Logica e dimostrazione

Aggiornato 7 ottobre 2026

Una dimostrazione è un ragionamento che copre tutti i casi in una volta, compresi quelli che nessuno controllerà mai. Controllare mille casi è un indizio. Una dimostrazione chiude la questione. I metodi qui sotto sono le forme che quel ragionamento può prendere.

Quali sono i pezzi di un ragionamento matematico?

Un ragionamento matematico è costruito con pochi tipi di affermazione. Una definizione fissa il significato di una parola; è una scelta, quindi non è né vera né falsa. Una proposizione è un’affermazione che è vera oppure falsa. Un teorema è una proposizione che è stata dimostrata, un lemma è un teorema più piccolo dimostrato lungo la strada verso uno più grande, e un corollario segue da un teorema in uno o due passaggi. Definisci un multiplo di 3 come 3k per un numero intero k. Allora "la somma di due multipli di 3 è un multiplo di 3" diventa un teorema quando si mostra che 3a + 3b = 3(a + b), e la stessa affermazione per tre multipli è un corollario. Le etichette contano perché una dimostrazione può usare solo definizioni e affermazioni già dimostrate. Una congettura sembra vera ma non ha ancora una dimostrazione. Un esempio non è una dimostrazione: 6 + 9 = 15 illustra il teorema senza dimostrarlo.

Per questo discutere se 1 sia primo non porta da nessuna parte. La definizione esclude 1 perché ogni numero intero abbia esattamente una scomposizione in fattori primi. È una scelta, non una scoperta.

Le affermazioni si collegano con e, o e non, e una tavola di verità elenca ogni combinazione di vero e falso, così ogni connettivo è definito con precisione. In matematica o è inclusivo: P o Q è vera quando valgono entrambe.

La negazione di un’affermazione è vera esattamente quando l’affermazione è falsa, e non deve negare nulla di più. La negazione di x > 5 è $x\le 5$x ≤ 5, non x < 5, perché x = 5 non era mai stato escluso. Sotto una negazione e diventa o, e o diventa e. Sono le leggi di De Morgan.

Vedi Definizioni, proposizioni e teoremi, Connettivi logici e tavole di verità e Negare un’affermazione.

Perché la contronominale è vera e l’inversa no?

Un’affermazione condizionale "se P allora Q" è falsa in un solo caso: P vera e Q falsa. La contronominale, "se non Q allora non P", fallisce esattamente in quel caso, quindi è vera ogni volta che lo è l’originale. L’inversa, "se Q allora P", fallisce quando Q è vera e P è falsa, un caso diverso, quindi può essere falsa mentre l’originale è vera. Prendi "se un numero finisce con 0, è divisibile per 5". La sua contronominale, "se un numero non è divisibile per 5, non finisce con 0", è vera. La sua inversa, "se un numero è divisibile per 5, finisce con 0", è falsa: 15 = 3 × 5 finisce con 5. Quando valgono entrambe le direzioni, l’affermazione è un "se e solo se", e ogni direzione richiede la sua dimostrazione. Per l’originale, il caso che la rompe non si presenta mai: un numero che finisce con 0 è un multiplo di 10, e 10 = 2 × 5.

Si scrive $P\Rightarrow Q$P ⇒ Q, con P l’ipotesi e Q la tesi. Quando P è falsa il condizionale non promette nulla, quindi non può essere violato.

In simboli l’inversa è $Q\Rightarrow P$Q ⇒ P, e la contronominale è non $Q\Rightarrow$Q ⇒ non P. Con "se n è un multiplo di 4 allora n è pari", l’inversa fallisce per n = 6, mentre la contronominale, "se n non è pari allora n non è un multiplo di 4", è vera.

Una tavola di verità lo stabilisce in quattro righe. Le colonne di $P\Rightarrow Q$P ⇒ Q e di non $Q\Rightarrow$Q ⇒ non P coincidono in ogni riga, quindi le due affermazioni sono logicamente equivalenti. Allo stesso modo l’inversa fa coppia con la contraria, non $P\Rightarrow$P ⇒ non Q.

