Numeri complessi

Aggiornato 7 ottobre 2026

Un numero complesso ha una parte reale e una parte immaginaria, e si scrive a + bi. L’unità immaginaria i è definita da $i^2=-1$i² = −1. Un numero così non sta su una retta, quindi i numeri complessi vivono su un piano, dove sommare è uno spostamento e moltiplicare è una rotazione.

Qual è la radice quadrata di un numero negativo?

Un numero negativo non ha una radice quadrata reale, perché ogni numero reale al quadrato è zero o positivo, quindi $x^2=-1$x² = −1 non ha soluzioni sulla retta dei numeri. La matematica risponde definendo un numero nuovo, i, il cui quadrato è −1. Ogni numero negativo ha allora due radici quadrate: quelle di −16 sono 4i e −4i, perché elevando al quadrato 4i si ottiene $16\times i^2$16 × i², e infatti 16 × (−1) = −16. In generale $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$√(−a) = i√a per ogni a positivo, quindi $\sqrt{-25}=5i$√(−25) = 5i. La definizione funziona perché i rispetta tutte le regole ordinarie dell’algebra, con un fatto in più: $i^2=-1$i² = −1 ovunque compaia. Una regola però cambia. La legge $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a × √b = √(ab) vale solo quando a e b non sono negativi, quindi $\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}$√(−1) × √(−1) è i × i = −1, non $\sqrt{1}=1$√1 = 1. Controlla una radice quadrata elevandola al quadrato: da 5i si ottiene $25\times i^2$25 × i², e infatti 25 × (−1) = −25, il numero di partenza.

Con i definita da $i^2=-1$i² = −1, ogni altra radice quadrata di un numero negativo segue: $\sqrt{-9}=\sqrt{9}\times \sqrt{-1}=3i$√(−9) = √9 × √(−1) = 3i. L’algebra funziona ancora con i in un’espressione: sviluppa le parentesi come prima e sostituisci $i^2$i² con −1 ovunque compaia. Vedi L’unità immaginaria.

Le potenze di i si ripetono in un ciclo di quattro: i, −1, −i, 1. Per trovare i²⁰²⁷, dividi l’esponente per 4 e tieni il resto. Poiché 2027 = 4 × 506 + 3, i²⁰²⁷ $=i^3=-i$= i³ = −i. Vedi Potenze di i.

Come si sommano e si moltiplicano i numeri complessi?

Per sommare numeri complessi, somma separatamente le parti reali e le parti immaginarie: (3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i, perché 3 + 1 = 4 e 2 − 5 = −3. Vedi Sommare numeri complessi. Per la moltiplicazione, sviluppa le parentesi come se i fosse una lettera, poi sostituisci $i^2$i² con −1: (2 + i)(3 + 4i) dà $6+8i+3i+4i^2$6 + 8i + 3i + 4i², cioè 2 + 11i. La somma non mescola mai le parti, perché un numero reale e un multiplo di i sono termini non simili, come 3 e 2x. La moltiplicazione invece le mescola, perché i × i è reale. La divisione richiede un passaggio in più: moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, che rende reale il denominatore. I moduli si moltiplicano, e questo verifica il prodotto: $|2+i{|}^2$|2 + i|² è 5, $|3+4i{|}^2$|3 + 4i|² è 25, e $|2+11i{|}^2$|2 + 11i|² è 4 + 121 = 125 = 5 × 25.

Scritto per intero, con $i^2$i² sostituito da −1:

$\left(3+2i\right)\left(1-5i\right)=3-15i+2i-10i^2=3-13i+10=13-13i$(3 + 2i)(1 − 5i) = 3 − 15i + 2i − 10i² = 3 − 13i + 10 = 13 − 13i.

L’ultimo passaggio è quello in cui nascono gli errori: $-10i^2$−10i² è −10 × (−1) = +10, non −10. Vedi Moltiplicare numeri complessi.

