Come si calcola un aumento percentuale?

Moltiplica per 1 più la percentuale come decimale. Un aumento del 15% su 240 è 240 x 1.15 = 276. La forma del moltiplicatore vale la pena di impararla perché si compone: due aumenti successivi del 10% sono 1.10 x 1.10 = 1.21, un aumento del 21%, non del 20%. Sommare le percentuali invece di moltiplicare i moltiplicatori è l'errore più comune di tutto questo argomento.

Qual è la differenza fra interesse semplice e composto?

L'interesse semplice si calcola sempre sulla somma originale; l'interesse composto si calcola sul saldo, quindi anche l'interesse passato guadagna interesse. Su 1,000 al 5% per 3 anni, il semplice paga 150 mentre il composto paga 157.63. Il divario è piccolo all'inizio e si allarga senza limite: la crescita semplice è una retta, quella composta è una curva.

Qual è la formula dell'interesse composto?

La somma finale è quella iniziale per (1 + r) elevato alla n, dove r è il tasso per periodo come decimale e n è il numero dei periodi. Per 1,000 al 5% per 3 anni: 1000 x 1.05 al cubo = 1,157.63. La potenza è solo il moltiplicatore applicato una volta per periodo, quindi la formula è moltiplicazione ripetuta scritta in forma compatta.

Perché il denaro di oggi vale più dello stesso denaro l'anno prossimo?

Perché il denaro che hai oggi può guadagnare un rendimento, quindi un euro adesso e un euro fra un anno non sono lo stesso bene. Per confrontare somme a date diverse si sconta quella più tarda: al 5%, 1,050 ricevuti fra un anno valgono 1,050 diviso 1.05, cioè 1,000 oggi. L'inflazione aggrava l'effetto riducendo ciò che il denaro più tardo compra.

Come si divide per un decimale?

Moltiplica entrambi i numeri per dieci finché il divisore non è un numero intero, poi dividi normalmente. 12 diviso 0.4 diventa 120 diviso 4, che fa 30. Scalare entrambi dello stesso fattore lascia intatta la risposta, perché la domanda 'quanti 0.4 ci stanno in 12' è la stessa domanda di 'quanti 4 ci stanno in 120'.

Decimali, percentuali e interesse

Q: Che cos'è una percentuale inversa?

È trovare la quantità originale quando conosci solo la quantità dopo un cambiamento. Dividi invece di moltiplicare. Se un cappotto costa 68 dopo il 15% di sconto, allora 68 è l'85% dell'originale, quindi l'originale è 68 diviso 0.85 = 80. Prendere il 15% di 68 e riaggiungerlo dà 78.20, che è sbagliato, perché lo sconto non è mai stato una percentuale del prezzo scontato.

Decimali, percentuali e interesse sono un solo argomento con tre cappelli. Un decimale è una frazione col sotto che è una potenza di dieci; una percentuale è una frazione col sotto che tutti hanno concordato sia cento; e l'interesse è ciò che succede quando applichi una percentuale ancora e ancora.

Questa pagina percorre quella scala da un capo all'altro, e spende gran parte della sua lunghezza sul capo lontano — variazione percentuale, percentuali inverse, capitalizzazione e l'aritmetica dei prestiti — perché è lì che stanno i soldi e dove gli errori costano cari. Se vuoi il come-si-fa diretto dell'aritmetica decimale, la guida ai decimali e la guida alle percentuali rispondono a quelle domande da sole.

Che cosa significano le cifre decimali

Ogni passo a destra del punto è dieci volte più piccolo, esattamente come ogni passo alla sua sinistra è dieci volte più grande. Decimali introduce i decimi, Centesimi la colonna successiva, e Millesimi quella dopo — a quel punto lo schema insegna da solo.

3.47 = 3 unità + 4 decimi + 7 centesimi.

Confrontare i decimali sistema l'errore che sopravvive a tutti gli altri: più cifre non vuol dire più grande. 0.9 > 0.35, perché nove decimi battono tre decimi e mezzo. Completare alla stessa lunghezza — 0.90 contro 0.35 — lo rende ovvio. E 0.5 è un mezzo ancora la manciata che vale la pena di riconoscere a vista, il che toglie l'aritmetica dalla maggior parte delle domande di ogni giorno.

Moltiplicare e dividere i decimali per 10 e 100 è la lezione che sostituisce "aggiungi uno zero" con qualcosa di vero: le cifre scivolano e il punto sta fermo. Quella distinzione è invisibile con gli interi e decisiva nell'istante in cui compare un punto.

Le quattro operazioni

Allineare il punto è la regola dell'addizione, e Sommare in colonna e Sottrarre in colonna la portano nel lavoro scritto. 3.7 + 1.25 → 3.70 + 1.25 = 4.95. Allineare i punti mette decimi sopra decimi; allineare le estremità di destra somma decimi a centesimi.

