Decimales, porcentajes e interés

Los decimales, los porcentajes y el interés son un solo tema con tres sombreros. Un decimal es una fracción cuyo abajo es una potencia de diez; un porcentaje es una fracción cuyo abajo todo el mundo ha acordado que sea cien; y el interés es lo que ocurre cuando aplicas un porcentaje una y otra vez.

Esta página recorre esa escalera de punta a punta, y dedica la mayor parte de su longitud al extremo lejano — variación porcentual, porcentajes inversos, capitalización y la aritmética de los préstamos — porque ahí es donde está el dinero y donde los errores salen caros. Si quieres el cómo-se-hace directo de la aritmética decimal, la guía de decimales y la guía de porcentajes responden esas preguntas por sí solas.

Qué significan los lugares decimales

Cada paso a la derecha del punto es diez veces más pequeño, exactamente igual que cada paso a su izquierda es diez veces más grande. Decimales presenta las décimas, Centésimas la columna siguiente, y Milésimas la de después — momento en el que el patrón ya enseña solo.

3.47 = 3 unidades + 4 décimas + 7 centésimas.

Comparar decimales zanja el error que sobrevive a todos los demás: más cifras no significa más grande. 0.9 > 0.35, porque nueve décimas ganan a tres décimas y media. Rellenar hasta igualar longitudes — 0.90 frente a 0.35 — lo hace evidente. Y 0.5 es un medio ancla el puñado que merece saberse de vista, lo que quita la aritmética de la mayoría de las preguntas cotidianas.

Multiplicar y dividir decimales por 10 y 100 es la lección que sustituye "añade un cero" por algo verdadero: las cifras se desplazan y el punto se queda quieto. Esa distinción es invisible con enteros y decisiva en cuanto aparece un punto.

Las cuatro operaciones

Alinear el punto es la regla de la suma, y Sumar en columnas y Restar en columnas la llevan al trabajo escrito. $3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. Alinear los puntos pone décimas sobre décimas; alinear los finales de la derecha suma décimas a centésimas.

Contar los decimales es la multiplicación: ignora los puntos, multiplica, luego cuenta los decimales de los dos factores y mete el punto a esa profundidad. 0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → dos lugares → 0.12.

Dividir un decimal maneja la división entre un entero, donde el punto sube recto al resultado. Dividir entre un decimal maneja el otro caso escalando los dos números hasta que el divisor sea entero: $12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30. Que la respuesta sea mayor que 12 es correcto — en una cosa caben muchos trozos pequeños.

Redondear decimales a uno y dos decimales cierra la aritmética: decide una cifra, la inmediatamente posterior al lugar que conservas.

¿Qué es un porcentaje?

Un porcentaje es una fracción con el abajo fijado en 100, que es lo que hace comparables de un vistazo a dos cualesquiera. Porcentaje empieza ahí, y Fracciones, decimales y porcentajes es la tabla de conversión que ata las tres notaciones de esta página.

Hallar un porcentaje es el movimiento central, y la ruta mental es construir los incómodos a partir de los fáciles: el 10% dividiendo entre diez, el 5% con la mitad de eso, el 1% dividiendo entre cien. 35% de $240\to 24+24+24+12=84$240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. Comparar con porcentajes es la razón de que los porcentajes existan — 18 de 25 y 26 de 40 cuesta ordenarlos hasta que se convierten en 72% y 65%.

¿Cómo se calcula una variación porcentual?

Multiplicando por un solo número. Una subida del 15% es × 1.15; una bajada del 15% es × 0.85. Subida porcentual y Quitar un porcentaje defienden las dos el multiplicador frente al "halla la parte y súmala o réstala" en dos pasos.

240 tras una subida del 15% → 240 × 1.15 = 276. 80 tras un 15% de descuento → 80 × 0.85 = 68.

Variación porcentual lo hace marchar al revés, sacando el porcentaje a partir de las dos cantidades: divide el cambio entre el original, nunca entre el valor nuevo. $40\to 50$40 → 50 es 10/40 = 25% de subida; $50\to 40$50 → 40 es 10/50 = 20% de bajada. El mismo diez, dos porcentajes distintos, porque la referencia se movió.

Porcentajes inversos

Porcentajes inversos es el que merece ir despacio, porque el método equivocado se acerca lo bastante para parecer correcto. Si un abrigo costó 68 tras un 15% de descuento, entonces 68 es el 85% del original, así que el original es 68 ÷ 0.85 = 80. Sumar el 15% de 68 da 78.20 — mal, porque el descuento nunca fue un porcentaje del precio rebajado.

