Funzioni e funzioni razionali

Aggiornato 7 ottobre 2026

Una funzione è una regola che prende un input e restituisce esattamente un output. Da questa definizione dipende quali input sono ammessi, quando una regola si può percorrere all'indietro e perché alcuni grafici hanno dei buchi.

Che cosa significa f(x)?

f(x) è l'output della funzione f quando l'input è x. Non è f moltiplicato per x. Per calcolarla, metti l'input al posto di ogni x nella regola. Se $f\left(x\right)=x^2-3x$f(x) = x² − 3x, allora f(5) è $5^2-3\times 5=25-15=10$5² − 3 × 5 = 25 − 15 = 10. La x è solo un segnaposto, quindi al suo posto può andare qualunque numero o espressione: f(a + 1) significa ${\left(a+1\right)}^2-3\left(a+1\right)$(a + 1)² − 3(a + 1). La notazione è utile perché nomina input e output in un solo simbolo, così un'uguaglianza come f(5) = 10 li registra entrambi insieme. Un input negativo vuole le parentesi: f(−2) è ${\left(-2\right)}^2-3\times \left(-2\right)=4+6=10$(−2)² − 3 × (−2) = 4 + 6 = 10, e senza parentesi ${\left(-2\right)}^2$(−2)² diventa −4. Controlla un valore sul grafico: il punto (5, 10) sta sulla curva y = f(x), perché y è l'output quando x vale 5.

Se f(x) = 2x + 1, allora f(3) = 2 × 3 + 1 = 7. Allo stesso modo, f(a + 1) = 2a + 3.

Vedi Notazione funzionale.

Come si trovano dominio e codominio?

Il dominio è l'insieme degli input che una funzione accetta, e il codominio è l'insieme degli output che produce. Parti con un dominio fatto di tutti i numeri reali e togli ogni valore che viola una regola: un denominatore non può essere zero, una radice quadrata non può contenere un numero negativo, e un logaritmo vuole un input positivo. Per $f\left(x\right)=\sqrt{x-3}+1$f(x) = √(x − 3) + 1, la radice richiede $x-3\ge 0$x − 3 ≥ 0, quindi il dominio è $x\ge 3$x ≥ 3. La radice più piccola è 0, per x = 3, quindi l'output più piccolo è 0 + 1 = 1, e il codominio è $y\ge 1$y ≥ 1. Queste regole esistono perché fuori da esse ogni operazione non è definita. Un contesto reale può restringere ancora il dominio, come quando una lunghezza deve essere positiva. Per il codominio di solito servono il grafico o la forma della regola, non un elenco di valori vietati. Prova con un valore: x = 7 dà $\sqrt{4}+1$√4 + 1, cioè 3, dentro il codominio.

Altri due esempi: $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(x-2\right)}$f(x) = 1/(x − 2) ha come dominio tutti i numeri reali tranne 2. $f\left(x\right)=\sqrt{x-5}$f(x) = √(x − 5) ha dominio $x\ge 5$x ≥ 5.

Per $f\left(x\right)=x^2$f(x) = x² ogni input è ammesso, ma un quadrato non è mai negativo, quindi il codominio è $y\ge 0$y ≥ 0.

Vedi Dominio e codominio.

Funzioni costruite a pezzi

Una funzione definita a tratti usa una regola diversa su ogni tratto del suo dominio. Per calcolarla, trova prima in quale tratto cade l'input, poi usa quella regola. Il punto di confine appartiene alla regola la cui disuguaglianza contiene "o uguale a".

I pezzi si uniscono senza salti quando le due regole danno lo stesso valore nel punto di confine. Per ottenerlo, calcola ciascuna regola nel punto di confine, poni uguali i due valori e risolvi rispetto alla costante incognita.

Vedi Funzioni definite a tratti, Il grafico di una funzione a tratti e Rendere continua una funzione a tratti.

Funzioni composte e inverse

Una funzione composta manda l'output di una funzione dentro un'altra, come input. fg(x) significa f(g(x)): applica prima g, poi f. Se f(x) = x + 1 e $g\left(x\right)=x^2$g(x) = x², allora fg(2) = f(4) = 5, ma gf(2) = g(3) = 9.

Una funzione inversa disfa l'originale: se f manda 3 in 10, allora $f^{-1}$f⁻¹ riporta 10 in 3. Per trovarla, inverti l'ordine dei passaggi e sostituisci ogni passaggio con il suo opposto. f(x) = 3x + 1 moltiplica per 3 e poi aggiunge 1, quindi $f^{-1}$f⁻¹ sottrae 1 e poi divide per 3: $f^{-1}\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)}{3}$f⁻¹(x) = (x − 1)/3.

Scambiare input e output scambia le coordinate di ogni punto, quindi (3, 10) diventa (10, 3).

Vedi Funzioni composte e Funzioni inverse.

Come cambia un grafico con le trasformazioni?

