打ちが原理を立てます。いま手元にあるお金は利息を生めるので、日付のちがう額は、片方をもう片方の日付に動かすまでくらべられません。年利5%なら、今日の 1,000 は1年後に $1,000\times \frac{105}{100}=1,050$1,000 × 105/100 = 1,050 に増えます。割り算はお金を過去へ動かすので、1年後の 1,050 の今日の値打ちは1,050 ÷ 1.05 = 1,000です。借金も同じように増えます。500 を年利10%で2年間借りると、返す額は $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605 です。ローンを分割で返すときは、それぞれの支払いはまず利息にあてられ、残りだけが残高を減らします。1,000 を10%で借りていて、年末に 300 を返すと、残高は 1,000 + 100 − 300 = 800 になります。ローンの費用は、返した額の合計から借りた額を引いたものです。2年のローンなら 605 − 500 = 105 です。

物価上昇後の実質の値打ちは、同じ割引を買える力に当てはめます。3% つく貯金は、物価が 4% 上がっているなら、実質では年に約 1% ずつ目減りしています。それこそが大事な数字で、見出しの利率が隠す数字です。

ローンの返済は、初めて借りた人の多くをおどろかせる返済表を説明します。毎回の支払いはまず前回からの利息をまかない、残った分だけが残高を減らします。早い回はほとんど利息、遅い回はほとんど元金 — そして支払額そのものは変わりません。年金の値打ちは、同じ支払いの流れをまとめて一つの値打ちとして測るもので、一時金と収入 — 年金、リース、示談の提示 — をくらべる道具です。

一つの問題を、端から端まで

ある店がジャケットを、20% のセール値引き後で 96 と表示していて、この価格には 9% の税が含まれています。店が付けた税抜きの定価はいくらでしょう。

与えられた数字から外へ向かって、それぞれの変化をひき算ではなくわり算でほどいていきます。

• 税を外す。96 は税抜きセール価格の 109% なので、その価格は 96 ÷ 1.09 = 88.07。
• 値引きを外す。88.07 は定価の 80% なので、定価は 88.07 ÷ 0.80 = 110.09。
• 前向きにたしかめる。110.09 × 0.80 × 1.09 = 96。かけ数はどちらの順でも組み合わさります。たしかめが速いのは、そのためです。

これを「9% を引いてから 20% を足し戻す」でやると 104.83 になり、誤差は小さくありません。百分率の連鎖の一歩一歩はかけ算なので、ほどく一歩一歩はわり算なのです。

名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ

よくあるまちがいは4つです: 続けてかかるパーセントを足してしまう、割引を足し戻して元に戻そうとする、変化の割合を新しい量でわってしまう、パーセントとパーセントポイントを取りちがえる。それぞれ図とともに 名前をつけておく値打ちのある間違い で扱います。

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小数は書き方を変えた分数なので、分数の段ばしごは同じ題材の一歩手前です。部分と全体ではなく二つの量をくらべるのは比・割合・比例。そして、複利のかけ数を n 回当てはめたものは指数関数 — 位取りがついに代数へ手渡す場所です。