Dividere con il coniugato

Il coniugato di a + bi è a − bi. Un numero per il suo coniugato è sempre reale, perché i termini centrali si annullano e $-b^2{i}^2$−b²i² diventa $+b^2$+b²: $\left(a+\text{bi}\right)\left(a-\text{bi}\right)=a^2+b^2$(a + bi)(a − bi) = a² + b². Vedi Coniugati complessi.

È la stessa mossa che si usa per razionalizzare un denominatore con una radice. Vedi Dividere numeri complessi.

(4 + i) / (2 − 3i) = (4 + i)(2 + 3i) / ((2 − 3i)(2 + 3i)) = (5 + 14i) / 13.

Da dove vengono i numeri complessi in un’equazione?

I numeri complessi compaiono quando un’equazione di secondo grado ha discriminante negativo. Il suo grafico allora non tocca l’asse x, quindi non ci sono radici reali, eppure la formula risolutiva funziona ancora una volta che $\sqrt{-1}$√(−1) si scrive come i. Per $x^2-4x+13=0$x² − 4x + 13 = 0, il discriminante $b^2-4ac$b² − 4ac è 16 − 52 = −36, e $\sqrt{-36}=6i$√(−36) = 6i, quindi $x=\left(4\pm 6i\right)$x = (4 ± 6i) / $2=2\pm 3i$2 = 2 ± 3i. Vedi Radici complesse di un’equazione di secondo grado. La formula sopravvive perché il completamento del quadrato, da cui nasce, non richiede mai che la radice quadrata sia reale. Il segno del discriminante distingue i casi: un valore positivo dà due radici reali, zero dà una radice doppia, e solo un valore negativo fa entrare i. Verifica la coppia con i coefficienti. Le radici sommate danno 2 + 2 = 4, la somma delle loro parti reali, e moltiplicate danno $2^2+3^2=4+9=13$2² + 3² = 4 + 9 = 13, che corrispondono a $-\frac{b}{a}$−b/a e $\frac{c}{a}$c/a per questa equazione.

Le due radici sono coniugate l’una dell’altra. Quando i coefficienti sono reali, le radici non reali vengono sempre in coppie coniugate.

Quindi un polinomio di terzo grado a coefficienti reali ha tre radici reali oppure una radice reale e una coppia coniugata, e il suo grafico taglia sempre l’asse x. Data una radice non reale, il suo coniugato è una seconda radice. Moltiplica i due fattori corrispondenti per ottenere un polinomio di secondo grado reale, poi dividi per esso il polinomio di terzo grado per trovare la radice reale. Vedi Radici complesse di un’equazione di terzo grado e la guida a equazioni di secondo grado e polinomi.

Che aspetto ha un numero complesso?

Un numero complesso ha l’aspetto di un punto su un piano. Si rappresenta a + bi nel punto (a, b), con la parte reale lungo l’asse orizzontale e la parte immaginaria lungo l’asse verticale; questo piano si chiama piano di Argand. Vedi Il piano di Argand. Il punto −2 + 3i sta 2 unità a sinistra dell’origine e 3 più in alto. Un punto si può dare anche con la sua distanza dall’origine, il modulo, e con il suo angolo dal semiasse reale positivo, l’argomento. Serve un piano perché un numero complesso ha due parti indipendenti, e su una retta c’è posto per una sola. Moltiplicare per i ruota ogni punto di un quarto di giro in senso antiorario: $i\left(2+i\right)=2i+i^2=-1+2i$i(2 + i) = 2i + i² = −1 + 2i, quindi (2, 1) va in (−1, 2). Le lunghezze confermano la rotazione. Entrambi i punti distano $\sqrt{5}$√5 dall’origine, perché $2^2+1^2=5$2² + 1² = 5 e ${\left(-1\right)}^2+2^2=1+4=5$(−1)² + 2² = 1 + 4 = 5.

