36 truques de cálculo mental, e por que cada um funciona
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Um truque de cálculo mental sem motivo por trás é uma coisa que você decora e depois esquece. Todo atalho abaixo é uma identidade algébrica usando um disfarce — e assim que você enxerga a identidade, consegue reconstruir o truque do zero e, o que é mais útil, perceber quando ele se aplica.
Estas são as 36 lições do Math Challenge, listadas por inteiro.
Se você prefere a versão curta, o guia de truques de cálculo mental cobre a dúzia que mais aparece, com mais espaço para cada um.
Todos os 36, em ordem
- Multiplicar por 5
- Multiplicar por 9
- Multiplicar por 11
- Multiplicar por 12
- Multiplicar por 15
- Multiplicar por 25
- Regra do 99
- Regra do 101
- Dobrar e tirar a metade
- Diferença de quadrados
- Multiplicação cruzada
- Pouco acima de 100
- Multiplicação perto de 100, por baixo
- Terminam em 5, com dez de diferença
- Quadrado de números terminados em 5
- Quadrados perto de 100
- Quadrados na casa dos 50
- Quadrados na casa dos 40
- Quadrados perto de 1000
- Dividir por 5
- Dividir por 25
- Dividir por 3
- Somar números invertidos
- Subtrair números invertidos
- Subtrair de 1000
- Soma de ímpares consecutivos
- Somar de 1 até N (Gauss)
- Somas telescópicas
- O paradoxo de Zenão
- Último algarismo de uma potência
- Último algarismo de um produto
- Raiz digital (módulo 9)
- Divisibilidade por 11
- Ciclos com expoentes enormes
- Inverter a porcentagem
- A razão áurea como fração contínua
Multiplicação — 14 truques
Quase todos são o mesmo movimento: troque o número desconfortável por um número amigável perto dele e depois corrija.
46 × (10 − 1) = 460 − 46 × 1 = 460 − 46 = 414: a faixa retirada é 46 × 1, e ×9 e ×99 são essa faixa
Arraste M até 12 e leia as duas faixas somadas por cima
Multiplicar por 5
48 × 5 → a metade de 48 é 24 → 2405 é a metade de 10, então ×5 é ×10 e tirar a metade — e 10 é o número mais fácil de multiplicar num sistema de base 10.
Multiplicar por 9
48 × 9 → 480 − 48 = 4329 é 10 − 1, então pegue dez vezes o número e devolva uma. É também por isso que toda resposta da tabuada do 9 tem algarismos que somam 9.
Multiplicar por 11
43 × 11 → 4 (4+3) 3 → 47311 é 10 + 1, então 43 × 11 é 430 + 43. Alinhados, a coluna das dezenas vira 4 + 3 — a regra da "soma no meio" é essa adição feita de antemão, e é também por isso que você vai um quando a soma chega a 10.
Multiplicar por 12
34 × 12 → 340 + 68 = 40812 é 10 + 2: dez vezes o número, mais o dobro dele.
Multiplicar por 15
34 × 15 → 340 + 170 = 51015 é 10 + 5, e 5 é a metade de 10 — então é ×10 e somar a metade do que você acabou de fazer.
Multiplicar por 25
32 × 25 → um quarto de 32 é 8 → 80025 é um quarto de 100. Tire um quarto do número e multiplique por 100.
Regra do 99
43 × 99 → 4300 − 43 = 425799 é 100 − 1. O mesmo formato do ×9, um valor posicional acima.
Regra do 101
43 × 101 → 4343101 é 100 + 1, então você fica com 4300 + 43. Como o número é menor que 100, as duas cópias nunca se chocam, e a resposta é só o número escrito duas vezes.
Dobrar e tirar a metade
14 × 45 → 7 × 90 = 630Dobrar um fator e tirar a metade do outro multiplica por 2 e divide por 2, então o produto não pode se mexer. Repita até que um dos lados seja um número de que você goste.
Diferença de quadrados
98 × 102 → 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996Dois números à mesma distância de cada lado de um meio amigável são (m − d) e (m + d), e esse produto é sempre .
Multiplicação cruzada
23 × 12 → 2×1 | 2×2 + 3×1 | 3×2 → 2 | 7 | 6 → 276É a expansão comum de (20 + 3)(10 + 2), reunida por valor posicional em vez de escrita por extenso. Uma única passagem da esquerda para a direita, sem linhas intermediárias.
Pouco acima de 100
104 × 106 → 104 + 6 = 110 → 11000, mais 4 × 6 = 24 → 11024(100 + a)(100 + b) = 10000 + 100(a + b) + ab. O primeiro passo cuida das centenas, o segundo cuida das sobras.
