Decimali, percentuali e interesse

Aggiornato 13 ottobre 2026

Decimali, percentuali e interesse sono un solo argomento con tre cappelli. Un decimale è una frazione col sotto che è una potenza di dieci; una percentuale è una frazione col sotto che tutti hanno concordato sia cento; e l'interesse è ciò che succede quando applichi una percentuale ancora e ancora.

Questa pagina percorre quella scala da un capo all'altro, e spende gran parte della sua lunghezza sul capo lontano — variazione percentuale, percentuali inverse, capitalizzazione e l'aritmetica dei prestiti — perché è lì che stanno i soldi e dove gli errori costano cari. Se vuoi il come-si-fa diretto dell'aritmetica decimale, la guida ai decimali e la guida alle percentuali rispondono a quelle domande da sole.

Che cosa significano le cifre decimali

Ogni passo a destra del punto è dieci volte più piccolo, esattamente come ogni passo alla sua sinistra è dieci volte più grande. Decimali introduce i decimi, Centesimi la colonna successiva, e Millesimi quella dopo — a quel punto lo schema insegna da solo.

3.47 = 3 unità + 4 decimi + 7 centesimi.

Confrontare i decimali sistema l'errore che sopravvive a tutti gli altri: più cifre non vuol dire più grande. 0.9 > 0.35, perché nove decimi battono tre decimi e mezzo. Completare alla stessa lunghezza — 0.90 contro 0.35 — lo rende ovvio. E 0.5 è un mezzo ancora la manciata che vale la pena di riconoscere a vista, il che toglie l'aritmetica dalla maggior parte delle domande di ogni giorno.

Moltiplicare e dividere i decimali per 10 e 100 è la lezione che sostituisce "aggiungi uno zero" con qualcosa di vero: le cifre scivolano e il punto sta fermo. Quella distinzione è invisibile con gli interi e decisiva nell'istante in cui compare un punto.

Le quattro operazioni

Allineare il punto è la regola dell'addizione, e Sommare in colonna e Sottrarre in colonna la portano nel lavoro scritto. $3.7+1.25\to 3.70+1.25=4.95$3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. Allineare i punti mette decimi sopra decimi; allineare le estremità di destra somma decimi a centesimi.

Contare le cifre decimali è la moltiplicazione: ignora i punti, moltiplica, poi conta le cifre decimali di entrambi i fattori e metti il punto a quella profondità. $0.4\times 0.3\to 4\times 3=12\to$0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → due posti $\to 0.12$→ 0.12.

Dividere un decimale gestisce la divisione per un intero, dove il punto sale dritto nel risultato. Dividere per un decimale gestisce l'altro caso scalando entrambi i numeri finché il divisore è intero: $12÷0.4\to 120÷4=30$12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30. Che la risposta sia più grande di 12 è corretto — in una cosa ci stanno tanti pezzi piccoli.

Arrotondare i decimali a una e due cifre chiude l'aritmetica: decide una cifra, quella subito dopo il posto che tieni.

Che cos'è una percentuale?

Una percentuale è un numero di centesimi: la parola percento significa per cento, quindi 30% è $\frac{30}{100}$30/100. Percentuale comincia lì, e Frazioni, decimali e percentuali collega i tre modi di scrivere la stessa quantità. Per trovare una percentuale di una quantità, trova il 10% dividendo per dieci e costruisci da lì. Per il 30% di 70, il 10% è 7, quindi il 30% è tre volte tanto, 21. Lo stesso calcolo scritto con la frazione è $\frac{30}{100}\times 70=21$30/100 × 70 = 21. Un sotto fisso a 100 rende le percentuali facili da confrontare. Un punteggio di 13 su 20 diventa $\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65$13/20 = 65/100 = 65%, che si confronta direttamente con il 60% di un'altra prova. Una percentuale può superare 100 quando la parte è più grande dell'originale: 150% di 40 = 60. Confronta con la metà per controllare: 30% è meno di 50%, quindi la risposta deve essere meno della metà di 70, e 21 è meno di 35.

Trovare una percentuale è la mossa centrale, e la via mentale è costruire quelle scomode da quelle facili: il 10% dividendo per dieci, il 5% dimezzando quello, l'1% dividendo per cento. 35% di $240\to 24+24+24+12=84$240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. Confrontare con le percentuali è il motivo per cui le percentuali esistono — 18 su 25 e 26 su 40 sono difficili da ordinare finché non diventano 72% e 65%.

Come si calcola una variazione percentuale?

Per cambiare una quantità mediante una percentuale, moltiplicala per un solo numero. Un aumento del 15% lascia 100% + 15% = 115% dell'originale, quindi il moltiplicatore è × 1.15. Un ribasso del 15% lascia 85%, quindi il moltiplicatore è × 0.85. Aumento percentuale e Togliere una percentuale usano entrambe questo metodo. Per un prezzo di 60 che sale del 15%, il nuovo prezzo è $60\times \frac{115}{100}=69$60 × 115/100 = 69. Il moltiplicatore trova la nuova quantità in un passo invece di due, dove prima si trova la parte e poi si somma. Per fare il contrario e trovare la variazione percentuale da due quantità, dividi il cambiamento per la quantità originale, mai per quella nuova. Il prezzo è passato da 60 a 69, un cambiamento di 9, $\text{e}\frac{9}{60}=15$e 9/60 = 15%. Dividere per 69 invece darebbe una percentuale più piccola e sbagliata. Rifare il calcolo in due passi conferma la risposta: 15% di 60 = 9, e 60 + 9 = 69.

Perché i moltiplicatori si concatenano e le percentuali no, e come annullare una variazione, lo trovi spiegato in Variazione percentuale.

