दशमलव, प्रतिशत और ब्याज

अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

दशमलव, प्रतिशत और ब्याज — तीन टोपियाँ पहने एक ही विषय है। दशमलव वह भिन्न है जिसका हर दस की घात है; प्रतिशत वह भिन्न जिसके हर पर सबकी सहमति है कि सौ रहेगा; और ब्याज वह है जो किसी प्रतिशत को बार-बार लगाने पर होता है।

यह पन्ना वह सीढ़ी सिरे से सिरे तक चलता है, और अपना ज़्यादातर हिस्सा दूर वाले सिरे पर ख़र्च करता है — प्रतिशत परिवर्तन, उलटा प्रतिशत, चक्रवृद्धि और क़र्ज़ का अंकगणित — क्योंकि पैसा वहीं है और ग़लतियाँ वहीं महँगी हैं। दशमलव अंकगणित का सीधा तरीक़ा चाहिए हो, तो दशमलव की गाइड और प्रतिशत की गाइड वे सवाल अपने दम पर सुलझाती हैं।

दशमलव स्थानों का मतलब

बिंदु के दाएँ हर क़दम दस गुना छोटा है, ठीक जैसे उसके बाएँ हर क़दम दस गुना बड़ा। दशमलव दशांश से मिलवाता है, शतांश अगले स्तंभ से, और सहस्रांश उससे अगले से — तब तक पैटर्न ख़ुद पढ़ाने लगता है।

3.47 = 3 इकाई + 4 दशांश + 7 शतांश.

दशमलवों की तुलना वह ग़लती निपटाता है जो बाक़ी सबसे ज़्यादा जीती है: ज़्यादा अंक यानी बड़ा नहीं। 0.9 > 0.35, क्योंकि नौ दशांश साढ़े तीन दशांश से बड़े हैं। बराबर लंबाई तक शून्य जोड़ना — 0.90 बनाम 0.35 — बात ज़ाहिर कर देता है। और 0.5 यानी आधा देखते ही पहचानने लायक़ मुट्ठी भर मान बिठा देता है, जो रोज़मर्रा के ज़्यादातर सवालों से अंकगणित हटा देता है।

दशमलव को 10 और 100 से गुणा-भाग वह पाठ है जो “शून्य लगा दो” की जगह एक सच्ची बात रखता है: अंक खिसकते हैं और बिंदु अपनी जगह रहता है। पूर्ण संख्याओं में यह फ़र्क़ अदृश्य है और बिंदु आते ही निर्णायक।

चारों संक्रियाएँ

जोड़ का नियम बिंदु की सीध है, और स्तंभों में जोड़ तथा स्तंभों में घटाव उसे लिखित काम तक ले जाते हैं। $3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. बिंदु मिलाने से दशांश के नीचे दशांश आते हैं; दाएँ सिरे मिलाने से दशांश शतांश में जुड़ जाते हैं।

दशमलव स्थान गिनना गुणा है: बिंदुओं को अनदेखा कर गुणा कीजिए, फिर दोनों गुणनखंडों के दशमलव स्थान गिनकर बिंदु उतना भीतर रखिए। $0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → दो स्थान $\to 0.12$→ 0.12.

दशमलव का भाग पूर्ण संख्या से भाग सँभालता है, जहाँ बिंदु सीधा ऊपर उत्तर में चढ़ जाता है। दशमलव से भाग दूसरी सूरत को दोनों संख्याएँ तब तक बढ़ाकर सँभालता है जब तक भाजक पूर्ण न हो जाए: $12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30। उत्तर का 12 से बड़ा होना सही है — छोटे-छोटे बहुत सारे टुकड़े किसी चीज़ में समा जाते हैं।

एक और दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकन अंकगणित की कड़ी पूरी करता है: फ़ैसला एक अंक करता है — जो स्थान रख रहे हैं, उसके ठीक बाद वाला।

प्रतिशत क्या है?

प्रतिशत सौवें हिस्सों की एक गिनती है: प्रतिशत शब्द का मतलब है सौ में से, तो 30% यानी $\frac{30}{100}$30/100। प्रतिशत वहीं से शुरू करता है, और भिन्न, दशमलव और प्रतिशत एक ही रक़म लिखने के तीनों तरीक़ों को जोड़ता है। किसी रक़म का प्रतिशत निकालने के लिए, दस से भाग देकर पहले 10% निकालिए और वहाँ से आगे बढ़िए। 70 के 30% के लिए, 10% यानी 7, तो 30% उसका तिगुना है, 21। वही जोड़ भिन्न से लिखें तो $\frac{30}{100}\times 70=21$30/100 × 70 = 21। हर का 100 पर बँधा होना प्रतिशतों को तुलना में आसान बनाता है। 20 में से 13 का स्कोर बनता है $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65$13/20 = 65/100 = 65%, जिसकी सीधे किसी और परीक्षा के 60% से तुलना हो सकती है। जब हिस्सा मूल से बड़ा हो, तो प्रतिशत 100 से ज़्यादा हो सकता है: 40 का 150% = 60। जाँचने के लिए आधे से तुलना कीजिए: 30%, 50% से कम है, तो उत्तर 70 के आधे से कम होना चाहिए, और 21, 35 से कम है।

