Decimales, porcentajes e interés

Actualizado 13 de octubre de 2026

Los decimales, los porcentajes y el interés son un solo tema con tres sombreros. Un decimal es una fracción cuyo abajo es una potencia de diez; un porcentaje es una fracción cuyo abajo todo el mundo ha acordado que sea cien; y el interés es lo que ocurre cuando aplicas un porcentaje una y otra vez.

Esta página recorre esa escalera de punta a punta, y dedica la mayor parte de su longitud al extremo lejano — variación porcentual, porcentajes inversos, capitalización y la aritmética de los préstamos — porque ahí es donde está el dinero y donde los errores salen caros. Si quieres el cómo-se-hace directo de la aritmética decimal, la guía de decimales y la guía de porcentajes responden esas preguntas por sí solas.

Qué significan los lugares decimales

Cada paso a la derecha del punto es diez veces más pequeño, exactamente igual que cada paso a su izquierda es diez veces más grande. Decimales presenta las décimas, Centésimas la columna siguiente, y Milésimas la de después — momento en el que el patrón ya enseña solo.

3.47 = 3 unidades + 4 décimas + 7 centésimas.

Comparar decimales zanja el error que sobrevive a todos los demás: más cifras no significa más grande. 0.9 > 0.35, porque nueve décimas ganan a tres décimas y media. Rellenar hasta igualar longitudes — 0.90 frente a 0.35 — lo hace evidente. Y 0.5 es un medio ancla el puñado que merece saberse de vista, lo que quita la aritmética de la mayoría de las preguntas cotidianas.

Multiplicar y dividir decimales por 10 y 100 es la lección que sustituye "añade un cero" por algo verdadero: las cifras se desplazan y el punto se queda quieto. Esa distinción es invisible con enteros y decisiva en cuanto aparece un punto.

Las cuatro operaciones

Alinear el punto es la regla de la suma, y Sumar en columnas y Restar en columnas la llevan al trabajo escrito. $3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. Alinear los puntos pone décimas sobre décimas; alinear los finales de la derecha suma décimas a centésimas.

Contar los decimales es la multiplicación: ignora los puntos, multiplica, luego cuenta los decimales de los dos factores y mete el punto a esa profundidad. $0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → dos lugares $\to 0.12$→ 0.12.

Dividir un decimal maneja la división entre un entero, donde el punto sube recto al resultado. Dividir entre un decimal maneja el otro caso escalando los dos números hasta que el divisor sea entero: $12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30. Que la respuesta sea mayor que 12 es correcto — en una cosa caben muchos trozos pequeños.

Redondear decimales a uno y dos decimales cierra la aritmética: decide una cifra, la inmediatamente posterior al lugar que conservas.

¿Qué es un porcentaje?

Un porcentaje es un número de centésimas: la palabra por ciento significa por cada cien, así que 30% es $\frac{30}{100}$30/100. Porcentaje empieza ahí, y Fracciones, decimales y porcentajes une las tres formas de escribir la misma cantidad. Para hallar un porcentaje de una cantidad, halla el 10% dividiendo entre diez y construye desde ahí. Para el 30% de 70, el 10% es 7, así que el 30% es tres veces eso, 21. La misma cuenta escrita con la fracción es $\frac{30}{100}\times 70=21$30/100 × 70 = 21. Un abajo fijo de 100 hace fáciles de comparar los porcentajes. Una nota de 13 sobre 20 se convierte en $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65$13/20 = 65/100 = 65%, que se compara directamente con el 60% de otra prueba. Un porcentaje puede ser más de 100 cuando la parte es mayor que el original: 150% de 40 = 60. Compara con la mitad para comprobar: 30% es menos que 50%, así que la respuesta debe ser menos de la mitad de 70, y 21 es menos que 35.

Hallar un porcentaje es el movimiento central, y la ruta mental es construir los incómodos a partir de los fáciles: el 10% dividiendo entre diez, el 5% con la mitad de eso, el 1% dividiendo entre cien. 35% de $240\to 24+24+24+12=84$240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. Comparar con porcentajes es la razón de que los porcentajes existan — 18 de 25 y 26 de 40 cuesta ordenarlos hasta que se convierten en 72% y 65%.

¿Cómo se calcula una variación porcentual?

Para cambiar una cantidad mediante un porcentaje, multiplícala por un solo número. Una subida del 15% deja 100% + 15% = 115% del original, así que el multiplicador es × 1.15. Una bajada del 15% deja 85%, así que el multiplicador es × 0.85. Subida porcentual y Quitar un porcentaje usan las dos este método. Para un precio de 60 que sube un 15%, el precio nuevo es $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69. El multiplicador halla la cantidad nueva en un paso en vez de dos, donde primero se halla la parte y luego se suma. Para ir al revés y hallar el cambio porcentual a partir de dos cantidades, divide el cambio entre la cantidad original, nunca entre la nueva. El precio pasó de 60 a 69, un cambio de 9, $\text{y}\frac{9}{60}=15$y 9/60 = 15%. Dividir entre 69 en su lugar daría un porcentaje menor y equivocado. Resolverlo una vez por el método de dos pasos confirma la respuesta: 15% de 60 = 9, y 60 + 9 = 69.

Por qué los multiplicadores se encadenan y los porcentajes no, y cómo deshacer un cambio, se explica paso a paso en Variación porcentual.

