Criteri di divisibilità da 2 a 12

Aggiornato 7 ottobre 2026

Un criterio di divisibilità ti dice se un numero è divisibile esattamente per un altro, senza fare la divisione. Ognuno qui sotto è accompagnato dal motivo per cui funziona, perché una regola di cui vedi il motivo è una regola che puoi ricostruire quando la dimentichi.

Quali sono i criteri di divisibilità?

Un criterio di divisibilità ti dice se un numero è divisibile esattamente, senza fare la divisione. Un numero è divisibile per 2 quando la sua ultima cifra è pari, per 5 quando finisce con 0 o 5, e per 10 quando finisce con 0. È divisibile per 4 quando lo sono le sue ultime due cifre, e per 8 quando lo sono le ultime tre. È divisibile per 3 o per 9 quando la somma delle cifre è un multiplo di 3 o di 9, e per 11 quando le cifre, prese con segno + e − alternato a partire da destra, sommano a 0 o a un multiplo di 11. Prendi 5,832: finisce con 2, quindi è divisibile per 2, e le sue cifre sommano a 5 + 8 + 3 + 2 = 18, quindi è divisibile per 3 e per 9. Le sezioni qui sotto spiegano perché funziona ogni criterio. Per 6, 12 e 15 si combinano due criteri i cui numeri non hanno fattori comuni. Una divisione conferma il risultato: 5,832 ÷ 9 = 648.

Il resto di questa pagina sono i motivi. Si dividono in tre famiglie: le ultime cifre, la somma delle cifre e la somma a segni alterni.

Perché per 2, 5, 10, 4 e 8 decidono le ultime cifre?

Decidono le ultime cifre perché ogni altra parte del numero è già un multiplo del divisore. Dieci è un multiplo di 2, 5 e 10, quindi tutte le decine di un numero sono divisibili per questi tre, e resta da controllare solo la cifra delle unità. Cento è un multiplo di 4, perché 100 = 4 × 25, quindi ogni centinaio è divisibile per 4 e contano solo le ultime due cifre. Prendi 9,136. Sono 91 centinaia e 36: le centinaia sono divisibili per 4 qualunque sia 91, e 36 = 4 × 9, quindi 9,136 è divisibile per 4. Mille è un multiplo di 8, perché 1,000 = 8 × 125, quindi la prova per 8 guarda le ultime tre cifre. Due cifre non bastano per 8, perché cento non è un multiplo di 8. Per esempio, 116 finisce con 16, che è divisibile per 8, ma 116 non lo è. Una divisione conferma la prova per 4: 9,136 ÷ 4 = 2,284.

Scrivi 3,746 come 374 decine e 6. Ognuna di quelle decine vale 10, e 10 è divisibile per 2, quindi l’intero blocco di decine è divisibile per 2 qualunque sia 374. Solo il 6 può rompere la regola, e 6 è pari, quindi 3,746 è divisibile per 2.

Quindi 4,312 è 4 migliaia e 312, le migliaia si sistemano da sole, e 312 = 8 × 39 chiude la questione.

Perché la somma delle cifre funziona per 3 e per 9?

La somma delle cifre funziona perché ogni valore posizionale supera di uno un multiplo di 9: 10 è 9 + 1, 100 è 99 + 1 e 1,000 è 999 + 1. Prendi 513. Le sue 5 centinaia sono 5 × 99 più altri 5, la sua 1 decina è 1 × 9 più 1, e poi ci sono 3 unità. Le parti fatte di 99 e di 9 sono multipli di 9, quindi non possono cambiare il resto, e ciò che rimane è 5 + 1 + 3 = 9, la somma delle cifre. Quindi 513, come 9, è divisibile per 9: 513 = 9 × 57. Il criterio per 3 viene gratis, perché ogni multiplo di 9 è anche multiplo di 3. Quando la somma delle cifre è a sua volta grande, somma di nuovo le sue cifre: 8,976 ha somma delle cifre 30, e 3 + 0 = 3, quindi è divisibile per 3 ma non per 9. La divisione lo verifica: 8,976 ÷ 3 = 2,992.

Prendi 471. Sono 4 centinaia, 7 decine e 1. Scrivi ogni centinaio come 99 + 1 e ogni decina come 9 + 1:

1. 471 = 4 × 100 + 7 × 10 + 1
2. = 4 × (99 + 1) + 7 × (9 + 1) + 1
3. = (4 × 99 + 7 × 9) + (4 + 7 + 1)

La prima parentesi è fatta interamente di 99 e di 9, quindi è un multiplo di 9 e non contribuisce al resto. Ciò che rimane è 4 + 7 + 1 = 12: la somma delle cifre. Quindi 471 e 12 danno lo stesso resto nella divisione per 9, e 471 è divisibile per 3 esattamente quando lo è 12.

