36 Trik Berhitung Cepat, dan Alasan Tiap Trik Berhasil
☰ Contents
On this page
Trik berhitung cepat tanpa alasan di baliknya adalah sesuatu yang kamu hafalkan lalu kamu lupakan. Setiap jalan pintas di bawah ini adalah identitas aljabar yang sedang menyamar — dan begitu kamu bisa melihat identitasnya, kamu bisa menyusun ulang triknya dari nol dan, yang lebih berguna, tahu kapan trik itu berlaku.
Ini 36 pelajaran di Math Challenge, didaftar lengkap.
Kalau kamu mau versi singkatnya, panduan trik berhitung cepat membahas selusin yang paling sering muncul, dengan ruang lebih lapang untuk tiap trik.
Semua 36, berurutan
- Mengalikan dengan 5
- Mengalikan dengan 9
- Mengalikan dengan 11
- Mengalikan dengan 12
- Mengalikan dengan 15
- Mengalikan dengan 25
- Aturan 99
- Aturan 101
- Dobel dan separuhkan
- Selisih kuadrat
- Perkalian silang
- Sedikit di atas 100
- Perkalian dekat 100, dari bawah
- Berakhir 5, berjarak sepuluh
- Mengkuadratkan bilangan berakhir 5
- Kuadrat di dekat 100
- Kuadrat di kisaran 50-an
- Kuadrat di kisaran 40-an
- Kuadrat di dekat 1000
- Membagi dengan 5
- Membagi dengan 25
- Membagi dengan 3
- Menjumlahkan bilangan yang dibalik
- Mengurangkan bilangan yang dibalik
- Mengurangkan dari 1000
- Jumlah bilangan ganjil berurutan
- Menjumlah 1 sampai N (Gauss)
- Deret teleskopik
- Paradoks Zeno
- Angka terakhir sebuah pangkat
- Angka terakhir sebuah hasil kali
- Akar digital (modulo 9)
- Keterbagian dengan 11
- Putaran pada pangkat raksasa
- Membalik persennya
- Rasio emas sebagai pecahan berlanjut
Perkalian — 14 trik
Hampir semuanya gerakan yang sama: tukar bilangan yang merepotkan dengan bilangan ramah di dekatnya, lalu koreksi.
46 × (10 − 1) = 460 − 46 × 1 = 460 − 46 = 414: strip yang dikurangi adalah 1 kali 46, dan ×9 dan ×99 adalah strip ini
Geser M ke 12 dan baca dua strip yang ditambahkan di atas
Mengalikan dengan 5
48 × 5 → separuh dari 48 adalah 24 → 2405 adalah separuh dari 10, jadi ×5 berarti ×10 lalu diseparuhkan — dan 10 adalah bilangan termudah untuk dikalikan dalam sistem basis 10.
Mengalikan dengan 9
48 × 9 → 480 − 48 = 4329 adalah 10 − 1, jadi ambil sepuluh kali lalu kembalikan satu kali. Itu juga sebabnya setiap jawaban di tabel perkalian 9 punya angka-angka yang berjumlah 9.
Mengalikan dengan 11
43 × 11 → 4 (4+3) 3 → 47311 adalah 10 + 1, jadi 43 × 11 sama dengan 430 + 43. Setelah disejajarkan, kolom puluhannya menjadi 4 + 3 — aturan "jumlahnya di tengah" adalah penjumlahan itu yang dikerjakan lebih dulu, dan itu pula sebabnya kamu menyimpan satu saat jumlahnya mencapai 10.
Mengalikan dengan 12
34 × 12 → 340 + 68 = 40812 adalah 10 + 2: sepuluh kali bilangannya, ditambah dua kali bilangannya.
Mengalikan dengan 15
34 × 15 → 340 + 170 = 51015 adalah 10 + 5, dan 5 adalah separuh dari 10 — jadi ×10, lalu tambahkan separuh dari yang baru saja kamu dapat.
Mengalikan dengan 25
32 × 25 → seperempat dari 32 adalah 8 → 80025 adalah seperempat dari 100. Ambil seperempat bilangannya, lalu kalikan dengan 100.
Aturan 99
43 × 99 → 4300 − 43 = 425799 adalah 100 − 1. Bentuk yang sama dengan ×9, naik satu nilai tempat.