Multiplicação perto de 100, por baixo
97 × 94 → 97 − 6 = 91 → 9100, mais 3 × 6 = 18 → 9118(100 − a)(100 − b) = 10000 − 100(a + b) + ab — a mesma identidade com o sinal trocado, e é por isso que você subtrai a distância do outro número em vez de somá-la.
Terminam em 5, com dez de diferença
35 × 45 → 3 × 5 = 15 → 1575(10n + 5)(10n + 15) dá 100 × n(n + 2) + 75, então é "algarismo das dezenas vezes dois a mais que ele mesmo, e depois 75". Confira: .
Agora é você
276 × 20
31 × 16
Quadrados — 5 truques
Todos eles se ancoram num número redondo e corrigem com um quadrado pequeno.
nada foi somado nem retirado — o retângulo é o quadrado com um canto de d × d removido, então falta ao produto exatamente 9
Faça o retângulo ficar 16 a menos que o quadrado.
Quadrado de números terminados em 5
65 × 65 → 6 × 7 = 42 → 4225Um número terminado em 5 é 10n + 5, . É exatamente a regra: n vezes o número seguinte, e 25 no final.
Quadrados perto de 100
96² → 96 − 4 = 92 → 9200, mais 4² = 16 → 9216. Tirar a distância uma vez dá as centenas; o quadrado da distância é o que resta.
Quadrados na casa dos 50
54² → 25 + 4 = 29 → 2900, mais 4² = 16 → 2916. O 25 está ali porque é 2500.
Quadrados na casa dos 40
48² → 25 − 2 = 23 → 2300, mais 2² = 4 → 2304A mesma identidade, chegando por cima: .
Quadrados perto de 1000
996² → 996 − 4 = 992 → 992000, mais 4² = 16 → 992016. O truque do perto de 100, um valor posicional acima.
Agora é você
Qual é ?
Quanto é ?
Divisão — 3 truques
Dividir por 5
130 ÷ 5 → 260 → 26Dividir por 5 é multiplicar por 2 e dividir por 10, porque 5 = 10 ÷ 2. Dobrar é fácil e cortar um zero sai de graça.
Dividir por 25
800 ÷ 25 → 3200 → 3225 é um quarto de 100, então ÷25 é ×4 e depois ÷100.
Dividir por 3
5712 → 5+7+1+2 = 15, divisível → 5712 ÷ 3 = 1904Toda potência de 10 deixa resto 1 quando dividida por 3, então cada algarismo contribui apenas com ele mesmo, não importa em que coluna esteja. É por isso que um número e a soma dos seus algarismos têm o mesmo resto, e é por isso que o critério é honesto.
Agora é você
Um número é divisível por 10…
Qual destes é divisível por 2?
Adição e subtração — 3 truques
Somar números invertidos
47 + 74 → 11 × (4 + 7) = 121(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b). É a inversão que faz os dois valores posicionais trocarem de lugar e se emparelharem.
Subtrair números invertidos
82 − 28 → 9 × (8 − 2) = 54(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b). Toda diferença desse tipo é múltipla de 9 — isso não é coincidência, é a identidade.
Subtrair de 1000
1000 − 473 → 9−4, 9−7, 10−3 → 5271000 é 999 + 1, e nada precisa de empréstimo em 999. Tire cada algarismo de 9 e o último de 10, e o empréstimo desaparece por completo.
Séries e sequências — 2 truques
1 + 2 + … + n é uma escada; uma segunda cópia virada de cabeça para baixo preenche seus vãos
Ajuste n = 6 e deslize a segunda escada para dentro
Soma de ímpares consecutivos
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²Cada novo ímpar é exatamente a borda em forma de L que transforma um quadrado no seguinte. Some os N primeiros e você construiu um quadrado N × N.
Somar de 1 até N (Gauss)
1 + 2 + … + 100 → 100 × 101 ÷ 2 = 5050Junte as pontas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — cinquenta pares, cada um dando 101. A fórmula é esse emparelhamento posto no papel.
Somas infinitas e telescópicas — 2 truques
Somas telescópicas
1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(N×(N+1)) = 1 − 1/(N+1)Cada termo é . Escritos assim, todos os pedaços do meio são cancelados pelo vizinho e só as duas pontas sobrevivem.
O paradoxo de Zenão
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1Cada passo cobre a metade do que falta, então a distância até 1 se reduz à metade toda vez. São infinitos passos, e mesmo assim a distância acaba — que é o que "converge" quer dizer.