Depreciación aplica el mismo multiplicador repetidamente hacia abajo. Un coche que pierde el 18% al año vale × 0.82 cada año, así que tras tres años retiene $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — cerca del 55% de su precio, no el 46% que sugeriría restar el 18% tres veces.

¿Interés simple o interés compuesto?

El interés simple se calcula siempre sobre la cantidad original; el compuesto se calcula sobre el saldo, así que el interés gana interés. Interés simple da el caso rectilíneo: 1,000 al 5% durante 3 años paga 50 × 3 = 150.

Interés compuesto es el multiplicador aplicado una vez por periodo: 1,$000\times 1.05^3=1$000 × 1.05³ = 1,157.63, o sea 157.63 de interés. Interés simple frente a compuesto pone los dos lado a lado, y el resumen honrado es que la brecha no impresiona al principio y es enorme al final — a 30 años al 5%, el simple paga 1,500 mientras el compuesto paga 3,322.

Capitalizar más de una vez al año responde la pregunta siguiente. Una tasa del 6% capitalizada mensualmente significa 0.5% doce veces, que es $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — un 6.17% efectivo. Capitalizar más a menudo paga más, pero la ganancia encoge deprisa y se acerca a un techo en vez de crecer sin límite.

¿Cómo funciona la aritmética de pedir prestado?

Cada pregunta de abajo es interés compuesto preguntado desde otra dirección. El valor temporal del dinero establece el principio: el dinero de ahora puede ganar un rendimiento, así que cantidades en fechas distintas son cosas distintas y no pueden compararse hasta mover una a la fecha de la otra. Descontar es capitalizar marcha atrás — 1,050 dentro de un año al 5% valen 1,050 ÷ 1.05 = 1,000 hoy.

El valor real tras la inflación aplica el mismo descuento al poder de compra. Unos ahorros que pagan el 3% mientras los precios suben el 4% pierden alrededor del 1% al año en términos reales, que es el número que importa y el que las tasas de titular esconden.

Amortizar un préstamo explica el calendario de pagos que sorprende a la mayoría de quienes piden por primera vez: cada cuota cubre el interés acumulado desde la anterior, y solo lo que sobra reduce el saldo. Las cuotas tempranas son sobre todo interés; las tardías, sobre todo principal; la cuota en sí no cambia nunca. El valor de una anualidad es el mismo flujo de pagos valorado como un todo, y es la herramienta para comparar una suma única contra una renta — una pensión, un alquiler o una oferta de acuerdo.

Una pregunta, resuelta de punta a punta

Una tienda anuncia una chaqueta a 96 tras una rebaja del 20%, y el precio incluye un 9% de impuestos. ¿Qué precio de lista sin impuestos fijó la tienda?

Trabaja hacia fuera desde el número que te dieron, deshaciendo cada cambio con una división y no con una resta.

• Quita el impuesto. 96 es el 109% del precio rebajado sin impuestos, así que ese precio es 96 ÷ 1.09 = 88.07.
• Quita el descuento. 88.07 es el 80% del precio de lista, así que el precio de lista es 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
• Comprueba hacia delante. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. Los multiplicadores se componen en cualquier orden, y por eso la comprobación es rápida.

Hacerlo restando el 9% y sumando después el 20% da 104.83, y el error no es pequeño. Cada paso de una cadena de porcentajes es una multiplicación, así que cada paso de deshacerla es una división.

Los cuatro errores que conviene nombrar

• Sumar porcentajes sucesivos. Un 20% de descuento y luego un 10% es un 28%, no un 30%. Multiplica los multiplicadores.
• Deshacer un descuento sumándolo de vuelta. Divide entre el multiplicador; el descuento era un porcentaje del original, no del precio rebajado.
• Dividir entre la cantidad nueva en una variación porcentual. El original es la referencia, siempre.
• Confundir un porcentaje con un punto porcentual. Una tasa que pasa del 4% al 5% sube un punto porcentual — y sube un 25%.

Adónde lleva esto

Los decimales son fracciones en otra notación, así que la escalera de fracciones es el mismo material un paso antes. Comparar dos cantidades en vez de una parte con un todo es razón, tasas y proporción (en inglés). Y un multiplicador de interés compuesto aplicado n veces es una función exponencial, que es donde el valor posicional le pasa por fin el testigo al álgebra.

Practícalo en el juego

Math Challenge enseña cada peldaño de arriba como una lección ilustrada, de la cuadrícula de décimas al calendario de amortización, dentro de un catálogo de más de 800 lecciones. Cada una tiene una derivación resuelta con dibujos y problemas para probar que reenseñan el paso exacto que fallaste.

El tema de Porcentajes entrena el movimiento central — un porcentaje de un número — empezando por el 10%, el 25% y el 50% de números amistosos y abriéndose a medida que aciertas.

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