Per 8,946 le cifre sommano a 27, e 27 dà 9, quindi 8,946 è divisibile per 9.

Come si verifica la divisibilità per 11?

Per verificare la divisibilità per 11, segna le cifre con + e − alternati, partendo con + sulla cifra delle unità, e sommale. Se il totale è 0 o un multiplo di 11, il numero è divisibile per 11. Per 3,729 il totale è 9 − 2 + 7 − 3 = 11, quindi 3,729 è divisibile per 11, e 3,729 = 11 × 339. La prova funziona perché 10 è uno in meno di 11, quindi le posizioni contano a turno all’indietro e in avanti. Anche un totale di 0 supera la prova: 5,654 dà 4 − 5 + 6 − 5 = 0, e 5,654 = 11 × 514. La supera anche un multiplo negativo di 11: per 8,294 il totale è 4 − 9 + 2 − 8 = −11, quindi 8,294 è divisibile per 11. Qualunque altro totale, come 3 o 14, significa che il numero non è divisibile. Una breve divisione lo conferma: 8,294 ÷ 11 = 754.

Dieci lascia −1 rispetto a 11, cento lascia +1, mille di nuovo −1, e così via lungo le posizioni.

Come si verifica la divisibilità per 6, 12 e 15?

Per verificare la divisibilità per 6, 12 o 15, scomponi il numero in due fattori che non hanno fattori comuni e controlla che entrambi i criteri siano soddisfatti. Sei è 2 × 3, dodici è 3 × 4 e quindici è 3 × 5. Prendi 2,316. Le sue cifre sommano a 12, quindi è divisibile per 3, e le ultime due cifre formano 16, quindi è divisibile per 4. Supera entrambe le prove, quindi è divisibile per 12, e 2,316 = 12 × 193. Per 15, il numero 4,035 finisce con 5 e ha cifre che sommano a 12, quindi è divisibile per 15. Funziona perché un numero divisibile per 3 e per 4, che non hanno fattori comuni, deve contenere 3 × 4 come fattore. Dodici è anche 2 × 6, ma quella coppia non va: 18 è divisibile per 2 e per 6 e non per 12, perché 2 e 6 hanno in comune il fattore 2. Una divisione toglie ogni dubbio: 4,035 ÷ 15 = 269.

La condizione che i due fattori non abbiano fattori comuni è tutto, ed è proprio lì che si sbaglia. Dodici è anche 2 × 6, ma 2 e 6 sono entrambi pari, quindi superare entrambe le prove dimostra meno di quanto sembri:

Esiste un criterio per 7?

Esiste un criterio per 7: togli l’ultima cifra, raddoppiala e sottraila dal numero che resta. Se il risultato è un multiplo di 7, compresi 0 o un multiplo negativo, lo è anche il numero di partenza. Ripeti il passo finché il numero è abbastanza piccolo da riconoscerlo. Prendi 1,358. Togliendo l’8 resta 135, e 135 − 16 = 119. Togliendo il 9 resta 11, e 11 − 18 = −7, che è un multiplo di 7, quindi 1,358 è divisibile per 7. Il passo non cambia mai la divisibilità per 7, perché toglie solo un multiplo di 7 e divide per 10, e 10 non ha il fattore 7. Quando il risultato non è un multiplo di 7, non lo è nemmeno il numero di partenza: 123 dà 12 − 6 = 6, quindi 123 non è divisibile per 7. La divisione conferma il primo esempio: 1,358 ÷ 7 = 194.

Funziona perché moltiplicare per 10 non può creare né distruggere un fattore 7. Se il numero accorciato a − 2b è divisibile per 7, lo è anche dieci volte quel numero, e dieci volte quel numero differisce dall’originale 10a + b esattamente di 21b: tre sette per ogni b.

Va detto chiaramente: questo è l’unico criterio della pagina che spesso costa più della divisione che fa risparmiare. Per 861 è rapido. Per un numero di sei cifre, dividere per 7 di solito è più veloce.

Dove si colloca nel percorso

La divisibilità è lo strumento a cui ricorri quando semplifichi una frazione, cerchi un denominatore comune o vai a caccia di fattori primi: ognuna di queste cose comincia con "che cosa lo divide?".

Guide correlate: Fattori, multipli e teoria dei numeri, Divisione e Frazioni.