Contare le cifre decimali è la moltiplicazione: ignora i punti, moltiplica, poi conta le cifre decimali di entrambi i fattori e metti il punto a quella profondità. 0.4 × 0.3 → 4 × 3 = 12 → due posti → 0.12.

0.4 × 0.3 è (4/10) × (3/10) = 12/100. Ogni fattore porta la sua divisione per dieci e il risultato se le tiene entrambe, che è esattamente ciò che "conta i posti" sta contando. È anche il motivo per cui moltiplicare per un numero sotto uno rende le cose più piccole — stai prendendo quattro decimi di qualcosa.

Dividere un decimale gestisce la divisione per un intero, dove il punto sale dritto nel risultato. Dividere per un decimale gestisce l'altro caso scalando entrambi i numeri finché il divisore è intero: 12 ÷ 0.4 → 120 ÷ 4 = 30. Che la risposta sia più grande di 12 è corretto — in una cosa ci stanno tanti pezzi piccoli.

Arrotondare i decimali a una e due cifre chiude l'aritmetica: decide una cifra, quella subito dopo il posto che tieni.

Che cos'è una percentuale?

Una percentuale è una frazione col sotto fissato a 100, che è ciò che rende due qualsiasi confrontabili a colpo d'occhio. Percentuale comincia lì, e Frazioni, decimali e percentuali è la tabella di conversione che lega le tre notazioni di questa pagina.

Frazione	Decimale	Percentuale
1/2	0.5	50%
1/4	0.25	25%
1/5	0.2	20%
1/8	0.125	12.5%
1/3	0.333…	33.3%

Trovare una percentuale è la mossa centrale, e la via mentale è costruire quelle scomode da quelle facili: il 10% dividendo per dieci, il 5% dimezzando quello, l'1% dividendo per cento. 35% di 240 → 24 + 24 + 24 + 12 = 84. Confrontare con le percentuali è il motivo per cui le percentuali esistono — 18 su 25 e 26 su 40 sono difficili da ordinare finché non diventano 72% e 65%.

Come si calcola una variazione percentuale?

Moltiplicando per un solo numero. Un aumento del 15% è × 1.15; un ribasso del 15% è × 0.85. Aumento percentuale e Togliere una percentuale difendono entrambe il moltiplicatore rispetto al "trova la parte, poi sommala o sottraila" in due passi.

240 dopo un aumento del 15% → 240 × 1.15 = 276. 80 dopo il 15% di sconto → 80 × 0.85 = 68.

Il moltiplicatore vale il piccolo sforzo di impararlo perché si compone, e il metodo in due passi no. Due aumenti del 10% sono 1.10 × 1.10 = 1.21 — un aumento del 21%, non del 20%. Un aumento del 20% seguito da un ribasso del 20% è 1.2 × 0.8 = 0.96, quindi finisci il 4% sotto, non in pari. Le percentuali non si sommano; i loro moltiplicatori si moltiplicano.

Variazione percentuale la fa girare al contrario, ricavando la percentuale dalle due somme: dividi il cambiamento per l'originale, mai per il valore nuovo. 40 → 50 è 10/40 = 25% in su; 50 → 40 è 10/50 = 20% in giù. Lo stesso dieci, due percentuali diverse, perché il riferimento si è spostato.

Percentuali inverse

Percentuali inverse è quella per cui vale la pena rallentare, perché il metodo sbagliato si avvicina abbastanza da sembrare giusto. Se un cappotto è costato 68 dopo il 15% di sconto, allora 68 è l'85% dell'originale, quindi l'originale è 68 ÷ 0.85 = 80. Aggiungere il 15% di 68 dà 78.20 — sbagliato, perché lo sconto non è mai stato una percentuale del prezzo scontato.

Deprezzamento applica lo stesso moltiplicatore ripetutamente verso il basso. Un'auto che perde il 18% l'anno vale × 0.82 ogni anno, quindi dopo tre anni conserva 0.82³ ≈ 0.551 — circa il 55% del suo prezzo, non il 46% che suggerirebbe sottrarre il 18% tre volte.

Interesse semplice o interesse composto?

L'interesse semplice si calcola sempre sulla somma originale; il composto si calcola sul saldo, quindi l'interesse guadagna interesse. Interesse semplice dà il caso rettilineo: 1,000 al 5% per 3 anni paga 50 × 3 = 150.

Interesse composto è il moltiplicatore applicato una volta per periodo: 1,000 × 1.05³ = 1,157.63, cioè 157.63 di interesse. Interesse semplice contro composto mette i due fianco a fianco, e il riassunto onesto è che il divario non impressiona all'inizio ed è enorme alla fine — su 30 anni al 5%, il semplice paga 1,500 mentre il composto paga 3,322.

