36 trucchi di calcolo mentale e perché ognuno funziona
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Un trucco di calcolo mentale senza una ragione è qualcosa che si memorizza e poi si dimentica. Ogni scorciatoia qui sotto è un'identità algebrica travestita — e quando riesci a vedere l'identità, puoi ricostruire il trucco da zero e, cosa più utile, capire quando si applica.
Sono le 36 lezioni di Math Challenge, in elenco completo.
Se preferisci la versione breve, la guida come sommare, moltiplicare e calcolare le percentuali a mente raccoglie la dozzina di trucchi che servono più spesso, con più spazio per ciascuno.
Tutti e 36, in ordine
- Moltiplicare per 5
- Moltiplicare per 9
- Moltiplicare per 11
- Moltiplicare per 12
- Moltiplicare per 15
- Moltiplicare per 25
- Regola del 99
- Regola del 101
- Raddoppia e dimezza
- Differenza di quadrati
- Moltiplicazione in croce
- Appena sopra 100
- Vicino a 100, da sotto
- Finiscono per 5, distanti dieci
- Quadrato di un numero che finisce per 5
- Quadrati vicini a 100
- Quadrati da 50 a 59
- Quadrati da 40 a 49
- Quadrati vicini a 1000
- Dividere per 5
- Dividere per 25
- Dividere per 3
- Sommare un numero e il suo rovescio
- Sottrarre il rovescio di un numero
- Sottrarre da 1000
- Somma di numeri dispari consecutivi
- Somma da 1 a N (Gauss)
- Somme telescopiche
- Il paradosso di Zenone
- Ultima cifra di una potenza
- Ultima cifra di un prodotto
- Radice digitale (mod 9)
- Divisibilità per 11
- Cicli con esponenti grandi
- Scambia la percentuale
- La sezione aurea come frazione continua
Moltiplicazione — 14 trucchi
Quasi tutti questi trucchi sono la stessa mossa: sostituisci il numero scomodo con uno comodo lì vicino, poi correggi.
46 × (10 − 1) = 460 − 46 × 1 = 460 − 46 = 414: la striscia tolta è 46 × 1, e ×9 e ×99 sono questa striscia
Trascina M a 12 e leggi le due strisce aggiunte sopra
Moltiplicare per 5
48 × 5 → la metà di 48 è 24 → 2405 è la metà di 10, quindi ×5 è ×10 e poi si dimezza — e 10 è il numero per cui è più facile moltiplicare in un sistema in base 10.
Moltiplicare per 9
48 × 9 → 480 − 48 = 4329 è 10 − 1, quindi prendi dieci volte il numero e restituiscine una. È anche il motivo per cui ogni risultato della tabellina del 9 ha le cifre che sommano 9.
Moltiplicare per 11
43 × 11 → 4 (4+3) 3 → 47311 è 10 + 1, quindi 43 × 11 è 430 + 43. Incolonnati, la colonna delle decine diventa 4 + 3 — la regola della "somma in mezzo" è quell'addizione fatta in anticipo, ed è anche il motivo per cui si fa il riporto quando la somma arriva a 10.
Moltiplicare per 12
34 × 12 → 340 + 68 = 40812 è 10 + 2: dieci volte il numero più il doppio.
Moltiplicare per 15
34 × 15 → 340 + 170 = 51015 è 10 + 5, e 5 è la metà di 10 — quindi fai ×10, poi aggiungi la metà di quello che hai appena ottenuto.
Moltiplicare per 25
32 × 25 → un quarto di 32 è 8 → 80025 è un quarto di 100. Prendi un quarto del numero, poi moltiplica per 100.
Regola del 99
43 × 99 → 4300 − 43 = 425799 è 100 − 1. Stessa forma di ×9, un posto più in alto.
Regola del 101
43 × 101 → 4343101 è 100 + 1, quindi ottieni 4300 + 43. Poiché il numero è minore di 100, le due copie non si sovrappongono mai, e il risultato è semplicemente il numero scritto due volte.
Raddoppia e dimezza
14 × 45 → 7 × 90 = 630Raddoppiare un fattore e dimezzare l'altro significa moltiplicare per 2 e dividere per 2, quindi il prodotto non cambia. Ripeti finché un lato diventa un numero che ti piace.
Differenza di quadrati
98 × 102 → 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996Due numeri alla stessa distanza, uno per parte, da un punto di mezzo comodo sono (m − d) e (m + d), e il loro prodotto è sempre .
Moltiplicazione in croce
23 × 12 → 2×1 | 2×2 + 3×1 | 3×2 → 2 | 7 | 6 → 276È il normale sviluppo di (20 + 3)(10 + 2), raccolto per posizione invece di essere scritto per esteso. Un solo passaggio da sinistra a destra, senza righe intermedie.
Appena sopra 100
104 × 106 → 104 + 6 = 110 → 11000, più 4 × 6 = 24 → 11024(100 + a)(100 + b) = 10000 + 100(a + b) + ab. Il primo passaggio sistema le centinaia, il secondo ciò che resta.