Il modulo |z| è la sua distanza dall’origine. La freccia verso a + bi è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti a e b, quindi $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$|z| = √(a² + b²). Per 3 + 4i il modulo è $\sqrt{9+16}=5$√(9 + 16) = 5. Vedi Il modulo di un numero complesso.

L’argomento è l’angolo che la freccia forma con il semiasse reale positivo, misurato in senso antiorario, e nello stesso triangolo $\tan \theta =\frac{b}{a}$tan θ = b/a. L’arcotangente della calcolatrice restituisce solo angoli tra −90° e 90°, quindi per un punto nel secondo o nel terzo quadrante disegnalo e correggi di 180°. Vedi L’argomento di un numero complesso.

Scrivere un numero con il suo modulo r e il suo argomento $\theta$θ è la forma polare: $z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$z = r(cos θ + i sin θ), perché la parte reale è $r\cos \theta$r cos θ e la parte immaginaria è $r\sin \theta$r sin θ. Vedi Forma polare e La forma $r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$r(cos θ + i sin θ).

La divisione inverte entrambi i passaggi: dividi i moduli e sottrai gli argomenti. Vedi Dividere in forma polare.

Che cos’è il teorema di De Moivre?

Il teorema di De Moivre è la regola per le potenze intere in forma polare: $\left[r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\right]$[r(cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ$\left(\cos n\theta +i\sin n\theta \right)$(cos nθ + i sin nθ). Elevare z alla potenza n eleva il modulo alla potenza n e moltiplica l’argomento per n. Per z = 2(cos 30° + i sin 30°), il cubo ha modulo 2 × 2 × 2 = 8 e argomento 90°, tre volte 30°, quindi $z^3=8i$z³ = 8i. Vedi Il teorema di De Moivre. Il teorema vale perché moltiplicare numeri complessi ne moltiplica i moduli e ne somma gli argomenti, e una potenza è una moltiplicazione ripetuta; l’induzione su n ne fa una dimostrazione. Le potenze grandi richiedono un passaggio in più: un argomento oltre 180° si riporta nell’intervallo da −180° a 180° sottraendo 360°, quindi 300° diventa −60°. Verifica l’esempio in forma cartesiana: $z=\sqrt{3}+i$z = √3 + i, il suo quadrato è $2+2\sqrt{3}i$2 + 2√3 i, e moltiplicandolo per $\sqrt{3}+i$√3 + i si ottiene 8i.

Un uso è ricavare identità trigonometriche. Sviluppa ${\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^3$(cos θ + i sin θ)³ con il teorema binomiale e confronta la parte reale con $\cos 3\theta$cos 3θ. Sostituisci ${\sin }^2\theta$sin²θ con $1-{\cos }^2\theta$1 − cos²θ per ottenere $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$cos 3θ = 4cos³θ − 3cos θ. Vedi Angoli multipli con De Moivre.

La direzione inversa trasforma una potenza di $\cos \theta$cos θ in coseni di angoli multipli, la forma che serve prima di integrare. Se |z| = 1, allora $\frac{1}{z}$1/z è il coniugato di z, quindi $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$z + 1/z = 2 cos θ e zⁿ $+\frac{1}{z}$+ 1/zⁿ $=2\cos n\theta$= 2 cos nθ. Vedi L’identità $z+\frac{1}{z}=2\cos \theta$z + 1/z = 2 cos θ.

De Moivre somma anche serie di coseni: la somma di $\cos k\theta$cos kθ è la parte reale della somma di z^k, che è una serie geometrica di ragione z. Vedi Sommare una serie con De Moivre e la guida a successioni e serie (in inglese).

Le radici dell’unità

L’equazione zⁿ = 1 ha n soluzioni, tutte di modulo 1, con argomenti 0°, $\frac{360^{\circ }}{n}$360°/n, $2\times \frac{360^{\circ }}{n}$2 × 360°/n e così via, perché ciascuno di quegli angoli moltiplicato per n dà un numero intero di giri. Vedi Le radici dell’unità.