P è sufficiente per Q quando P garantisce Q, e P è necessaria per Q quando Q non può verificarsi senza P. Quando una condizione è entrambe le cose, l’affermazione si legge "P se e solo se Q", e dimostrarla significa dimostrare $P\Rightarrow Q$P ⇒ Q e $Q\Rightarrow P$Q ⇒ P. Tralasciare una direzione lascia l’affermazione non dimostrata.

Vedi Affermazioni condizionali, L’inversa e la contraria, La contronominale, Condizioni necessarie e sufficienti e Se e solo se.

Come cambiano un’affermazione i quantificatori?

Un quantificatore dice quanti oggetti copre un’affermazione. "Per ogni", scritto $\forall$∀, afferma qualcosa di ogni oggetto di un insieme; "esiste", scritto $\exists$∃, afferma che almeno un oggetto ha la proprietà. Si dimostrano e si confutano in modi opposti. Un’affermazione con per ogni richiede un ragionamento che copra ogni caso, e un controesempio la confuta. Un’affermazione con esiste richiede un esempio, e confutarla significa escludere ogni caso. Così "ogni primo è dispari" cade davanti al primo 2, mentre "qualche quadrato finisce con 6" è dimostrata da 4 × 4 = 16. Il motivo è la negazione: la negazione di un’affermazione con per ogni è un’affermazione con esiste. L’ordine dei quantificatori cambia il significato. "Per ogni x c’è un y più grande" è vera per i numeri interi, perché y = x + 1 funziona, ma "c’è un y più grande di ogni x" afferma che esiste un numero massimo ed è falsa. Per negare un’affermazione quantificata, scambia il quantificatore e nega ciò che segue.

"Ogni persona ha una madre" e "c’è una persona che è la madre di tutti" usano gli stessi quantificatori in ordine opposto, e solo la prima è vera.

La negazione di "ogni cigno è bianco" è "qualche cigno non è bianco", non "nessun cigno è bianco", che afferma molto di più.

Vedi Per ogni ed esiste e Negare un’affermazione quantificata.

Quali sono i modi standard di dimostrare qualcosa?

La maggior parte delle dimostrazioni usa uno di sei metodi: la dimostrazione diretta, la dimostrazione per contronominale, la dimostrazione per casi, la confutazione per controesempio, la dimostrazione di unicità e la dimostrazione per induzione. Una dimostrazione diretta assume l’ipotesi e procede per passaggi obbligati fino alla tesi. Per dimostrare che il prodotto di due numeri dispari è dispari, scrivili come 2a + 1 e 2b + 1; il loro prodotto è 4ab + 2a + 2b + 1, cioè 2(2ab + a + b) + 1, quindi è dispari. Per esempio, 7 × 9 = 63 = 2 × 31 + 1. È la forma dell’affermazione a scegliere il metodo. Quando l’ipotesi dà poco su cui lavorare, come in "se $n^2$n² è dispari allora n è dispari", dimostra la contronominale. Pochi casi chiedono la dimostrazione per casi, un’affermazione falsa un controesempio, e un’affermazione su ogni numero intero l’induzione. Una dimostrazione è completa solo quando ogni passaggio segue da quelli precedenti, quindi indica che cosa giustifica ogni riga.

Per mostrare che la somma di due numeri pari è pari, scrivili come 2a e 2b. La somma è 2(a + b), cioè 2 per un numero intero, quindi è pari.

La dimostrazione per contronominale dimostra invece non $Q\Rightarrow$Q ⇒ non P, ed è la scelta giusta quando le affermazioni negate sono più facili da trattare. Per dimostrare che se $n^2$n² è pari allora n è pari, parti da "n è dispari": n = 2k + 1, quindi $n^2=4k^2+4k+1$n² = 4k² + 4k + 1, che è dispari. Questo dimostra l’affermazione, senza passaggi in più.

La dimostrazione per casi divide l’affermazione in un elenco finito di casi e dimostra ciascuno. Controlla prima che i casi non lascino fuori nulla. "n è pari o dispari" copre ogni numero intero. "n è primo o composto" no, perché 1 non è né l’uno né l’altro.