Depreciación aplica el mismo multiplicador repetidamente hacia abajo. Un coche que pierde el 18% al año vale × 0.82 cada año, así que tras tres años retiene $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — cerca del 55% de su precio, no el 46% que sugeriría restar el 18% tres veces.

¿Interés simple o interés compuesto?

El interés simple siempre se calcula sobre la cantidad original, mientras que el compuesto se calcula sobre el saldo, así que el interés gana su propio interés. Interés simple muestra el caso rectilíneo. Para 2,000 ahorrados al 10% anual durante 3 años, el interés simple paga 10% de 2,000 = 200 cada año, así que 200 × 3 = 600 en total. Con el interés compuesto, el interés de cada año se suma antes de calcular el del año siguiente. El saldo crece de 2,000 a 2,200, luego 10% de 2,200 = 220 hace 2,420, luego 10% de 2,420 = 242 hace 2,662. Eso son 662 de interés, 62 más que el total simple. La diferencia viene por completo del interés sobre interés anterior, y por eso la brecha es pequeña al principio y grande con los años. En el primer año los dos métodos pagan lo mismo. Después de eso, el compuesto siempre debería quedar por delante, lo cual es una comprobación rápida de cualquier respuesta.

Interés compuesto es el multiplicador aplicado una vez por periodo: $1,000\times 1.05^3=1,157.63$1,000 × 1.05³ = 1,157.63, o sea 157.63 de interés. Interés simple frente a compuesto pone los dos lado a lado, y el resumen honrado es que la brecha no impresiona al principio y es enorme al final — a 30 años al 5%, el simple paga 1,500 mientras el compuesto paga 3,322.

Capitalizar más de una vez al año responde la pregunta siguiente. Una tasa del 6% capitalizada mensualmente significa 0.5% doce veces, que es $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — un 6.17% efectivo. Capitalizar más a menudo paga más, pero la ganancia encoge deprisa y se acerca a un techo en vez de crecer sin límite.

¿Cómo funciona la aritmética de pedir prestado?

Pedir prestado es interés compuesto visto desde otra dirección. El valor temporal del dinero plantea el principio: el dinero que tienes ahora puede ganar interés, así que cantidades en fechas distintas no pueden compararse hasta mover una a la fecha de la otra. Al 5% anual, 1,000 de hoy crecen $\text{a}1,000\times \frac{105}{100}=1,050$a 1,000 × 105/100 = 1,050 en un año. Dividir mueve el dinero hacia atrás, así que 1,050 que vencen en un año valen 1,050 ÷ 1.05 = 1,000 hoy. Un préstamo crece de la misma manera. Pide prestados 500 al 10% anual durante dos años, y debes $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605. Cuando un préstamo se paga en cuotas, cada pago cubre primero el interés y solo el resto reduce el saldo. Debiendo 1,000 al 10%, un pago de 300 al final del año deja 1,000 + 100 − 300 = 800. El coste de un préstamo es todo lo pagado menos lo prestado: 605 − 500 = 105 para el préstamo a dos años.

El valor real tras la inflación aplica el mismo descuento al poder de compra. Unos ahorros que pagan el 3% mientras los precios suben el 4% pierden alrededor del 1% al año en términos reales, que es el número que importa y el que las tasas de titular esconden.

Amortizar un préstamo sigue ese calendario hasta la última cuota. Las cuotas tempranas son sobre todo interés; las tardías, sobre todo principal; la cuota en sí no cambia nunca. El valor de una anualidad es el mismo flujo de pagos valorado como un todo, y es la herramienta para comparar una suma única contra una renta — una pensión, un alquiler o una oferta de acuerdo.

Una pregunta, resuelta de punta a punta

Una tienda anuncia una chaqueta a 96 tras una rebaja del 20%, y el precio incluye un 9% de impuestos. ¿Qué precio de lista sin impuestos fijó la tienda?

Trabaja hacia fuera desde el número que te dieron, deshaciendo cada cambio con una división y no con una resta.

• Quita el impuesto. 96 es el 109% del precio rebajado sin impuestos, así que ese precio es 96 ÷ 1.09 = 88.07.
• Quita el descuento. 88.07 es el 80% del precio de lista, así que el precio de lista es 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
• Comprueba hacia delante. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. Los multiplicadores se componen en cualquier orden, y por eso la comprobación es rápida.

Hacerlo restando el 9% y sumando después el 20% da 104.83, y el error no es pequeño. Cada paso de una cadena de porcentajes es una multiplicación, así que cada paso de deshacerla es una división.

Los cuatro errores que conviene nombrar

Hay cuatro errores que se repiten: sumar porcentajes sucesivos, deshacer un descuento volviendo a sumarlo, dividir por la cantidad nueva en una variación porcentual y confundir un porcentaje con un punto porcentual. Cada uno se trabaja, con su figura, en Los errores que conviene nombrar.

Adónde lleva esto

Los decimales son fracciones en otra notación, así que la escalera de fracciones es el mismo material un paso antes. Comparar dos cantidades en vez de una parte con un todo es razón, tasas y proporción (en inglés). Y un multiplicador de interés compuesto aplicado n veces es una función exponencial, que es donde el valor posicional le pasa por fin el testigo al álgebra.