Diviseurs, multiples et théorie des nombres

Mis à jour 13 octobre 2026

Dès que l'on sait diviser, une question suit immédiatement : quelles divisions tombent juste ? Tout ce qui se trouve sur cette page répond à cette question, de l'enfant de sept ans qui range des jetons en lignes égales jusqu'à la preuve que les nombres premiers ne s'épuisent jamais.

C'est aussi la branche la plus pratique de l'arithmétique qui n'ait pas l'air pratique. Simplifier une fraction est une question de diviseurs. Deux bus qui partent ensemble et se retrouvent est une question de multiples. Qu'un décimal s'arrête ou se répète pour toujours est entièrement réglé par les facteurs premiers du dénominateur.

Qu'est-ce qu'un diviseur, et qu'est-ce qu'un multiple ?

Un diviseur d'un nombre le divise exactement, et un multiple est ce nombre fois un entier. Les diviseurs de 20 sont 1, 2, 4, 5, 10, 20 et la liste s'arrête là, puisqu'aucun diviseur n'est plus grand que le nombre. Les multiples de 20 sont 20, 40, 60, 80, … et cette liste-là ne finit jamais. Les deux mots regardent dans des directions opposées : 4 × 5 = 20, donc 4 est un diviseur de 20 et 20 est un multiple de 4. Les diviseurs viennent par paires qui se multiplient pour donner le nombre, donc cherchez en montant depuis 1 et arrêtez-vous quand les paires commencent à se répéter. Un nombre carré a une paire faite d'un nombre par lui-même, comme 36 = 6 × 6, donc il a un nombre impair de diviseurs. Les règles de divisibilité évitent d'essayer chaque nombre. Multiplier chaque paire en sens inverse vérifie la liste : 1 × 20, 2 × 10 et 4 × 5 donnent tous 20.

Diviser sans reste est l'endroit où « exactement » se précise — pas de reste, rien qui traîne — et Les diviseurs et Les multiples nomment les deux directions. Les paires de diviseurs est celle qui rend la recherche fiable : les diviseurs viennent par paires dont le produit fait le nombre, alors chercher ceux de 12 revient à vérifier 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 puis s'arrêter, parce qu'ensuite les paires se répètent dans l'autre sens.

La divisibilité sans diviser

Les critères de divisibilité rassemble les tests qui répondent à « est-ce que ça tombe juste ? » plus vite que la division elle-même.

Chaque test, avec la raison pour laquelle il marche : les critères de divisibilité.

Les critères par somme des chiffres sont les intéressants, et ils ne doivent rien au hasard : chaque puissance de dix laisse un reste de 1 quand on la divise par 9, donc un nombre et la somme de ses chiffres laissent le même reste. Ce fait vaut plus que le critère — La preuve par neuf en fait un moyen de vérifier une longue multiplication en deux secondes, et L'arithmétique modulaire sur un cadran est l'idée générale derrière : une arithmétique où l'on ne garde que le reste, celle qui fait tourner horloges, calendriers et sommes de contrôle.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un nombre premier est un entier supérieur à 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même, donc il a exactement deux diviseurs. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11 et 13. Les autres entiers au-dessus de 1 sont composés, produits de nombres plus petits, comme 15 = 3 × 5. Pour tester si un nombre est premier, essayez de le diviser par les nombres premiers dans l'ordre, et arrêtez-vous dès que le carré du nombre premier dépasse le nombre. Pour 97, aucun de 2, 3, 5 ou 7 ne le divise, et 11 × 11 = 121 est plus que 97, donc 97 est premier. Vous pouvez vous arrêter là parce que les diviseurs viennent par paires, et le plus petit diviseur d'une paire, multiplié par lui-même, n'est jamais plus grand que le nombre. Le nombre 1 n'est pas premier, puisqu'il n'a qu'un seul diviseur, et 2 est le seul nombre premier pair. Un nombre comme 91 semble premier jusqu'à ce que vous essayiez 7 : 91 = 7 × 13.

Le crible d'Ératosthène est la plus vieille façon de les trouver, et c'est un véritablement bon algorithme plutôt qu'une curiosité de classe : écrivez les nombres, gardez 2 et barrez chaque multiple ultérieur de 2, gardez 3 et barrez ses multiples, et continuez. Ce qui survit est premier, et vous n'avez testé la divisibilité d'aucun nombre.

La décomposition en facteurs premiers est la récompense. Tout entier au-dessus de 1 se casse en premiers d'exactement une façon — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — et cette empreinte unique est ce qui fait fonctionner la section suivante.