Unite in ordine, sono i vertici di un poligono regolare: le radici quinte di 1 formano un pentagono regolare. Vedi Poligoni regolari dalle radici dell’unità.

Lo stesso metodo trova le radici n-esime di qualunque numero complesso. Prendi la radice n-esima reale del modulo, dividi l’argomento per n, poi avanza di $\frac{360^{\circ }}{n}$360°/n per raccogliere le altre. Le radici cubiche di 8i hanno tutte modulo 2, a 30°, 150° e 270°. Vedi Le radici n-esime di un numero complesso.

Dietro tutto questo c’è la forma esponenziale. Sostituisci $x=i\theta$x = iθ nella serie di e^x: i termini si separano nelle serie del coseno e del seno, quindi e^$i\theta$iθ $=\cos \theta +i\sin \theta$= cos θ + i sin θ, e ogni numero complesso è re^$i\theta$iθ. De Moivre è allora la legge degli esponenti (e^$i\theta$iθ)ⁿ = e^in$\theta$θ. Vedi La forma esponenziale di un numero complesso.

Come si legge un’equazione complessa come una figura?

Leggi ogni modulo come una distanza e ogni argomento come una direzione: |z − a| è la distanza da z al punto a, quindi |z − a| = r è la circonferenza di centro a e raggio r. Per esempio, |z − 3 + 2i| = 4 è la circonferenza di raggio 4 centrata in 3 − 2i, perché z − 3 + 2i è z − (3 − 2i). Riscrivi sempre l’espressione come z meno un numero prima di leggere il centro. La figura funziona perché z − a è la freccia che va da a verso z, e un modulo è una lunghezza. Con due moduli, |z − 1| = |z − 5| dice che z è lontano da 1 quanto da 5, quindi è l’asse del segmento: la retta verticale per (1 + 5) ÷ 2 = 3. Prova un punto: con z = 7 − 2i, z − 3 + 2i vale 4, il cui modulo è 4.

|z − a| = |z − b| dice che z è alla stessa distanza da a e da b, quindi z sta sull’asse del segmento che va da a a b. Vedi Cerchi e assi nel piano di Argand.

Fissare un argomento dà una semiretta: arg(z − a) = 45° è la semiretta che parte da a con direzione 45°. Cambiare un segno di uguale in una disuguaglianza colora una regione: $|z|\le 3$|z| ≤ 3 è l’intero disco di raggio 3, e una disuguaglianza stretta esclude il bordo. Vedi Semirette e regioni nel piano di Argand.

Gli errori da conoscere per nome

• Perdere il segno di $i^2$i². $-10i^2$−10i² è +10, perché $i^2=-1$i² = −1.
• Fidarsi dell’arcotangente della calcolatrice per l’argomento. Restituisce un angolo tra −90° e 90°. Disegna il punto, e aggiungi o sottrai 180° nel secondo o nel terzo quadrante.
• Scrivere $\sqrt{-4}\times \sqrt{-9}=\sqrt{36}=6$√(−4) × √(−9) = √36 = 6. La regola $\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$√a × √b = √(ab) vale solo per a e b non negativi. Converti prima: $2i\times 3i=6i^2=-6$2i × 3i = 6i² = −6.
• Dimenticare che le radici non reali vengono in coppia. Se 2 + 3i è una radice e i coefficienti sono reali, allora anche 2 − 3i è una radice.
• Dare una sola radice n-esima. Un numero complesso ha tre radici cubiche, equidistanti su una circonferenza.

Dove porta tutto questo

La rotazione è qui la moltiplicazione per un numero complesso, e nella guida alle matrici (in inglese) quella per una matrice 2 × 2. L’identità e^$i\theta$iθ $=\cos \theta +i\sin \theta$= cos θ + i sin θ viene dalla serie di Maclaurin della guida a successioni e serie (in inglese), e ogni polinomio della guida a equazioni di secondo grado e polinomi ha tutte le sue radici una volta ammessi i numeri complessi.