Décimaux, pourcentages et intérêts

Mis à jour 13 octobre 2026

Décimaux, pourcentages et intérêts sont un seul sujet sous trois chapeaux. Un décimal est une fraction dont le bas est une puissance de dix ; un pourcentage est une fraction dont tout le monde a convenu que le bas serait cent ; et l'intérêt est ce qui arrive quand on applique un pourcentage encore et encore.

Cette page parcourt cette échelle de bout en bout, et passe l'essentiel de sa longueur sur le bout lointain — variation en pourcentage, pourcentages inverses, capitalisation et arithmétique des emprunts — parce que c'est là qu'est l'argent et que les erreurs coûtent cher. Pour le mode d'emploi direct de l'arithmétique décimale, le guide des décimaux et le guide des pourcentages répondent chacun à ces questions.

Ce que signifient les décimales

Chaque pas à droite du point est dix fois plus petit, exactement comme chaque pas à sa gauche est dix fois plus grand. Les décimaux introduit les dixièmes, Les centièmes la colonne suivante, et Les millièmes celle d'après — moment où le motif fait déjà l'enseignement tout seul.

3.47 = 3 unités + 4 dixièmes + 7 centièmes.

Comparer les décimaux règle l'erreur qui survit à toutes les autres : plus de chiffres ne veut pas dire plus grand. 0.9 > 0.35, parce que neuf dixièmes battent trois dixièmes et demi. Compléter à longueur égale — 0.90 contre 0.35 — rend la chose évidente. Et 0.5 est une moitié ancre la poignée qu'il faut connaître à vue, ce qui retire l'arithmétique de la plupart des questions quotidiennes.

Multiplier et diviser les décimaux par 10 et 100 est la leçon qui remplace « rajouter un zéro » par quelque chose de vrai : les chiffres se décalent et le point reste en place. Cette distinction est invisible pour les entiers et décisive dès qu'un point apparaît.

Les quatre opérations

Aligner le point est la règle de l'addition, et Additionner en colonnes et Soustraire en colonnes la portent dans le calcul posé. $3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. Aligner les points met les dixièmes sur les dixièmes ; aligner les extrémités droites additionne des dixièmes à des centièmes.

Compter les décimales est la multiplication : ignorez les points, multipliez, puis comptez les décimales des deux facteurs et enfoncez le point d'autant. $0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → deux décimales $\to 0.12$→ 0.12.

Diviser un décimal traite la division par un entier, où le point monte tout droit dans la réponse. Diviser par un décimal traite l'autre cas en agrandissant les deux nombres jusqu'à un diviseur entier : $12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30. Que la réponse dépasse 12 est correct — beaucoup de petits morceaux tiennent dans une chose.

Arrondir à une et deux décimales clôt l'arithmétique : un seul chiffre décide, celui juste après la position gardée.

Qu'est-ce qu'un pourcentage ?

Un pourcentage est un nombre de centièmes : le mot pourcent signifie pour cent, donc 30% c'est $\frac{30}{100}$30/100. Le pourcentage commence là, et Fractions, décimaux et pourcentages relie les trois façons d'écrire la même quantité. Pour trouver un pourcentage d'une quantité, trouvez 10% en divisant par dix et construisez à partir de là. Pour 30% de 70, 10% c'est 7, donc 30% c'est trois fois plus, 21. Le même calcul écrit avec la fraction est $\frac{30}{100}\times 70=21$30/100 × 70 = 21. Un bas fixé à 100 rend les pourcentages faciles à comparer. Un score de 13 sur 20 devient $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65$13/20 = 65/100 = 65%, qui se compare directement avec 60% à un autre contrôle. Un pourcentage peut dépasser 100 quand la partie est plus grande que l'original : 150% de 40 = 60. Comparez avec la moitié pour vérifier : 30% est inférieur à 50%, donc la réponse doit être inférieure à la moitié de 70, et 21 est inférieur à 35.

Trouver un pourcentage est le geste central, et la route de tête consiste à bâtir les pourcentages difficiles à partir des faciles : 10% en divisant par dix, 5% en prenant la moitié, 1% en divisant par cent. 35% de $240\to 24+24+24+12=84$240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. Comparer avec des pourcentages est la raison d'être des pourcentages — 18 sur 25 et 26 sur 40 sont durs à classer jusqu'à ce qu'ils deviennent 72% et 65%.

Comment calculer une variation en pourcentage ?

Pour changer une quantité selon un pourcentage, multipliez-la par un seul nombre. Une hausse de 15% laisse 100% + 15% = 115% de l'original, donc le multiplicateur est × 1.15. Une baisse de 15% laisse 85%, donc le multiplicateur est × 0.85. La hausse en pourcentage et Retirer un pourcentage utilisent toutes deux cette méthode. Pour un prix de 60 qui augmente de 15%, le nouveau prix est $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69. Le multiplicateur trouve le nouveau montant en une étape au lieu de deux, où l'on trouve d'abord la part puis on l'ajoute. Pour faire l'inverse et trouver la variation en pourcentage à partir de deux montants, divisez le changement par le montant d'origine, jamais par le nouveau. Le prix est passé de 60 à 69, un changement de 9, et $\frac{9}{60}=15$9/60 = 15%. Diviser par 69 à la place donnerait un pourcentage plus petit et faux. Refaire le calcul en deux étapes confirme la réponse : 15% de 60 = 9, et 60 + 9 = 69.

Pourquoi les multiplicateurs s’enchaînent et pas les pourcentages, et comment annuler une variation, c’est détaillé dans La variation en pourcentage.