प्रतिशत निकालना बुनियादी चाल है, और मानसिक रास्ता अटपटों को आसानों से बनाना है: 10% दस से भाग देकर, 5% उसका आधा करके, 1% सौ से भाग देकर। 240 का 35% $\to 24+24+24+12=84$→ 24 + 24 + 24 + 12 = 84. प्रतिशत से तुलना बताता है कि प्रतिशत हैं ही क्यों — 25 में से 18 और 40 में से 26 की ऊँच-नीच तब तक मुश्किल है जब तक वे 72% और 65% नहीं बन जाते।

प्रतिशत परिवर्तन कैसे निकालें?

किसी रक़म को प्रतिशत से बदलने के लिए, उसे एक अकेली संख्या से गुणा कीजिए। 15% की बढ़त मूल का 100% + 15% = 115% छोड़ती है, तो गुणक है × 1.15। 15% की कमी 85% छोड़ती है, तो गुणक है × 0.85। प्रतिशत वृद्धि और प्रतिशत की छूट दोनों इसी तरीक़े का इस्तेमाल करते हैं। 60 की क़ीमत के लिए जो 15% बढ़ती है, नई क़ीमत है $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69। गुणक दो क़दमों की जगह एक ही क़दम में नई रक़म निकाल देता है, जहाँ पहले हिस्सा निकालकर फिर जोड़ा जाता है। उल्टी दिशा में जाकर दो रक़मों से प्रतिशत परिवर्तन निकालने के लिए, बदलाव को मूल रक़म से भाग दीजिए, नई रक़म से कभी नहीं। क़ीमत 60 से 69 हुई, यानी 9 का बदलाव, और $\frac{9}{60}=15$9/60 = 15%। इसकी जगह 69 से भाग देने पर एक छोटा, ग़लत प्रतिशत मिलता। दो-क़दमी तरीक़े से एक बार हिसाब करना उत्तर की पुष्टि करता है: 60 का 15% = 9, और 60 + 9 = 69।

गुणक क्यों लगातार गुणा होते हैं पर प्रतिशत नहीं जुड़ते, और किसी बदलाव को कैसे पलटें, यह प्रतिशत परिवर्तन में विस्तार से है।

अवमूल्यन वही गुणक बार-बार नीचे की ओर लगाता है। साल में 18% खोती कार हर साल × 0.82 होती है, तो तीन साल बाद उसके पास बचता है $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — क़ीमत का लगभग 55%, न कि वह 46% जो 18% तीन बार घटाने से निकलता।

साधारण ब्याज या चक्रवृद्धि ब्याज?

साधारण ब्याज हमेशा मूल रक़म पर निकाला जाता है, जबकि चक्रवृद्धि ब्याज शेष पर निकाला जाता है, तो ब्याज अपना ख़ुद का ब्याज कमाता है। साधारण ब्याज सीधी-रेखा वाली सूरत दिखाता है। 10% सालाना पर 3 साल के लिए बचाए गए 2,000 के लिए, साधारण ब्याज हर साल 2,000 का 10% = 200 देता है, तो कुल मिलाकर 200 × 3 = 600। चक्रवृद्धि ब्याज में, अगले साल का ब्याज निकालने से पहले हर साल का ब्याज जोड़ दिया जाता है। शेष 2,000 से 2,200 तक बढ़ता है, फिर 2,200 का 10% = 220 उसे 2,420 बनाता है, फिर 2,420 का 10% = 242 उसे 2,662 बनाता है। यह 662 का ब्याज है, साधारण कुल से 62 ज़्यादा। यह फ़र्क़ पूरी तरह पहले के ब्याज पर मिले ब्याज से आता है, इसीलिए शुरू में यह अंतर छोटा और कई सालों में बड़ा होता है। पहले साल दोनों तरीक़े बराबर देते हैं। उसके बाद, चक्रवृद्धि ब्याज को हमेशा आगे रहना चाहिए, जो किसी भी उत्तर की झटपट जाँच है।

चक्रवृद्धि ब्याज हर अवधि में एक बार लगा गुणक है: $1,000\times 1.05^3=1,157.63$1,000 × 1.05³ = 1,157.63, यानी 157.63 का ब्याज। साधारण बनाम चक्रवृद्धि ब्याज दोनों को अग़ल-बग़ल रखता है, और ईमानदार सार यह है कि फ़ासला शुरू में मामूली है और देर से बहुत बड़ा — 5% पर 30 साल में साधारण 1,500 देता है और चक्रवृद्धि 3,322।

साल में एक से ज़्यादा बार चक्रवृद्धि अगला सवाल सुलझाता है। मासिक चक्रवृद्धि वाली 6% दर का मतलब है 0.5% बारह बार, यानी $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — प्रभावी 6.17%। ज़्यादा बार चक्रवृद्धि ज़्यादा देती है, पर बढ़त जल्दी सिकुड़ती है और बिना हद बढ़ने के बजाय एक छत के पास पहुँचती है।

उधार का अंकगणित कैसे चलता है?