PGCD ou PPCM — lequel vous faut-il ?

Demandez-vous si la question décompose des choses en groupes égaux ou attend que des choses s'alignent. Les groupes égaux ont besoin du plus grand commun diviseur (PGCD), le plus grand nombre qui divise les deux. S'aligner a besoin du plus petit commun multiple (PPCM), le plus petit nombre dans lequel les deux se divisent. Supposez que 24 perles rouges et 36 perles bleues aillent dans des sacs identiques sans qu'il n'en reste. Le plus grand nombre de sacs que vous pouvez remplir est le PGCD, 12, et chaque sac contient 2 rouges et 3 bleues. Si un bus part toutes les 6 minutes et un autre toutes les 8 minutes, ils repartent ensemble après le PPCM, 24 minutes. Les mots-clés peuvent induire en erreur, alors demandez-vous si la réponse doit tenir dans les deux nombres ou être atteinte par les deux. Quand deux nombres ne partagent aucun diviseur, le PGCD est 1 et le PPCM est leur produit, donc 8 et 9 ont un PPCM de 72. Le PGCD multiplié par le PPCM égale les deux nombres multipliés, ce qui vérifie les deux : 2 × 24 = 48 = 6 × 8.

Les diviseurs communs et Le plus grand commun diviseur prennent la première direction : le plus grand nombre qui divise les deux. 12 et 18 partagent 1, 2, 3 et 6, donc le PGCD est 6 — le plus grand plateau dans lequel les deux piles se rangent sans trou.

Les multiples communs et Le plus petit commun multiple prennent l'autre : le plus petit nombre que les deux divisent. 12 et 18 se rencontrent d'abord en 36 — la première fois qu'un bus de 12 minutes et un bus de 18 minutes repartent ensemble.

Choisir entre PGCD et PPCM existe parce que l'arithmétique est rarement la partie difficile ; choisir le bon depuis un énoncé l'est. Les décompositions en facteurs premiers répondent aux deux à la fois : prenez la plus basse puissance de chaque premier partagé pour le PGCD, la plus haute puissance de chaque premier pour le PPCM.

PGCD et PPCM depuis les décompositions

Pour les nombres trop grands pour lister leurs diviseurs, les décompositions font le travail. Écrivez les deux en produits de premiers, puis lisez les deux réponses sur la même paire de lignes.

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 et $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• PGCD : la plus basse puissance de chaque premier qu'ils partagent — 2 × 3 = 6. Seuls comptent les premiers présents dans les deux, et c'est pourquoi 5 et 7 sont ignorés.
• PPCM : la plus haute puissance de chaque premier présent dans l'un ou l'autre — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1260$2² × 3² × 5 × 7 = 1 260.

Une vérification utile en découle : multipliez le PGCD par le PPCM et vous obtenez le produit des deux nombres de départ, à chaque fois. 6 × 1 260 = 7 560 = 84 × 90. Chaque premier est compté une fois à sa puissance basse et une fois à sa haute, ce qui fait entre les deux exactement le compte des deux nombres.

Les premiers s'épuisent-ils un jour ?

Non, et la preuve est courte. La preuve d'Euclide que les premiers ne s'épuisent jamais commence en supposant que quelqu'un ait une liste complète de tous les nombres premiers. Multipliez tous les nombres premiers de la liste ensemble et ajoutez 1. Le nouveau nombre laisse un reste de 1 quand on le divise par n'importe quel premier de la liste, donc aucun d'eux n'en est un diviseur. Mais tout entier au-dessus de 1 a un facteur premier, donc un nombre premier manque à la liste, et aucune liste finie ne peut être complète. Avec la liste 2, 3, 5 et 7, le nouveau nombre est 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211, qui est lui-même premier. Le nouveau nombre n'a pas besoin d'être premier : 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30 031 = 59 × 509. Ses facteurs premiers manquent toujours à la liste. Et 13 × 2 310 = 30 030 confirme le reste de 1 en divisant par 13.

Quelles fractions ont un décimal qui s'arrête ?