La dépréciation applique le même multiplicateur à répétition, vers le bas. Une voiture qui perd 18% par an vaut × 0.82 chaque année, donc après trois ans elle retient $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — environ 55% de son prix, et non les 46% que soustraire 18% trois fois laisserait croire.

Intérêts simples ou intérêts composés ?

Les intérêts simples se calculent toujours sur le montant d'origine, tandis que les intérêts composés se calculent sur le solde, si bien que les intérêts rapportent leurs propres intérêts. Les intérêts simples montre le cas rectiligne. Pour 2 000 épargnés à 10% par an pendant 3 ans, les intérêts simples paient 10% de 2 000 = 200 chaque année, soit 200 × 3 = 600 au total. Avec les intérêts composés, les intérêts de chaque année s'ajoutent avant de calculer ceux de l'année suivante. Le solde passe de 2 000 à 2 200, puis 10% de 2 200 = 220 fait 2 420, puis 10% de 2 420 = 242 fait 2 662. Cela fait 662 d'intérêts, 62 de plus que le total simple. La différence vient entièrement des intérêts sur des intérêts antérieurs, ce qui explique que l'écart soit petit au début et grand sur plusieurs années. La première année, les deux méthodes paient la même chose. Ensuite, les intérêts composés devraient toujours prendre l'avantage, ce qui est une vérification rapide de toute réponse.

Les intérêts composés est le multiplicateur appliqué une fois par période : $1000\times 1.05^3=1157.63$1 000 × 1.05³ = 1 157.63, soit 157.63 d'intérêts. Intérêts simples contre composés met les deux côte à côte, et le résumé honnête est que l'écart est banal au début et énorme à la fin — sur 30 ans à 5%, le simple paie 1 500 quand le composé paie 3 322.

Capitaliser plus d'une fois par an répond à la question suivante. Un taux de 6% capitalisé mensuellement, c'est 0.5% douze fois, soit $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — un taux effectif de 6.17%. Capitaliser plus souvent rapporte plus, mais le gain rétrécit vite et s'approche d'un plafond au lieu de croître sans borne.

Comment fonctionne l'arithmétique de l'emprunt ?

Emprunter, c'est de l'intérêt composé vu depuis une autre direction. La valeur temps de l'argent pose le principe : l'argent que vous avez maintenant peut rapporter des intérêts, donc des montants à des dates différentes ne peuvent être comparés tant que l'un n'a pas été déplacé à la date de l'autre. À 5% par an, 1 000 aujourd'hui deviennent $1000\times \frac{105}{100}=1050$1 000 × 105/100 = 1 050 dans un an. Diviser ramène l'argent en arrière, donc 1 050 dus dans un an valent 1 050 ÷ 1.05 = 1 000 aujourd'hui. Un emprunt grandit de la même façon. Empruntez 500 à 10% par an pendant deux ans, et vous devez $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605. Quand un emprunt est remboursé par versements, chaque versement couvre d'abord les intérêts, et seul le reste réduit le solde. En devant 1 000 à 10%, un versement de 300 à la fin de l'année laisse 1 000 + 100 − 300 = 800. Le coût d'un emprunt, c'est tout ce qui est remboursé moins ce qui a été emprunté : 605 − 500 = 105 pour l'emprunt de deux ans.

La valeur réelle après inflation applique la même actualisation au pouvoir d'achat. Une épargne qui paie 3% pendant que les prix montent de 4% perd environ 1% par an en termes réels — le nombre qui compte, et celui que les taux affichés cachent.

Amortir un emprunt suit cet échéancier jusqu'au dernier versement. Les premiers versements sont surtout des intérêts ; les derniers surtout du capital ; le versement lui-même ne change jamais. La valeur d'une rente est le même flux de versements évalué en bloc, et c'est l'outil pour comparer un capital contre un revenu — une pension, un bail, ou une offre de règlement.

Une question, traitée de bout en bout

Une boutique affiche une veste à 96 après une réduction de 20%, et le prix inclut 9% de taxe. Quel prix catalogue hors taxe la boutique avait-elle fixé ?

Remontez depuis le nombre qu'on vous a donné, en défaisant chaque changement par une division plutôt qu'une soustraction.

• Retirez la taxe. 96 représente 109% du prix soldé hors taxe, donc ce prix est 96 ÷ 1.09 = 88.07.
• Retirez la remise. 88.07 représente 80% du prix catalogue, donc le prix catalogue est 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
• Vérifiez en avant. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. Les multiplicateurs se composent dans les deux ordres, et c'est la raison pour laquelle la vérification est rapide.

Faire cela en soustrayant 9% puis en rajoutant 20% donne 104.83, et l'erreur n'est pas petite. Chaque étape d'une chaîne de pourcentages est une multiplication, donc chaque étape pour la défaire est une division.

Les quatre erreurs qui méritent un nom

Quatre erreurs reviennent sans cesse : additionner des pourcentages successifs, annuler une remise en la rajoutant, diviser par la nouvelle valeur dans une variation en pourcentage, et confondre un pourcentage avec un point de pourcentage. Chacune est traitée, avec sa figure, dans Les erreurs à nommer.

La suite du chemin

Les décimaux sont des fractions dans une autre notation, alors l'échelle des fractions est la même matière un pas plus tôt. Comparer deux quantités plutôt qu'une part à un tout, c'est ratios, taux et proportion. Et un multiplicateur d'intérêts composés appliqué n fois est une fonction exponentielle — l'endroit où la valeur de position passe enfin le relais à l'algèbre.