उधार लेना अलग दिशा से देखा गया चक्रवृद्धि ब्याज है। पैसे का समय-मूल्य सिद्धांत रखता है: आपके पास अभी का पैसा ब्याज कमा सकता है, तो अलग-अलग तारीख़ों की रक़मों की तुलना तब तक नहीं की जा सकती जब तक एक को दूसरी की तारीख़ पर न ले आया जाए। 5% सालाना पर, आज के 1,000, एक साल में $1,000\times \frac{105}{100}=1,050$1,000 × 105/100 = 1,050 तक बढ़ जाते हैं। भाग देना पैसे को पीछे ले जाता है, तो एक साल बाद देय 1,050 की क़ीमत आज 1,050 ÷ 1.05 = 1,000 है। एक क़र्ज़ भी उसी तरह बढ़ता है। 10% सालाना पर दो साल के लिए 500 उधार लीजिए, और आप पर $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605 बकाया होगा। जब कोई क़र्ज़ क़िस्तों में चुकाया जाता है, तो हर क़िस्त पहले ब्याज चुकाती है और सिर्फ़ बचा हुआ हिस्सा शेष घटाता है। 10% पर 1,000 बकाया होने पर, साल के आख़िर में 300 की एक क़िस्त 1,000 + 100 − 300 = 800 छोड़ती है। क़र्ज़ की लागत है चुकाई गई पूरी रक़म घटा उधार ली गई रक़म: दो साल के क़र्ज़ के लिए 605 − 500 = 105।

मुद्रास्फीति के बाद असल क़ीमत वही बट्टा ख़रीदने की ताक़त पर लगाता है। 3% देती बचत, जब क़ीमतें 4% चढ़ रही हों, असल में साल का क़रीब 1% खो रही है — यही वह संख्या है जो मायने रखती है और जिसे सुर्ख़ियों वाली दरें छिपाती हैं।

क़र्ज़ का परिशोधन उस भुगतान-तालिका को आख़िरी किस्त तक चलाता है। शुरुआती किस्तें ज़्यादातर ब्याज हैं; आख़िरी ज़्यादातर मूलधन; किस्त ख़ुद कभी नहीं बदलती। वार्षिकी की क़ीमत वही भुगतान-धारा एकमुश्त आँकी हुई है — इकट्ठा पैसे की आमदनी से तुलना का औज़ार: पेंशन, पट्टा, या समझौते की पेशकश।

एक सवाल, सिरे से सिरे तक हल

दुकान 20% की सेल-छूट के बाद एक जैकेट 96 की लगाती है, और क़ीमत में 9% कर शामिल है। दुकान ने कर-पूर्व सूची-क़ीमत क्या रखी थी?

मिली हुई संख्या से बाहर की ओर चलिए — हर बदलाव को घटाव से नहीं, भाग से खोलते हुए।

• कर हटाइए। 96 कर-पूर्व सेल-क़ीमत का 109% है, तो वह क़ीमत है 96 ÷ 1.09 = 88.07।
• छूट हटाइए। 88.07 सूची-क़ीमत का 80% है, तो सूची-क़ीमत है 88.07 ÷ 0.80 = 110.09।
• आगे की ओर जाँचिए। 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. गुणक किसी भी क्रम में जुड़ते हैं — जाँच इसीलिए झटपट है।

यही काम 9% घटाकर और फिर 20% वापस जोड़कर करने से 104.83 आता है, और चूक छोटी नहीं है। प्रतिशत की कड़ी का हर क़दम गुणा है, तो उसे खोलने का हर क़दम भाग है।

चार ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

चार गलतियाँ बार-बार होती हैं: लगातार प्रतिशतों को जोड़ देना, छूट को वापस जोड़कर पलटना, प्रतिशत परिवर्तन में नई राशि से भाग देना, और प्रतिशत को प्रतिशत अंक समझ लेना। हर एक को उसकी आकृति के साथ वे ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है में समझाया गया है।

यह आगे कहाँ ले जाता है

दशमलव दूसरी लिखावट में भिन्न ही हैं, तो भिन्नों की सीढ़ी वही सामग्री एक क़दम पहले है। हिस्से की पूरे से नहीं, दो मात्राओं की आपसी तुलना अनुपात, दर और समानुपात (अंग्रेज़ी में) है। और n बार लगा चक्रवृद्धि गुणक एक चरघातांकी फलन है — वहीं स्थानीय मान आख़िरकार बीजगणित को कमान सौंपता है।