La confutazione per controesempio chiude un’affermazione generale con un solo caso in cui fallisce. $n^2+n+41$n² + n + 41 è primo per ogni n da 0 a 39, e questo non dimostra nulla.

Un’affermazione secondo cui esiste esattamente un oggetto richiede due ragionamenti: trovare un oggetto che funziona, poi prenderne due qualsiasi che funzionano e mostrare che sono uguali. La dimostrazione per induzione mostra che un’affermazione vale per n = 1 e che ogni caso implica il successivo; è spiegata nella guida a successioni e serie (in inglese).

Vedi Dimostrazione diretta, Dimostrazione per contronominale, Dimostrazione per casi, Confutazione per controesempio, Dimostrare esistenza e unicità e Dimostrazione per induzione: sommare da 1 a n.

Due ragionamenti di conteggio con un nome proprio

Il principio dei cassetti dice che se si mettono più oggetti che cassetti, almeno un cassetto ne contiene due. Dimostra che una coppia esiste senza dire quale, e spesso a una dimostrazione basta questo.

Contare con una biiezione abbina due collezioni una a una, senza avanzi, per dimostrare che hanno la stessa grandezza. Un insieme di n elementi ha $2^n$2ⁿ sottoinsiemi, perché ogni sottoinsieme corrisponde esattamente a una stringa di n scelte sì-o-no.

Vedi Il principio dei cassetti e Contare con una biiezione.

Quali disuguaglianze conviene conoscere per nome?

Quattro disuguaglianze meritano di essere conosciute per nome: la disuguaglianza triangolare, la disuguaglianza AM-GM, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e l’ordine di crescita di esponenziali, polinomi e logaritmi. Ognuna limita una quantità quando un valore esatto è difficile da trovare o non serve. La disuguaglianza AM-GM è la più usata: per a e b non negativi, la media aritmetica $\frac{\left(a+b\right)}{2}$(a + b)/2 è almeno la media geometrica $\sqrt{ab}$√(ab). Con a = 9 e b = 1 si ha (9 + 1) ÷ 2 = 5, poi $\sqrt{9}=3$√9 = 3, quindi $5\ge 3$5 ≥ 3. Vale perché un quadrato non è mai negativo: il quadrato di $\sqrt{a}-\sqrt{b}$√a − √b è almeno 0, e riordinando si ottiene la disuguaglianza. L’uguaglianza richiede a = b, ed è così che la disuguaglianza trova un minimo. Per x > 0, $x+\frac{1}{x}\ge 2$x + 1/x ≥ 2, con il minimo in x = 1, perché la media geometrica di x e $\frac{1}{x}$1/x è 1. Prova un valore: x = 4 dà $4+\frac{1}{4}$4 + 1/4, che è sopra 2.

La disuguaglianza triangolare dice che in ogni triangolo con lati a, b e c, $a+b\ge c$a + b ≥ c. Scritta come $|a+b|\le |a|+|b|$|a + b| ≤ |a| + |b|, vale per numeri, vettori e numeri complessi.

In simboli la disuguaglianza è $\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge \sqrt{ab}$(a + b)/2 ≥ √(ab), con l’uguaglianza solo quando a = b. La dimostrazione è un solo quadrato: ${\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}^2\ge 0$(√a − √b)² ≥ 0, quindi $a-2\sqrt{ab}+b\ge 0$a − 2√(ab) + b ≥ 0. Riordina in $a+b\ge 2\sqrt{ab}$a + b ≥ 2√(ab) e dimezza entrambi i membri. Fra i rettangoli di area fissata, il quadrato ha il perimetro minimo.

La disuguaglianza di Cauchy–Schwarz dice che il prodotto scalare di due vettori è al massimo il prodotto delle loro lunghezze, $|a\cdot b|\le |a||b|$|a · b| ≤ |a| |b|, perché $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$a · b = |a| |b| cos θ e un coseno non supera mai 1.