Aturan 101
43 × 101 → 4343101 adalah 100 + 1, jadi kamu mendapat 4300 + 43. Karena bilangannya di bawah 100, kedua salinannya tidak pernah bertabrakan, dan jawabannya hanyalah bilangan itu ditulis dua kali.
Dobel dan separuhkan
14 × 45 → 7 × 90 = 630Mendobelkan satu faktor dan menyeparuhkan faktor lain berarti mengalikan dengan 2 sekaligus membagi dengan 2, jadi hasil kalinya tidak mungkin bergeser. Ulangi sampai salah satu sisi menjadi bilangan yang kamu sukai.
Selisih kuadrat
98 × 102 → 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996Dua bilangan yang berjarak sama di kiri dan kanan sebuah titik tengah yang ramah adalah (m − d) dan (m + d), dan hasil kalinya selalu .
Perkalian silang
23 × 12 → 2×1 | 2×2 + 3×1 | 3×2 → 2 | 7 | 6 → 276Ini penjabaran biasa dari (20 + 3)(10 + 2), dikumpulkan menurut nilai tempat alih-alih ditulis panjang lebar. Satu lintasan dari kiri ke kanan, tanpa baris perantara.
Sedikit di atas 100
104 × 106 → 104 + 6 = 110 → 11000, tambah 4 × 6 = 24 → 11024(100 + a)(100 + b) = 10000 + 100(a + b) + ab. Langkah pertama mengurus ratusannya, langkah kedua mengurus sisa-sisanya.
Perkalian dekat 100, dari bawah
97 × 94 → 97 − 6 = 91 → 9100, tambah 3 × 6 = 18 → 9118(100 − a)(100 − b) = 10000 − 100(a + b) + ab — identitas yang sama dengan tanda dibalik, dan itulah sebabnya kamu mengurangi jarak bilangan yang satunya alih-alih menambahkannya.
Berakhir 5, berjarak sepuluh
35 × 45 → 3 × 5 = 15 → 1575(10n + 5)(10n + 15) menghasilkan 100 × n(n + 2) + 75, jadi bunyinya "angka puluhan dikali dua lebih besar dari dirinya, lalu 75". Coba periksa: .
Sekarang kamu
276 × 20
31 × 16
Kuadrat — 5 trik
Semuanya berjangkar pada bilangan bulat yang rapi, lalu dikoreksi dengan sebuah kuadrat kecil.
tidak ada yang ditambah atau dibuang — persegi panjang itu adalah persegi dengan sudut d × d yang dihilangkan, sehingga hasil kalinya kurang sebanyak 9
Buat persegi panjang itu 16 lebih kecil daripada persegi.
Mengkuadratkan bilangan berakhir 5
65 × 65 → 6 × 7 = 42 → 4225Bilangan yang berakhir 5 adalah 10n + 5, dan . Itu persis aturannya: n dikali bilangan berikutnya, lalu 25 di ujung.
Kuadrat di dekat 100
96² → 96 − 4 = 92 → 9200, tambah 4² = 16 → 9216. Mengurangi jaraknya sekali memberi bagian ratusannya; kuadrat dari jaraknya adalah sisanya.
Kuadrat di kisaran 50-an
54² → 25 + 4 = 29 → 2900, tambah 4² = 16 → 2916. Angka 25 ada di situ karena adalah 2500.
Kuadrat di kisaran 40-an
48² → 25 − 2 = 23 → 2300, tambah 2² = 4 → 2304Identitas yang sama, didekati dari atas: .
Kuadrat di dekat 1000
996² → 996 − 4 = 992 → 992000, tambah 4² = 16 → 992016. Trik dekat 100, naik satu nilai tempat.
Sekarang kamu
Berapa ?
Berapakah ?
Pembagian — 3 trik
Membagi dengan 5
130 ÷ 5 → 260 → 26Membagi dengan 5 sama dengan mengalikan dengan 2 lalu membagi dengan 10, karena 5 = 10 ÷ 2. Mendobelkan itu mudah dan membuang satu nol tidak ada biayanya.
Membagi dengan 25
800 ÷ 25 → 3200 → 3225 adalah seperempat dari 100, jadi ÷25 berarti ×4 lalu ÷100.