Deprezzamento applica lo stesso moltiplicatore ripetutamente verso il basso. Un'auto che perde il 18% l'anno vale × 0.82 ogni anno, quindi dopo tre anni conserva $0.82^3\approx 0.551$0.82³ ≈ 0.551 — circa il 55% del suo prezzo, non il 46% che suggerirebbe sottrarre il 18% tre volte.

Interesse semplice o interesse composto?

L'interesse semplice si calcola sempre sulla somma originale, mentre il composto si calcola sul saldo, quindi l'interesse guadagna il proprio interesse. Interesse semplice mostra il caso rettilineo. Per 2,000 risparmiati al 10% annuo per 3 anni, l'interesse semplice paga il 10% di 2,000 = 200 ogni anno, quindi 200 × 3 = 600 in totale. Con l'interesse composto, l'interesse di ogni anno si somma prima di calcolare quello dell'anno successivo. Il saldo cresce da 2,000 a 2,200, poi il 10% di 2,200 = 220 fa 2,420, poi il 10% di 2,420 = 242 fa 2,662. Sono 662 di interesse, 62 in più del totale semplice. La differenza viene interamente dall'interesse sull'interesse precedente, ed è per questo che il divario è piccolo all'inizio e grande su molti anni. Nel primo anno i due metodi pagano lo stesso. Dopo, l'interesse composto dovrebbe sempre risultare in vantaggio, il che è una verifica rapida di qualsiasi risposta.

Interesse composto è il moltiplicatore applicato una volta per periodo: $1,000\times 1.05^3=1,157.63$1,000 × 1.05³ = 1,157.63, cioè 157.63 di interesse. Interesse semplice contro composto mette i due fianco a fianco, e il riassunto onesto è che il divario non impressiona all'inizio ed è enorme alla fine — su 30 anni al 5%, il semplice paga 1,500 mentre il composto paga 3,322.

Capitalizzare più di una volta l'anno risponde alla domanda successiva. Un tasso del 6% capitalizzato mensilmente significa 0.5% dodici volte, cioè $1.005^{12}=1.0617$1.005¹² = 1.0617 — un 6.17% effettivo. Capitalizzare più spesso paga di più, ma il guadagno si restringe in fretta e si avvicina a un tetto invece di crescere senza limite.

Come funziona l'aritmetica del prendere in prestito?

Prendere in prestito è interesse composto visto da un'altra direzione. Il valore del denaro nel tempo stabilisce il principio: il denaro che hai adesso può guadagnare interesse, quindi somme a date diverse non si possono confrontare finché una non viene spostata alla data dell'altra. Al 5% annuo, 1,000 di oggi crescono $\text{a}1,000\times \frac{105}{100}=1,050$a 1,000 × 105/100 = 1,050 in un anno. Dividere sposta il denaro all'indietro, quindi 1,050 dovuti fra un anno valgono 1,050 ÷ 1.05 = 1,000 oggi. Un prestito cresce allo stesso modo. Prendi in prestito 500 al 10% annuo per due anni, e devi $500\times \frac{110}{100}\times \frac{110}{100}=605$500 × 110/100 × 110/100 = 605. Quando un prestito si rimborsa a rate, ogni rata copre prima l'interesse, e solo il resto riduce il saldo. Dovendo 1,000 al 10%, una rata di 300 alla fine dell'anno lascia 1,000 + 100 − 300 = 800. Il costo di un prestito è tutto ciò che si rimborsa meno ciò che si è preso in prestito: 605 − 500 = 105 per il prestito di due anni.

Il valore reale dopo l'inflazione applica lo stesso sconto al potere d'acquisto. Risparmi che pagano il 3% mentre i prezzi salgono del 4% perdono circa l'1% l'anno in termini reali, che è il numero che conta e quello che i tassi da titolo nascondono.

Ammortizzare un prestito segue quel piano fino all'ultima rata. Le rate iniziali sono soprattutto interesse; quelle finali soprattutto capitale; la rata in sé non cambia mai. Il valore di una rendita è lo stesso flusso di pagamenti valutato come un tutto, ed è lo strumento per confrontare una somma unica contro un reddito — una pensione, un affitto o un'offerta di accordo.

Una domanda, svolta da capo a fondo

Un negozio espone una giacca a 96 dopo una riduzione del 20%, e il prezzo include il 9% di tasse. Quale prezzo di listino al netto delle tasse aveva fissato il negozio?

Lavora verso l'esterno dal numero che ti è stato dato, disfacendo ogni cambiamento con una divisione invece che con una sottrazione.

• Togli la tassa. 96 è il 109% del prezzo scontato al netto, quindi quel prezzo è 96 ÷ 1.09 = 88.07.
• Togli lo sconto. 88.07 è l'80% del prezzo di listino, quindi il listino è 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
• Controlla in avanti. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. I moltiplicatori si compongono in qualunque ordine, ed è per questo che il controllo è rapido.

Farlo sottraendo il 9% e poi riaggiungendo il 20% dà 104.83, e l'errore non è piccolo. Ogni passo di una catena di percentuali è una moltiplicazione, quindi ogni passo del disfarla è una divisione.

I quattro errori che vale la pena nominare

Quattro errori tornano di continuo: sommare percentuali successive, annullare uno sconto riaggiungendolo, dividere per il nuovo valore in una variazione percentuale e confondere una percentuale con un punto percentuale. Ognuno è spiegato, con la sua figura, in Gli errori da nominare.

Dove porta tutto questo

I decimali sono frazioni in un'altra notazione, quindi la scala delle frazioni è lo stesso materiale un passo prima. Confrontare due quantità invece di una parte con un tutto è rapporto, tassi e proporzione (in inglese). E un moltiplicatore di interesse composto applicato n volte è una funzione esponenziale, che è dove il valore posizionale passa finalmente il testimone all'algebra.