L’ordine di crescita dice che, alla lunga, un esponenziale supera ogni polinomio e un polinomio supera ogni logaritmo. Una potenza grande ritarda il punto di sorpasso ma non lo elimina.

Vedi La disuguaglianza triangolare, La disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica, La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e Crescita polinomiale, esponenziale e logaritmica.

Come si trova una dimostrazione quando si è bloccati?

Quando sei bloccato, usa un’euristica: un metodo per trovare una dimostrazione anziché per scriverla. Tre fanno la maggior parte del lavoro: procedere a ritroso dall’obiettivo, risolvere prima una versione più semplice e passare dai casi particolari a quello generale. Supponi di volere il numero di diagonali di un poligono con n lati. Conta i casi piccoli: un quadrato ne ha 2, un pentagono 5 e un esagono 9. Ogni vertice è unito da una diagonale a n − 3 altri, e ogni diagonale ha due estremi, il che suggerisce $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$n(n − 3)/2. I casi piccoli aiutano perché si possono controllare a mano e mostrano lo schema che un ragionamento generale deve spiegare. Uno schema però non è una dimostrazione: è il ragionamento di conteggio a dimostrare la formula, non la tabella. Procedere a ritroso cambia l’ordine di scrittura: trovi i passaggi partendo dall’obiettivo, poi scrivi la dimostrazione in avanti a partire dall’ipotesi. Prova la formula su un caso contato: per un esagono, 6 × 3 ÷ 2 = 9.

Procedere a ritroso dall’obiettivo parte dalla tesi e si chiede che cosa la produrrebbe, poi che cosa produrrebbe quello, finché la richiesta è qualcosa di già noto.

Risolvere prima un problema più semplice riduce il problema finché si può fare a mano, e i casi piccoli mostrano la regola.

Passare da un caso particolare a ogni caso richiede un ragionamento generale. Sommando i numeri dispari in ordine si ottiene 1, 4, 9, 16, ed è una congettura finché un ragionamento non copre ogni n. Controlla anche che il caso particolare non abbia usato nulla che al caso generale manca. Una dimostrazione che assume in silenzio un angolo retto, o numeri positivi, ha dimostrato un teorema più ristretto di quello che dichiara.

Trovare il difetto in un ragionamento è l’abilità opposta. Nelle classiche dimostrazioni che 1 = 2, la conclusione falsa significa che un passaggio non è giustificato, e di solito è una divisione per a − b quando a = b, cioè una divisione per 0.

Vedi Procedere a ritroso dall’obiettivo, Risolvere prima un problema più semplice, Da un caso particolare a ogni caso e Trovare il difetto in un ragionamento.

Gli errori da conoscere per nome

• Dimostrare l’inversa. Controlla quale affermazione hai assunto e quale hai raggiunto.
• Assumere ciò che si deve dimostrare. Partire dalla tesi non dimostra nulla, a meno che ogni passaggio si possa invertire.
• Negare un quantificatore senza scambiarlo. La negazione di "tutti lo sono" è "almeno uno non lo è", mai "nessuno lo è".
• Prendere gli esempi per una dimostrazione. La congettura di Fermat secondo cui $2^{2^n}+1$2^(2^n) + 1 è sempre primo fallisce per n = 5.
• Casi che non coprono tutto. Una dimostrazione per casi vale quanto il controllo che i casi siano completi.
• Perdere un caso con una radice quadrata o un valore assoluto. $x^2=9$x² = 9 ha due soluzioni, 3 e −3. Dividere una disuguaglianza per un numero negativo la inverte.

Dove porta tutto questo

Le dimostrazioni geometriche della guida a rette, angoli e Pitagora (in inglese) sono dimostrazioni dirette con figure, e i teoremi sul cerchio della guida a congruenza e teoremi sul cerchio (in inglese) ne sono una catena. L’induzione è sviluppata insieme alle successioni e serie (in inglese) che dimostra. Il principio dei cassetti e le biiezioni tornano nella guida a insiemi e conteggio (in inglese).