Membagi dengan 3
5712 → 5+7+1+2 = 15, habis dibagi → 5712 ÷ 3 = 1904Setiap pangkat 10 bersisa 1 ketika dibagi 3, jadi tiap angka hanya menyumbang dirinya sendiri, di kolom mana pun ia berada. Itulah sebabnya sebuah bilangan dan jumlah angka-angkanya punya sisa yang sama, dan sebabnya ujian ini adil.
Sekarang kamu
Sebuah bilangan habis dibagi 10…
Yang mana dari ini habis dibagi 2?
Penjumlahan dan pengurangan — 3 trik
Menjumlahkan bilangan yang dibalik
47 + 74 → 11 × (4 + 7) = 121(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b). Pembalikan itulah yang membuat kedua nilai tempatnya bertukar posisi lalu berpasangan.
Mengurangkan bilangan yang dibalik
82 − 28 → 9 × (8 − 2) = 54(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b). Setiap selisih semacam itu adalah kelipatan 9 — itu bukan kebetulan, itu identitasnya.
Mengurangkan dari 1000
1000 − 473 → 9−4, 9−7, 10−3 → 5271000 adalah 999 + 1, dan tidak ada yang perlu meminjam dari 999. Kurangkan tiap angka dari 9 dan angka terakhir dari 10, maka urusan meminjam lenyap sepenuhnya.
Deret dan barisan — 2 trik
1 + 2 + … + n adalah sebuah tangga; salinan kedua yang dibalik mengisi celah-celahnya
Atur n = 6 dan geser tangga kedua masuk
Jumlah bilangan ganjil berurutan
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²Setiap bilangan ganjil baru persis merupakan pinggiran berbentuk L yang mengubah satu persegi menjadi persegi berikutnya. Jumlahkan N yang pertama dan kamu sudah membangun persegi N × N.
Menjumlah 1 sampai N (Gauss)
1 + 2 + … + 100 → 100 × 101 ÷ 2 = 5050Pasangkan kedua ujungnya: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — lima puluh pasang, masing-masing berjumlah 101. Rumusnya adalah pemasangan itu yang dituliskan.
Deret tak hingga dan teleskopik — 2 trik
Deret teleskopik
1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(N×(N+1)) = 1 − 1/(N+1)Tiap suku adalah . Ditulis begitu, tiap potongan di tengah dicoret oleh tetangganya dan hanya kedua ujungnya yang bertahan.
Paradoks Zeno
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1Tiap langkah menempuh separuh dari sisa jaraknya, jadi jarak menuju 1 menyusut separuh setiap kali. Langkahnya tak terhingga banyaknya, dan jaraknya toh tetap habis — itulah arti kata "konvergen".
Teori bilangan — 5 trik
251 = 100a + 10b + c: setiap ratusan adalah 99 + 1 dan setiap puluhan adalah 9 + 1, jadi bongkar ikatannya dan lihat apa yang tidak bisa ditelan 9
Buat 342 dan bongkar ikatannya
Angka terakhir sebuah pangkat
7¹, 7², 7³, 7⁴ berakhir 7, 9, 3, 1 — lalu berulangHanya angka satuan dari satu langkah yang memberi makan angka satuan langkah berikutnya, jadi angka-angka terakhirnya pasti akhirnya berputar. Temukan putarannya, lalu perkecil pangkatnya menjadi posisinya di dalam putaran itu.
Angka terakhir sebuah hasil kali
347 × 893 → 7 × 3 = 21 → berakhir 1Setiap nilai tempat lainnya membawa faktor 10, dan apa pun yang dikalikan 10 berakhir dengan 0. Hanya angka satuan yang bisa mencapai kolom satuan.
Akar digital (modulo 9)
4573 → 4+5+7+3 = 19 → 1+9 = 10 → 1, dan 4573 = 9 × 508 + 110 bersisa 1 ketika dibagi 9, dan setiap pangkat 10 juga begitu. Karena itu tiap angka hanya menyumbang dirinya sendiri ke dalam sisa, di kolom mana pun ia duduk.
Keterbagian dengan 11
2728 → 2 − 7 + 2 − 8 = −11, jadi ya (2728 = 11 × 248)10 bersisa −1 ketika dibagi 11, jadi pangkat-pangkat 10 berganti-ganti antara +1 dan −1. Itu persis jumlah berselang-seling tadi.
