小数・百分率・利息
小数と百分率と利息は、三つの帽子をかぶった一つの科目です。小数は分母が10の累乗の分数。百分率は、分母を100にそろえようとみんなで決めた分数。そして利息は、百分率を何度も何度も当てはめたときに起こることです。
このページはその段ばしごを端から端まで走り、長さの大半を遠いほうの端 — 百分率の増減、逆算の百分率、複利、ローンの計算 — に使います。お金がそこにあり、間違いが高くつくのもそこだからです。小数の計算そのもののやり方がほしければ、小数のガイドと百分率のガイドがそれぞれ単独で答えます。
小数の位は何を意味するのか
点の右へ一歩ごとに10分の1、点の左へ一歩ごとに10倍 — まったく同じ決まりです。小数が10分の1の位を、100分の1の位が次の位を、1000分の1の位がその次を紹介するころには、教えているのは規則性そのものになっています。
3.47 = 一が3つ + 10分の1が4つ + 100分の1が7つ。
小数の大小くらべは、ほかのどの間違いより長生きする間違いに決着をつけます。けた数が多いほど大きい、ではありません。0.9 > 0.35。10分の9は、10分の3と半分に勝つからです。0を足して長さをそろえれば — 0.90 と 0.35 — 一目瞭然です。そして0.5 は半分が、見ただけで言えるべきひとにぎりを定着させ、日常の問いのほとんどから計算を取り除きます。
10倍・100倍と10分の1・100分の1は、「0をつける」を本当のことで置きかえるレッスンです。動くのは数字で、点はその場にとどまる。この区別は整数では見えず、点が現れたとたんに決定的になります。
四則計算
たし算の決まりは点をそろえるで、たての足し算とたての引き算がそれを筆算に運びます。。点をそろえれば10分の1の上に10分の1が乗ります。右端をそろえれば、10分の1に100分の1を足してしまいます。
小数点以下を数えるがかけ算です。点を無視してかけ、両方の小数点以下のけた数を数えて、そのぶん点を入れます。0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → 2けた → 0.12。
小数を割るは整数で割る場合を受け持ち、点は答えへまっすぐ上がります。小数で割るはもう一つの場合を、割る数が整数になるまで両方を大きくすることで扱います。。答えが 12 より大きいのは正しいことです — 小さなかけらは、たくさん入ります。
小数第1位・第2位への四捨五入が計算をしめくくります。決めるのは1文字、残す位のすぐ次の数字です。
百分率とは何か
百分率は分母を100に固定した分数で、だからこそ、どの二つでもひと目でくらべられます。百分率がそこから始め、分数・小数・百分率が、このページの三つの書き方を結ぶ変換表です。
| 分数 | 小数 | 百分率 |
|---|---|---|
| 0.5 | 50% | |
| 0.25 | 25% | |
| 0.2 | 20% | |
| 0.125 | 12.5% | |
| 0.333… | 33.3% |
百分率を求めるが中心の動きで、暗算の道は、やっかいなものをやさしいものから組み立てることです。10% は10で割る、5% はその半分、1% は100で割る。240 の 35% → 24 + 24 + 24 + 12 = 84。百分率でくらべるは、百分率がそもそも存在する理由です — 25人中18人と40人中26人は、72% と 65% になるまで順位がつけにくいのです。
百分率の増減はどう計算するのか
一つの数をかけます。15% の上昇は × 1.15、15% の下落は × 0.85。百分率の増加と百分率引きのどちらも、「部分を求めて足すか引くか」の二段方式より、かけ数の側に立ちます。
240 が 15% 上がると → 240 × 1.15 = 276。 80 が 15% 引きで → 80 × 0.85 = 68。
増減の百分率は逆向きに走らせて、二つの額から百分率を出します。変化をもとの額で割ります。新しい値で割ってはいけません。 は 10/40 = 25% 増。 は 10/50 = 20% 減。同じ10なのに百分率が二つあるのは、基準が動いたからです。
逆算の百分率
逆算の百分率は、歩みをゆるめる値打ちのあるところです。間違ったやり方が、正しく見えるくらい近くまで来るからです。コートが 15% 引きで 68 なら、68 はもとの値段の 85% なので、もとの値段は 68 ÷ 0.85 = 80。68 の 15% を足すと 78.20 — 間違いです。割引は、セール価格の百分率だったことは一度もないからです。