Una modifica fuori dalla parentesi agisce sull'output e sposta il grafico nel verso in cui si legge: $y=x^2+3$y = x² + 3 alza di 3 ogni punto di $y=x^2$y = x². Dentro la parentesi, una modifica agisce sull'input e funziona al contrario: $y={\left(x-3\right)}^2$y = (x − 3)² sposta il grafico di 3 verso destra. Il verso si inverte perché ora x deve essere più grande di 3 per dare alla parentesi lo stesso valore, quindi il vertice passa da x = 0 a x = 3. Quando più modifiche agiscono insieme, applica prima quelle dentro la parentesi e per ultime quelle fuori: $y=2{\left(x-3\right)}^2+3$y = 2(x − 3)² + 3 sposta a destra di 3, raddoppia ogni altezza, poi alza di 3. Verifica con un punto: (1, 1) su $y=x^2$y = x² deve finire in (4, 4) su $y={\left(x-3\right)}^2+3$y = (x − 3)² + 3, e infatti ${\left(4-3\right)}^2+3=1+3=4$(4 − 3)² + 3 = 1 + 3 = 4.

Gli stiramenti seguono la stessa divisione. $y=2x^2$y = 2x² raddoppia ogni altezza, e nessun punto si sposta di lato. $y={\left(2x\right)}^2-4$y = (2x)² − 4 agisce sull'input, quindi la parentesi raggiunge il suo vecchio valore a metà della x, e la curva si schiaccia a metà della sua larghezza.

Vedi Trasformare i grafici, Stirare un grafico in verticale e Stirare un grafico in orizzontale.

Che cosa rende diversa la crescita esponenziale?

La crescita esponenziale moltiplica per lo stesso fattore a ogni passo, mentre la crescita lineare aggiunge la stessa quantità. Dopo n raddoppi, una quantità iniziale A è diventata $A\times 2^n$A × 2ⁿ. Partendo da 3, aggiungere 3 a ogni passo dà 6, 9, 12, 15, mentre raddoppiare dà 6, 12, 24, 48. Raddoppiare dieci volte moltiplica per 1,024, e 3 × 1,024 = 3,072 contro 3 + 10 × 3 = 33. Ogni passo esponenziale è più grande del precedente perché l'aumento è una frazione fissa della quantità del momento, quindi la curva prima o poi supera qualunque retta. Un tasso percentuale dà il fattore: una crescita del 10% all'anno moltiplica per $\frac{11}{10}$11/10. Il quadro si rovescia quando il fattore è minore di 1: la quantità si riduce verso zero senza mai arrivarci, ed è il decadimento esponenziale. Per mettere alla prova dei dati, dividi ogni termine per il precedente. Per 6, 12, 24, 48 ogni rapporto è 2, mentre le differenze 6, 12, 24 continuano a cambiare.

Un tempo di dimezzamento di 3 giorni significa che la quantità si dimezza ogni 3 giorni: 80 g diventano 40 g, poi 20 g, poi 10 g.

Nella realtà niente raddoppia per sempre, perché lo spazio finisce. Un modello logistico all'inizio cresce come un esponenziale, poi si appiattisce su un tetto chiamato capacità portante.

Vedi Crescita esponenziale, Decadimento esponenziale, Problemi di crescita e decadimento e Crescita logistica e capacità portante.

A che cosa serve un logaritmo?

Un logaritmo dà la potenza a cui va elevata una base: ${\log }_{2}8=3$log₂ 8 = 3 perché $2^3=8$2³ = 8. Prendere un logaritmo disfa l'elevamento a potenza, come la sottrazione disfa l'addizione. In generale, il logaritmo in base b di y è il numero x tale che $b^x=y$bˣ = y, quindi ogni fatto sui logaritmi è un fatto sugli esponenti letto all'indietro: ${\log }_{10}1000=3$log₁₀ 1000 = 3, perché 10 × 10 × 10 = 1,000. I logaritmi risolvono le equazioni con l'incognita all'esponente. Quando la risposta non è un numero intero, prendi il logaritmo di entrambi i membri e porta giù la potenza con la proprietà della potenza: $5^x=30$5ˣ = 30 dà x log 5 = log 30, quindi x = log 30 / log 5. Solo i numeri positivi hanno logaritmi reali, perché nessuna potenza di una base positiva è zero o negativa. Verifica elevando la base alla risposta: 2 × 2 × 2 = 8.

Le proprietà dei logaritmi vengono dalle proprietà delle potenze. Moltiplicare potenze della stessa base somma gli esponenti, $2^3\times 2^4=2^7$2³ × 2⁴ = 2⁷, quindi log(ab) = log a + log b. Dividere li sottrae: $\log \left(a/b\right)=\log a-\log b$log(a / b) = log a − log b. Una potenza è una moltiplicazione ripetuta, quindi l'esponente passa davanti: $\log \left(x^n\right)=n\log x$log(xⁿ) = n log x.

Per risolvere $3^x=20$3ˣ = 20: x log 3 = log 20, quindi $x=\log 20/\log 3\approx 2.727$x = log 20 / log 3 ≈ 2.727.

Una calcolatrice offre solo ${\log }_{10}$log₁₀ e ln, e la regola del cambio di base raggiunge ogni altra base a partire da questi due: ${\log }_{2}N=\log N/\log 2$log₂ N = log N / log 2. ln è il logaritmo in base $e\approx 2.718$e ≈ 2.718, e rispetta tutte le proprietà viste sopra.