Une fraction a un décimal qui s'arrête quand son dénominateur, sous forme irréductible, n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5. Pourquoi toute fraction s'arrête ou se répète en donne la raison : les décimaux comptent en dixièmes, centièmes et millièmes, et chaque puissance de dix est bâtie uniquement de 2 et de 5, puisque 10 = 2 × 5. Pour $\frac{7}{20}$7/20, le dénominateur est 2 × 2 × 5, donc multipliez le haut et le bas par 5 pour obtenir $\frac{35}{100}$35/100, soit 35 centièmes. Un dénominateur avec tout autre facteur premier ne peut jamais atteindre une puissance de dix, donc la division ne finit jamais, et les chiffres se répètent à la place. $\frac{1}{8}=0.125s^{\prime }$1/8 = 0.125 s'arrête ; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… ne peut pas. Simplifiez toujours d'abord, parce qu'un facteur qui s'annule ne compte pas : $\frac{6}{15}a$6/15 a un 3 dans son dénominateur, mais $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5, qui s'arrête. Pour vérifier un décimal qui s'arrête, écrivez-le comme une fraction sur une puissance de dix : $\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000.

La répétition est aussi garantie plutôt que simplement probable : diviser par 7 ne peut laisser que les restes 1 à 6, donc en sept étapes au plus un reste doit se répéter, et dès qu'un reste se répète, les chiffres aussi.

Changer les décimaux périodiques en fractions déroule le procédé à l'envers avec une seule astuce — multipliez par une puissance de dix pour aligner le bloc répété avec lui-même, puis soustrayez. x = 0.272727…, donc 100x = 27.2727…, et 99x = 27, ce qui donne $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11.

La même soustraction règle la dispute que les gens entretiennent sur Pourquoi 0.999… vaut exactement un : x = 0.999…, 10x = 9.999…, donc 9x = 9 et x = 1. Pas presque un. Il n'y a aucun nombre entre les deux, et deux nombres sans rien entre eux sont un seul nombre.

Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel ?

Un nombre irrationnel est un nombre qui ne peut pas s'écrire comme une fraction avec des entiers en haut et en bas. Nombres rationnels et irrationnels trace la ligne avec les décimaux : toute fraction a un décimal qui s'arrête ou se répète, donc un décimal qui continue indéfiniment sans se répéter ne peut pas être une fraction. Les exemples les plus connus sont $\sqrt{2}$√2 et pi. Aucune fraction ne donne exactement 2 au carré. Vous pouvez vous en approcher, puisque ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25, qui est juste en dessous de 2, et ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$(3/2)² = 9/4, qui est au-dessus de 2, mais une démonstration montre qu'aucune fraction ne tombe exactement dessus. La racine carrée d'un carré parfait est un entier, donc $\sqrt{49}$√49 vaut 7, et la racine carrée de $\frac{9}{4}$9/4 est $\frac{3}{2}$3/2. Un long décimal sur une calculatrice ne prouve pas non plus qu'un nombre est irrationnel, parce que l'écran s'arrête après quelques chiffres. Ce qui décide, c'est si le nombre peut s'écrire exactement comme un entier divisé par un autre.

La racine carrée de deux est irrationnelle prouve qu'au moins un tel nombre existe, encore par l'absurde. Écrivez $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b sous forme irréductible. Élever au carré donne $a^2=2b^2$a² = 2b², donc $a^2$a² est pair, donc a est pair. Écrivez a = 2c et la même équation devient $b^2=2c^2$b² = 2c², donc b est pair aussi. Mais une fraction irréductible ne peut pas avoir ses deux parties paires. L'hypothèse est impossible, donc une telle fraction n'existe pas.

Deux idées plus anciennes complètent la branche. Les fractions égyptiennes et l'algorithme glouton regarde une notation qui n'autorisait que les fractions unitaires — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — et la méthode gloutonne qui termine toujours, un vrai théorème caché dans une curiosité. Les fractions continues écrit un nombre comme un emboîtement d'inverses et produit les meilleures approximations fractionnaires possibles : c'est de là que vient $\frac{355}{113}$355/113, une valeur de pi juste à sept chiffres avec des nombres à trois chiffres.

Les trois erreurs qui méritent un nom

• Appeler 1 premier. Il est exclu exprès : si 1 était premier, la décomposition en facteurs premiers cesserait d'être unique, puisqu'on pourrait coller autant de 1 qu'on veut.
• Confondre les deux listes. Les diviseurs sont en nombre fini et se tiennent sous le nombre ; les multiples sont infinis et se tiennent au-dessus.
• Lire 0.999… comme « juste en dessous de 1 ». Un décimal périodique n'est pas un nombre qui rampe vers une limite ; c'est la limite, écrite.

La suite du chemin

Les diviseurs sont le moteur sous l'arithmétique des fractions — voyez fractions, équivalence et nombres fractionnaires — et la question s'arrête-ou-se-répète passe le relais directement au guide des décimaux. Puissances, racines et radicaux poursuivent le fil irrationnel dans expressions algébriques, exposants et radicaux.