減価は同じかけ数を下向きにくり返し当てはめます。年に 18% 目減りする車は毎年 × 0.82 で、3年後には — 値段の約55%を保っています。18% を3回引き算した場合に出てくる 46% ではありません。
単利か、複利か
単利はいつでも最初の額に対して計算され、複利は残高に対して計算されるので、利息が利息を生みます。単利がまっすぐな線の場合を与えます。1,000 を 5% で3年なら 50 × 3 = 150。
複利は、かけ数を期ごとに一度ずつ当てはめたものです。1,,157.63、つまり利息は 157.63。単利と複利が二つを並べて見せます。正直にまとめれば、差は初めのうちは地味で、あとになるほど途方もない — 5% で30年なら、単利は 1,500、複利は 3,322 を払います。
年に一度より多い複利が次の問いに答えます。月ごとに複利のつく 6% とは、0.5% を12回ということで、 — 実質 6.17% です。複利の回数が多いほど増えますが、増え方はすぐ縮み、際限なくのびるのではなく天井に近づきます。
借りるお金の計算はどう働くのか
以下の問いはどれも、方向を変えてたずねられた複利です。お金の時間の値打ちが原理を立てます。いまのお金は運用して増やせるので、日付のちがう額は別のものであり、片方をもう片方の日付へ動かすまでくらべられません。割り引くことは、複利を逆回しに走らせることです — 5% のとき、1年後の 1,050 の今日の値打ちは 1,050 ÷ 1.05 = 1,000。
物価上昇後の実質の値打ちは、同じ割引を買える力に当てはめます。3% つく貯金は、物価が 4% 上がっているなら、実質では年に約 1% ずつ目減りしています。それこそが大事な数字で、見出しの利率が隠す数字です。
ローンの返済は、初めて借りた人の多くをおどろかせる返済表を説明します。毎回の支払いはまず前回からの利息をまかない、残った分だけが残高を減らします。早い回はほとんど利息、遅い回はほとんど元金 — そして支払額そのものは変わりません。年金の値打ちは、同じ支払いの流れをまとめて一つの値打ちとして測るもので、一時金と収入 — 年金、リース、示談の提示 — をくらべる道具です。
一つの問題を、端から端まで
ある店がジャケットを、20% のセール値引き後で 96 と表示していて、この価格には 9% の税が含まれています。店が付けた税抜きの定価はいくらでしょう。
与えられた数字から外へ向かって、それぞれの変化をひき算ではなくわり算でほどいていきます。
- 税を外す。96 は税抜きセール価格の 109% なので、その価格は 96 ÷ 1.09 = 88.07。
- 値引きを外す。88.07 は定価の 80% なので、定価は 88.07 ÷ 0.80 = 110.09。
- 前向きにたしかめる。110.09 × 0.80 × 1.09 = 96。かけ数はどちらの順でも組み合わさります。たしかめが速いのは、そのためです。
これを「9% を引いてから 20% を足し戻す」でやると 104.83 になり、誤差は小さくありません。百分率の連鎖の一歩一歩はかけ算なので、ほどく一歩一歩はわり算なのです。
名前をつけておく値打ちのある間違い、四つ
- 続けざまの百分率を足す。20% 引きのあと 10% 引きは 28% 引きで、30% ではありません。かけ数をかけ合わせます。
- 割引を足し戻して逆算する。かわりにかけ数で割ります。割引はもとの値段の百分率であって、セール価格の百分率ではありません。
- 増減の百分率で新しい額で割る。基準はいつでも、もとの額です。
- 百分率とパーセントポイントを混同する。利率が 4% から 5% へ動けば、1ポイントの上昇 — そして 25% の上昇です。
この先へ
小数は書き方を変えた分数なので、分数の段ばしごは同じ題材の一歩手前です。部分と全体ではなく二つの量をくらべるのは比・割合・比例。そして、複利のかけ数を n 回当てはめたものは指数関数 — 位取りがついに代数へ手渡す場所です。
ゲームで練習する
Math Challenge は上のどの段も図解レッスンとして教えます。10分の1のますの絵から返済表まで、800本超のカタログの中で。どれにも絵つきの順を追った導きと、間違えたまさにその一歩を教え直す練習問題があります。
百分率のトピックは中心の動き — 数の何パーセント — を鍛えます。きりのよい数の 10%、25%、50% から始まり、正解するほど幅が広がります。
あなたの番
三問だけ — 正解だと思うものをタップしてください。
0.35を百分率で表すと
$200を年5%の単利で預けると、1年で得られる利息は
$50 の 20% 引き — いくら払いますか？