Teoria dos números — 5 truques
251 = 100a + 10b + c: toda centena é 99 + 1 e toda dezena é 9 + 1, então desagrupe e veja o que o 9 não consegue engolir
Forme 342 e desagrupe
Último algarismo de uma potência
7¹, 7², 7³, 7⁴ terminam em 7, 9, 3, 1 — e então repeteSó o algarismo das unidades de um passo alimenta o algarismo das unidades do passo seguinte, então os últimos algarismos têm de acabar entrando num ciclo. Ache o ciclo e reduza o expoente à sua posição nele.
Último algarismo de um produto
347 × 893 → 7 × 3 = 21 → termina em 1Todo outro valor posicional carrega um fator 10, e qualquer coisa multiplicada por 10 termina em 0. Só os algarismos das unidades conseguem alcançar a coluna das unidades.
Raiz digital (módulo 9)
4573 → 4+5+7+3 = 19 → 1+9 = 10 → 1, e 4573 = 9 × 508 + 110 deixa resto 1 quando dividido por 9, e toda potência de 10 também. Cada algarismo, portanto, contribui apenas com ele mesmo para o resto, seja qual for a coluna em que esteja.
Divisibilidade por 11
2728 → 2 − 7 + 2 − 8 = −11, então sim (2728 = 11 × 248)10 deixa resto −1 quando dividido por 11, então as potências de 10 alternam entre +1 e −1. É exatamente a soma alternada.
Ciclos com expoentes enormes
7¹⁰⁰ → o ciclo tem 4 de comprimento, e 100 divide por 4 → termina em 1O mesmo ciclo de antes, usado num expoente grande demais para expandir. Você nunca calcula a potência — você calcula onde ela cai dentro do laço.
Agora é você
Quanto é 829 mod 9?
Quanto é 447 mod 9?
Frações e frações contínuas — 2 truques
Inverter a porcentagem
8% de 50 → 50% de 8 = 4Os dois lados são a mesma multiplicação, 8 × 50 ÷ 100, lida em outra ordem. Tem mais disso no guia de porcentagem.
A razão áurea como fração contínua
x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) → x = 1 + 1/x → x² = x + 1 → x ≈ 1.618A fração contém uma cópia perfeita de si mesma, então dá para chamar a coisa toda de x e substituí-la de volta dentro dela mesma. Uma expressão infinita desaba numa equação do segundo grau.
O que fazer com esta lista
Não tente aprender 36 atalhos. Quem é rápido em conta de cabeça costuma ter um punhado deles que usa sem pensar, e todo o resto vai calculando.
Escolha dois ou três que combinem com as contas que você realmente encontra, e aprenda o motivo em vez da receita — o motivo é o que avisa que o truque se aplica antes de você terminar de ler a pergunta. E se a tabuada ainda não é automática, comece por ali: todo atalho desta página supõe que você não está gastando memória de trabalho com 7 × 8.
Sua vez
Três para praticar: toque na sua resposta.
65²
47 + 74
130 ÷ 5
Perguntas e respostas
- Vale a pena aprender truques de cálculo mental, ou são só número de circo?
- Valem a pena os que vêm com um motivo. Todo atalho desta página é uma identidade algébrica disfarçada - multiplicar por 9 é multiplicar por 10 e devolver uma vez o número, porque 9 é 10 menos 1. Quem aprende a identidade consegue reconstruir o truque depois de esquecê-lo, e consegue perceber quando ele se aplica. Quem aprende só a receita decorou uma coisa que não sabe conferir.
- Qual truque de cálculo mental aprender primeiro?
- Multiplicar por 5, por 9 e por 11, e elevar ao quadrado números terminados em 5. Os quatro aparecem o tempo todo, os quatro têm um passo só, e os quatro se apoiam na mesma ideia: troque um número desconfortável por um número amigável perto dele e corrija a diferença. Quando essa ideia fica familiar, o resto da lista deixa de parecer uma lista.
- Por que multiplicar por 11 coloca a soma dos algarismos no meio?
- Porque 11 é 10 mais 1. Multiplicar 43 por 11 é somar 430 com 43, e quando você alinha os dois a coluna das dezenas vira 4 mais 3. A regra que manda "largar a soma dos algarismos no meio" é essa soma, feita de antemão. É também por isso que você vai um quando a soma chega a 10.
- Como funciona o critério da soma dos algarismos para 3 e para 9?
- Porque 10 deixa resto 1 quando dividido por 3 ou por 9, e toda potência de 10 também. Isso quer dizer que cada algarismo contribui apenas com ele mesmo para o resto, não importa em que coluna esteja. Então o número e a soma dos seus algarismos deixam o mesmo resto - e é por isso que somar os algarismos é um teste honesto.