Vicino a 100, da sotto
97 × 94 → 97 − 6 = 91 → 9100, più 3 × 6 = 18 → 9118(100 − a)(100 − b) = 10000 − 100(a + b) + ab — la stessa identità con il segno cambiato, ed è per questo che sottrai la distanza dell'altro numero invece di sommarla.
Finiscono per 5, distanti dieci
35 × 45 → 3 × 5 = 15 → 1575(10n + 5)(10n + 15) dà 100 × n(n + 2) + 75, quindi la regola è "cifra delle decine per il numero due più grande, poi 75". Verifica: .
Ora tocca a te
276 × 20
31 × 16
Quadrati — 5 trucchi
Ognuno di questi si appoggia a un numero tondo e corregge con un piccolo quadrato.
non è stato aggiunto né tolto nulla — il rettangolo è il quadrato a cui è stato tolto un angolo di d × d, quindi al prodotto manca esattamente 9
Fai in modo che il rettangolo sia 16 in meno del quadrato.
Quadrato di un numero che finisce per 5
65 × 65 → 6 × 7 = 42 → 4225Un numero che finisce per 5 è 10n + 5, e . È esattamente la regola: n per il numero successivo, poi 25 in fondo.
Quadrati vicini a 100
96² → 96 − 4 = 92 → 9200, più 4² = 16 → 9216. Togliere una volta la distanza dà le centinaia; il quadrato della distanza è ciò che resta.
Quadrati da 50 a 59
54² → 25 + 4 = 29 → 2900, più 4² = 16 → 2916. Il 25 c'è perché fa 2500.
Quadrati da 40 a 49
48² → 25 − 2 = 23 → 2300, più 2² = 4 → 2304La stessa identità, vista dall'alto: .
Quadrati vicini a 1000
996² → 996 − 4 = 992 → 992000, più 4² = 16 → 992016. Il trucco dei quadrati vicini a 100, un posto più in alto.
Ora tocca a te
Quanto vale ?
Quanto vale ?
Divisione — 3 trucchi
Dividere per 5
130 ÷ 5 → 260 → 26Dividere per 5 è moltiplicare per 2 e dividere per 10, perché 5 = 10 ÷ 2. Raddoppiare è facile e togliere uno zero non costa niente.
Dividere per 25
800 ÷ 25 → 3200 → 3225 è un quarto di 100, quindi ÷25 è ×4 e poi ÷100.
Dividere per 3
5712 → 5+7+1+2 = 15, divisibile → 5712 ÷ 3 = 1904Ogni potenza di 10 divisa per 3 dà resto 1, quindi ogni cifra contribuisce solo con se stessa, in qualunque colonna si trovi. Per questo un numero e la somma delle sue cifre hanno lo stesso resto, e il criterio è valido.
Ora tocca a te
Un numero è divisibile per 10…
Quale di questi è divisibile per 2?
Addizione e sottrazione — 3 trucchi
Sommare un numero e il suo rovescio
47 + 74 → 11 × (4 + 7) = 121(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b). È l'inversione a far scambiare le due posizioni e a metterle in coppia.
Sottrarre il rovescio di un numero
82 − 28 → 9 × (8 − 2) = 54(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b). Ogni differenza di questo tipo è un multiplo di 9 — non è un caso, è l'identità.
Sottrarre da 1000
1000 − 473 → 9−4, 9−7, 10−3 → 5271000 è 999 + 1, e da 999 non si presta niente. Sottrai ogni cifra da 9 e l'ultima da 10, e il prestito sparisce del tutto.
Serie e successioni — 2 trucchi
1 + 2 + … + n è una scalinata; una seconda copia capovolta ne riempie i vuoti
Imposta n = 6 e fai scorrere dentro la seconda scalinata
Somma di numeri dispari consecutivi
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²Ogni nuovo numero dispari è esattamente il bordo a forma di L che trasforma un quadrato nel successivo. Somma i primi N e hai costruito un quadrato N × N.
Somma da 1 a N (Gauss)
1 + 2 + … + 100 → 100 × 101 ÷ 2 = 5050Accoppia gli estremi: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 — cinquanta coppie, ognuna che dà 101. La formula è questo accoppiamento messo per iscritto.
Somme infinite e telescopiche — 2 trucchi
Somme telescopiche
1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(N×(N+1)) = 1 − 1/(N+1)Ogni termine è . Scritto così, ogni pezzo intermedio è annullato dal suo vicino e sopravvivono solo i due estremi.
Il paradosso di Zenone
1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1Ogni passo copre metà di ciò che resta, quindi la distanza da 1 si dimezza ogni volta. Infiniti passi, eppure la distanza finisce — ed è questo che significa "converge".