Putaran pada pangkat raksasa
7¹⁰⁰ → putarannya sepanjang 4, dan 100 habis dibagi 4 → berakhir 1Putaran yang sama seperti di atas, dipakai pada pangkat yang jauh terlalu besar untuk dijabarkan. Kamu tidak pernah menghitung pangkatnya — kamu menghitung ia mendarat di sebelah mana dalam putaran itu.
Sekarang kamu
Berapa 829 mod 9?
Berapa 447 mod 9?
Pecahan dan pecahan berlanjut — 2 trik
Membalik persennya
8% dari 50 → 50% dari 8 = 4Kedua sisinya adalah perkalian yang sama, 8 × 50 ÷ 100, dibaca dalam urutan berbeda. Ada lebih banyak lagi soal ini di panduan persentase.
Rasio emas sebagai pecahan berlanjut
x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) → x = 1 + 1/x → x² = x + 1 → x ≈ 1.618Pecahan itu memuat salinan sempurna dirinya sendiri, jadi kamu boleh menamai keseluruhannya x lalu menyulihkannya kembali ke dalam dirinya. Sebuah ungkapan tak hingga runtuh menjadi persamaan kuadrat.
Apa yang harus dilakukan dengan daftar ini
Jangan mencoba menghafal 36 jalan pintas. Orang yang cepat berhitung di luar kepala biasanya punya segelintir yang dipakainya tanpa berpikir, dan selebihnya mereka kerjakan.
Pilih dua atau tiga yang cocok dengan hitungan yang benar-benar kamu temui, lalu pelajari alasannya alih-alih resepnya — alasannya itulah yang memberi tahu bahwa triknya berlaku sebelum kamu selesai membaca soalnya. Dan kalau tabel perkalian belum otomatis, mulailah dari sana: setiap jalan pintas di halaman ini mengandaikan kamu tidak sedang menghabiskan memori kerja untuk 7 × 8.
Giliranmu
Tiga soal untuk dicoba — ketuk jawabanmu.
65²
47 + 74
130 ÷ 5
Tanya jawab
- Apakah trik berhitung cepat layak dipelajari, atau sekadar pertunjukan?
- Yang layak dipelajari adalah yang punya alasan. Setiap jalan pintas di halaman ini adalah identitas aljabar yang menyamar - mengalikan dengan 9 berarti mengalikan dengan 10 lalu mengembalikan satu kali bilangannya, karena 9 adalah 10 kurang 1. Kalau kamu paham identitasnya, kamu bisa menyusun ulang triknya setelah lupa, dan kamu tahu kapan trik itu berlaku. Kalau kamu hanya hafal resepnya, kamu menghafal sesuatu yang tak bisa kamu periksa.
- Trik berhitung cepat mana yang sebaiknya dipelajari lebih dulu?
- Mengalikan dengan 5, dengan 9 dan dengan 11, serta mengkuadratkan bilangan yang berakhir 5. Keempatnya muncul terus-menerus, keempatnya satu langkah saja, dan keempatnya bertumpu pada gagasan yang sama: ganti bilangan yang merepotkan dengan bilangan ramah di dekatnya, lalu koreksi selisihnya. Begitu gagasan itu terasa akrab, sisa daftarnya berhenti terlihat seperti daftar.
- Mengapa mengalikan dengan 11 menaruh jumlah angkanya di tengah?
- Karena 11 adalah 10 tambah 1. Mengalikan 43 dengan 11 berarti menjumlahkan 430 dan 43, dan ketika keduanya disejajarkan kolom puluhannya menjadi 4 tambah 3. Aturan yang berbunyi "taruh jumlah angkanya di tengah" adalah penjumlahan itu, dikerjakan lebih dulu. Itu juga sebabnya kamu menyimpan satu ketika jumlahnya mencapai 10.
- Bagaimana ciri jumlah angka untuk keterbagian 3 atau 9 bekerja?
- Karena 10 bersisa 1 ketika dibagi 3 atau 9, dan setiap pangkat 10 juga begitu. Artinya tiap angka hanya menyumbang dirinya sendiri ke dalam sisa, di kolom mana pun ia duduk. Jadi sebuah bilangan dan jumlah angka-angkanya meninggalkan sisa yang sama - itulah sebabnya menjumlahkan angka adalah ujian yang adil.