Vedi Esponenziali e logaritmi, Le proprietà dei logaritmi, Risolvere equazioni esponenziali, La regola del cambio di base e Il logaritmo naturale.

Leggere i dati su una scala logaritmica

Un asse logaritmico mette ogni valore v a distanza log v, quindi distanze uguali rappresentano multipli uguali: 1, 10, 100 e 1000 sono equidistanti.

Un asse logaritmico mette alla prova la crescita esponenziale. Se $y=a\times b^x$y = a × bˣ, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene log y = log a + x log b, una retta in x. Riporta log y in funzione di x: se i punti si allineano, i dati sono esponenziali, e togliendo i logaritmi da pendenza e intercetta si ritrovano b e a.

L'asse su cui si prendono i logaritmi sceglie il modello. Una legge di potenza $y=a{x}^n$y = a xⁿ si raddrizza quando si riporta log y in funzione di log x, e la pendenza è n. Un modello logaritmico y = a + b ln x si raddrizza quando si riporta y in funzione di ln x.

Vedi Grafici logaritmici, Raddrizzare la crescita con i logaritmi, Raddrizzare una legge di potenza e Adattare un modello logaritmico.

Perché alcuni grafici hanno dei buchi?

Una funzione razionale è un polinomio diviso per un altro, e non ha valore dove il denominatore è zero, quindi lì il suo grafico si interrompe. Scomponi entrambi, poi esamina ogni fattore che annulla il denominatore. Se non si semplifica, il grafico ha un asintoto verticale: $y=\frac{1}{\left(x-3\right)}$y = 1/(x − 3) ne ha uno in x = 3, perché vicino a 3 il denominatore è minuscolo e i valori crescono senza limite. Se si semplifica, l'interruzione è un solo punto mancante, un buco. Per $y=\frac{\left(x^2-9\right)}{\left(x-3\right)}$y = (x² − 9)/(x − 3), il numeratore è (x − 3)(x + 3), quindi il grafico è la retta y = x + 3 senza il punto in x = 3, ad altezza 3 + 3 = 6. La frazione e la retta coincidono ovunque tranne che in x = 3. Gli input vicini mettono alla prova un asintoto: $\frac{1}{\left(x-3\right)}$1/(x − 3) vale 100 in $x=3+\frac{1}{100}$x = 3 + 1/100 e −100 in $x=3-\frac{1}{100}$x = 3 − 1/100.

Una frazione è zero solo quando il numeratore è zero, quindi gli zeri del numeratore sono le intersezioni con l'asse x.

$\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}$(x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2). Semplifica, e resta x + 2 per ogni x tranne 2, dove l'originale dà 0 ÷ 0. Un buco è una discontinuità eliminabile; un asintoto non si può riparare.

Lontano dall'origine sono i termini di grado massimo a decidere la forma, quindi confronta i gradi del numeratore e del denominatore. Se il denominatore ha grado maggiore, la curva si appiattisce su y = 0. Se i gradi sono uguali, si appiattisce sul rapporto dei coefficienti direttivi: $\frac{\left(2x+1\right)}{\left(x-1\right)}$(2x + 1)/(x − 1) si appiattisce su y = 2. Se il numeratore ha esattamente un grado in più, la curva si avvicina invece a una retta obliqua.

La divisione tra polinomi trova quella retta. Dividi i polinomi come dividi i numeri: confronta i termini di grado massimo, rimoltiplica, sottrai e ripeti. Il quoziente è l'asintoto obliquo, e il resto diviso per il divisore svanisce lontano dall'origine. $\frac{\left(x^2+3x+5\right)}{\left(x+1\right)}=x+2+\frac{3}{\left(x+1\right)}$(x² + 3x + 5)/(x + 1) = x + 2 + 3/(x + 1), quindi l'asintoto obliquo è y = x + 2.

Vedi Zeri e asintoti verticali, Buchi dove un fattore si cancella, Asintoti orizzontali secondo il grado, Divisione lunga di polinomi e Asintoti obliqui per divisione lunga.

Gli errori da nominare

• Leggere f(x) come una moltiplicazione. f(4) significa mettere 4 al posto di x, e f(a + b) non è f(a) + f(b), a meno che f(x) = kx.
• Spostare nel verso sbagliato. f(x + 3) sposta il grafico di 3 verso sinistra. Una modifica dentro la parentesi funziona al contrario.
• Comporre nell'ordine sbagliato. fg(x) significa f(g(x)): applica prima g.
• Semplificare senza annotare il buco. Ridurre $\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}$(x² − 4)/(x − 2) a x + 2 fa perdere il fatto che x = 2 non era mai ammesso.

La guida ai grafici di equazioni e geometria analitica (in inglese) tratta le rette e le curve su cui agiscono queste trasformazioni, e quella su successioni e serie (in inglese) prosegue dalla crescita esponenziale fino alle serie geometriche. Guide collegate: Limiti e continuità (in inglese) e Equazioni di secondo grado e polinomi.