Diviseurs, multiples et théorie des nombres
Dès que l'on sait diviser, une question suit immédiatement : quelles divisions tombent juste ? Tout ce qui se trouve sur cette page répond à cette question, de l'enfant de sept ans qui range des jetons en lignes égales jusqu'à la preuve que les nombres premiers ne s'épuisent jamais.
C'est aussi la branche la plus pratique de l'arithmétique qui n'ait pas l'air pratique. Simplifier une fraction est une question de diviseurs. Deux bus qui partent ensemble et se retrouvent est une question de multiples. Qu'un décimal s'arrête ou se répète pour toujours est entièrement réglé par les facteurs premiers du dénominateur.
Qu'est-ce qu'un diviseur, et qu'est-ce qu'un multiple ?
Un diviseur divise un nombre exactement ; un multiple est ce qu'on obtient en le multipliant. Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 et la liste s'arrête là. Les multiples de 12 sont 12, 24, 36, 48, … et cette liste-là ne finit jamais.
Diviser sans reste est l'endroit où « exactement » se précise — pas de reste, rien qui traîne — et Les diviseurs et Les multiples nomment les deux directions. Les paires de diviseurs est celle qui rend la recherche fiable : les diviseurs viennent par paires dont le produit fait le nombre, alors chercher ceux de 12 revient à vérifier 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 puis s'arrêter, parce qu'ensuite les paires se répètent dans l'autre sens.
La divisibilité sans diviser
Les critères de divisibilité rassemble les tests qui répondent à « est-ce que ça tombe juste ? » plus vite que la division elle-même.
| Diviseur | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | le dernier chiffre est pair | 4 718 ✓ |
| 3 | la somme des chiffres est un multiple de 3 | ✓ |
| 4 | les deux derniers chiffres se divisent par 4 | ✓ |
| 5 | se termine par 0 ou 5 | 4 715 ✓ |
| 9 | la somme des chiffres est un multiple de 9 | ✓ |
Les critères par somme des chiffres sont les intéressants, et ils ne doivent rien au hasard : chaque puissance de dix laisse un reste de 1 quand on la divise par 9, donc un nombre et la somme de ses chiffres laissent le même reste. Ce fait vaut plus que le critère — La preuve par neuf en fait un moyen de vérifier une longue multiplication en deux secondes, et L'arithmétique modulaire sur un cadran est l'idée générale derrière : une arithmétique où l'on ne garde que le reste, celle qui fait tourner horloges, calendriers et sommes de contrôle.
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un premier est un entier au-dessus de 1 dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Ce sont les nombres impossibles à casser, ce qui en fait la matière première dont tout le reste est construit.
Le crible d'Ératosthène est la plus vieille façon de les trouver, et c'est un véritablement bon algorithme plutôt qu'une curiosité de classe : écrivez les nombres, gardez 2 et barrez chaque multiple ultérieur de 2, gardez 3 et barrez ses multiples, et continuez. Ce qui survit est premier, et vous n'avez testé la divisibilité d'aucun nombre.
La décomposition en facteurs premiers est la récompense. Tout entier au-dessus de 1 se casse en premiers d'exactement une façon — — et cette empreinte unique est ce qui fait fonctionner la section suivante.
PGCD ou PPCM — lequel vous faut-il ?
Demandez si vous découpez quelque chose ou si vous l'assemblez. Découper en parts égales demande le plus grand commun diviseur ; attendre que deux cycles se réalignent demande le plus petit commun multiple.
Les diviseurs communs et Le plus grand commun diviseur prennent la première direction : le plus grand nombre qui divise les deux. 12 et 18 partagent 1, 2, 3 et 6, donc le PGCD est 6 — le plus grand plateau dans lequel les deux piles se rangent sans trou.
Les multiples communs et Le plus petit commun multiple prennent l'autre : le plus petit nombre que les deux divisent. 12 et 18 se rencontrent d'abord en 36 — la première fois qu'un bus de 12 minutes et un bus de 18 minutes repartent ensemble.
Choisir entre PGCD et PPCM existe parce que l'arithmétique est rarement la partie difficile ; choisir le bon depuis un énoncé l'est. Les décompositions en facteurs premiers répondent aux deux à la fois : prenez la plus basse puissance de chaque premier partagé pour le PGCD, la plus haute puissance de chaque premier pour le PPCM.
PGCD et PPCM depuis les décompositions
Pour les nombres trop grands pour lister leurs diviseurs, les décompositions font le travail. Écrivez les deux en produits de premiers, puis lisez les deux réponses sur la même paire de lignes.
et .