La formula non è un'idea nuova, è moltiplicazione ripetuta scritta in forma compatta. Moltiplicare per 1.05 tre volte è moltiplicare per 1.05³, e l'esponente conta solo quante volte è passato il periodo. Chi vede questo vede anche perché la curva si piega verso l'alto: il moltiplicatore di ogni anno agisce su un numero più grande di quello dell'anno prima.

Capitalizzare più di una volta l'anno risponde alla domanda successiva. Un tasso del 6% capitalizzato mensilmente significa 0.5% dodici volte, cioè 1.005¹² = 1.0617 — un 6.17% effettivo. Capitalizzare più spesso paga di più, ma il guadagno si restringe in fretta e si avvicina a un tetto invece di crescere senza limite.

Come funziona l'aritmetica del prendere in prestito?

Ogni domanda qui sotto è interesse composto chiesto da un'altra direzione. Il valore del denaro nel tempo stabilisce il principio: il denaro di adesso può guadagnare un rendimento, quindi somme a date diverse sono cose diverse e non si possono confrontare finché una non viene spostata alla data dell'altra. Scontare è capitalizzare all'indietro — 1,050 fra un anno al 5% valgono 1,050 ÷ 1.05 = 1,000 oggi.

Il valore reale dopo l'inflazione applica lo stesso sconto al potere d'acquisto. Risparmi che pagano il 3% mentre i prezzi salgono del 4% perdono circa l'1% l'anno in termini reali, che è il numero che conta e quello che i tassi da titolo nascondono.

Ammortizzare un prestito spiega il piano dei pagamenti che sorprende la maggior parte di chi prende in prestito per la prima volta: ogni rata copre l'interesse maturato dall'ultima, e solo ciò che avanza riduce il saldo. Le rate iniziali sono soprattutto interesse; quelle finali soprattutto capitale; la rata in sé non cambia mai. Il valore di una rendita è lo stesso flusso di pagamenti valutato come un tutto, ed è lo strumento per confrontare una somma unica contro un reddito — una pensione, un affitto o un'offerta di accordo.

Una domanda, svolta da capo a fondo

Un negozio espone una giacca a 96 dopo una riduzione del 20%, e il prezzo include il 9% di tasse. Quale prezzo di listino al netto delle tasse aveva fissato il negozio?

Lavora verso l'esterno dal numero che ti è stato dato, disfacendo ogni cambiamento con una divisione invece che con una sottrazione.

Togli la tassa. 96 è il 109% del prezzo scontato al netto, quindi quel prezzo è 96 ÷ 1.09 = 88.07.
Togli lo sconto. 88.07 è l'80% del prezzo di listino, quindi il listino è 88.07 ÷ 0.80 = 110.09.
Controlla in avanti. 110.09 × 0.80 × 1.09 = 96. I moltiplicatori si compongono in qualunque ordine, ed è per questo che il controllo è rapido.

Farlo sottraendo il 9% e poi riaggiungendo il 20% dà 104.83, e l'errore non è piccolo. Ogni passo di una catena di percentuali è una moltiplicazione, quindi ogni passo del disfarla è una divisione.

I quattro errori che vale la pena nominare

Sommare percentuali successive. Il 20% di sconto e poi il 10% è il 28%, non il 30%. Moltiplica i moltiplicatori.
Disfare uno sconto riaggiungendolo. Dividi per il moltiplicatore; lo sconto era una percentuale dell'originale, non del prezzo scontato.
Dividere per la somma nuova in una variazione percentuale. L'originale è il riferimento, sempre.
Confondere una percentuale con un punto percentuale. Un tasso che passa dal 4% al 5% sale di un punto percentuale — e del 25%.

Dove porta tutto questo

I decimali sono frazioni in un'altra notazione, quindi la scala delle frazioni è lo stesso materiale un passo prima. Confrontare due quantità invece di una parte con un tutto è rapporto, tassi e proporzione (in inglese). E un moltiplicatore di interesse composto applicato n volte è una funzione esponenziale, che è dove il valore posizionale passa finalmente il testimone all'algebra.

Allenalo nel gioco

Math Challenge insegna ogni piolo qui sopra come una lezione illustrata, dalla griglia dei decimi al piano di ammortamento, dentro un catalogo di oltre 800 lezioni. Ognuna ha una derivazione svolta con figure e problemi da provare che rispiegano esattamente il passo che hai sbagliato.

Il tema Percentuali allena la mossa centrale — una percentuale di un numero — cominciando dal 10%, 25% e 50% di numeri amichevoli e allargandosi via via che rispondi bene.

Tocca a te

Tre da provare: tocca la tua risposta.

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