Teoria dei numeri — 5 trucchi
251 = 100a + 10b + c: ogni centinaio è 99 + 1 e ogni decina è 9 + 1, quindi scomponili e vedi cosa il 9 non può assorbire
Fai 342 e scomponilo
Ultima cifra di una potenza
7¹, 7², 7³, 7⁴ finiscono per 7, 9, 3, 1 — poi si ripeteSolo la cifra delle unità di un passo determina quella del passo successivo, quindi le ultime cifre prima o poi devono ripetersi. Trova il ciclo, poi riduci l'esponente alla sua posizione nel ciclo.
Ultima cifra di un prodotto
347 × 893 → 7 × 3 = 21 → finisce per 1Ogni altra posizione porta un fattore 10, e qualunque cosa moltiplicata per 10 finisce per 0. Solo le cifre delle unità possono arrivare nella colonna delle unità.
Radice digitale (mod 9)
4573 → 4+5+7+3 = 19 → 1+9 = 10 → 1, e 4573 = 9 × 508 + 110 diviso per 9 dà resto 1, e lo stesso vale per ogni potenza di 10. Ogni cifra contribuisce quindi al resto solo con se stessa, in qualunque colonna si trovi.
Divisibilità per 11
2728 → 2 − 7 + 2 − 8 = −11, quindi sì (2728 = 11 × 248)10 diviso per 11 dà resto −1, quindi le potenze di 10 si alternano tra +1 e −1. È esattamente la somma a segni alterni.
Cicli con esponenti grandi
7¹⁰⁰ → il ciclo è lungo 4, e 100 è divisibile per 4 → finisce per 1Lo stesso ciclo di prima, usato su un esponente troppo grande per essere sviluppato. Non calcoli mai la potenza — calcoli dove cade nel ciclo.
Ora tocca a te
Quanto vale 829 mod 9?
Quanto vale 447 mod 9?
Frazioni e frazioni continue — 2 trucchi
Scambia la percentuale
8% di 50 → 50% di 8 = 4Le due espressioni sono la stessa moltiplicazione, 8 × 50 ÷ 100, letta in un ordine diverso. Ce n'è di più nella guida alle percentuali.
La sezione aurea come frazione continua
x = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) → x = 1 + 1/x → x² = x + 1 → x ≈ 1.618La frazione contiene una copia perfetta di se stessa, quindi puoi chiamare x l'intera espressione e sostituirla dentro se stessa. Un'espressione infinita si riduce a un'equazione di secondo grado.
Che cosa farne di questa lista
Non provare a imparare 36 scorciatoie. Chi è veloce nel calcolo mentale di solito ne ha una manciata che usa senza pensarci, e tutto il resto lo ricava al momento.
Scegline due o tre che corrispondono ai conti che incontri davvero, e impara il motivo invece della ricetta — è il motivo che ti dice che il trucco si applica prima ancora di aver finito di leggere la domanda. E se le tabelline non sono ancora automatiche, parti da quelle: ogni scorciatoia di questa pagina presuppone che tu non stia spendendo memoria di lavoro su 7 × 8.
Tocca a te
Tre da provare: tocca la tua risposta.
65²
47 + 74
130 ÷ 5
Domande e risposte
- Vale la pena imparare i trucchi di calcolo mentale, o sono solo giochi di società?
- Vale la pena imparare quelli che hanno una ragione. Ogni scorciatoia di questa pagina è un'identità algebrica travestita - moltiplicare per 9 è moltiplicare per 10 e toglierne una parte, perché 9 è 10 meno 1. Se impari l'identità, puoi ricostruire il trucco quando lo dimentichi e capisci quando si applica. Se impari solo la ricetta, hai memorizzato qualcosa che non puoi verificare.
- Quale trucco di calcolo mentale conviene imparare per primo?
- Moltiplicare per 5, per 9 e per 11, ed elevare al quadrato i numeri che finiscono per 5. Tutti e quattro tornano di continuo, tutti e quattro sono un solo passaggio e tutti e quattro si basano sulla stessa idea: sostituire un numero scomodo con uno comodo lì vicino e correggere la differenza. Quando questa idea diventa familiare, il resto dell'elenco smette di sembrare un elenco.
- Perché moltiplicando per 11 la somma delle cifre va in mezzo?
- Perché 11 è 10 più 1. Moltiplicare 43 per 11 significa sommare 430 e 43, e quando li incolonni la colonna delle decine diventa 4 più 3. La regola che dice 'metti la somma delle cifre in mezzo' è quell'addizione, fatta in anticipo. È anche il motivo per cui si fa il riporto quando la somma arriva a 10.
- Come funziona il criterio della somma delle cifre per la divisibilità per 3 o per 9?
- Perché 10 dà resto 1 se diviso per 3 o per 9, e lo stesso vale per ogni potenza di 10. Questo significa che ogni cifra contribuisce al resto solo con se stessa, in qualunque colonna si trovi. Quindi un numero e la somma delle sue cifre danno lo stesso resto - ed è per questo che sommare le cifre è un controllo valido.