- PGCD : la plus basse puissance de chaque premier qu'ils partagent — 2 × 3 = 6. Seuls comptent les premiers présents dans les deux, et c'est pourquoi 5 et 7 sont ignorés.
- PPCM : la plus haute puissance de chaque premier présent dans l'un ou l'autre — .
Une vérification utile en découle : multipliez le PGCD par le PPCM et vous obtenez le produit des deux nombres de départ, à chaque fois. 6 × 1 260 = 7 560 = 84 × 90. Chaque premier est compté une fois à sa puissance basse et une fois à sa haute, ce qui fait entre les deux exactement le compte des deux nombres.
Les premiers s'épuisent-ils un jour ?
Non, et la preuve est assez courte pour tenir dans la tête. La preuve d'Euclide que les premiers ne s'épuisent jamais fonctionne ainsi : supposez une liste complète de tous les premiers. Multipliez-les tous ensemble et ajoutez un. Le nouveau nombre laisse un reste de 1 quand on le divise par chaque premier de la liste — or tout nombre au-dessus de 1 a un facteur premier quelconque. Il existe donc un premier absent de la liste, et la liste n'a jamais été complète.
Quelles fractions ont un décimal qui s'arrête ?
Celles dont le dénominateur, sous forme irréductible, n'est bâti que de 2 et de 5. C'est toute la règle, et Pourquoi toute fraction s'arrête ou se répète en donne la raison : nos décimaux sont bâtis sur dix, dix vaut 2 × 5, et seul un dénominateur qui divise une puissance de dix se réécrit en dixièmes, centièmes ou millièmes. 1/8 = 0.125 s'arrête ; ne peut pas.
La répétition est aussi garantie plutôt que simplement probable : diviser par 7 ne peut laisser que les restes 1 à 6, donc en sept étapes au plus un reste doit se répéter, et dès qu'un reste se répète, les chiffres aussi.
Changer les décimaux périodiques en fractions déroule le procédé à l'envers avec une seule astuce — multipliez par une puissance de dix pour aligner le bloc répété avec lui-même, puis soustrayez. x = 0.272727…, donc 100x = 27.2727…, et 99x = 27, ce qui donne x = 27/99 = 3/11.
La même soustraction règle la dispute que les gens entretiennent sur Pourquoi 0.999… vaut exactement un : x = 0.999…, 10x = 9.999…, donc 9x = 9 et x = 1. Pas presque un. Il n'y a aucun nombre entre les deux, et deux nombres sans rien entre eux sont un seul nombre.
Qu'est-ce qu'un nombre irrationnel ?
Un nombre qui ne peut pas du tout s'écrire comme fraction d'entiers. Nombres rationnels et irrationnels trace la ligne : toute fraction a un décimal qui s'arrête ou se répète, donc tout décimal qui ne fait ni l'un ni l'autre est entièrement hors des fractions.
La racine carrée de deux est irrationnelle prouve qu'au moins un tel nombre existe, encore par l'absurde. Écrivez √2 = a/b sous forme irréductible. Élever au carré donne a² = 2b², donc a² est pair, donc a est pair. Écrivez a = 2c et la même équation devient b² = 2c², donc b est pair aussi. Mais une fraction irréductible ne peut pas avoir ses deux parties paires. L'hypothèse est impossible, donc une telle fraction n'existe pas.
Deux idées plus anciennes complètent la branche. Les fractions égyptiennes et l'algorithme glouton regarde une notation qui n'autorisait que les fractions unitaires — — et la méthode gloutonne qui termine toujours, un vrai théorème caché dans une curiosité. Les fractions continues écrit un nombre comme un emboîtement d'inverses et produit les meilleures approximations fractionnaires possibles : c'est de là que vient , une valeur de pi juste à sept chiffres avec des nombres à trois chiffres.
Les trois erreurs qui méritent un nom
- Appeler 1 premier. Il est exclu exprès : si 1 était premier, la décomposition en facteurs premiers cesserait d'être unique, puisqu'on pourrait coller autant de 1 qu'on veut.
- Confondre les deux listes. Les diviseurs sont en nombre fini et se tiennent sous le nombre ; les multiples sont infinis et se tiennent au-dessus.
- Lire 0.999… comme « juste en dessous de 1 ». Un décimal périodique n'est pas un nombre qui rampe vers une limite ; c'est la limite, écrite.
La suite du chemin
Les diviseurs sont le moteur sous l'arithmétique des fractions — voyez fractions, équivalence et nombres fractionnaires — et la question s'arrête-ou-se-répète passe le relais directement au guide des décimaux. Puissances, racines et radicaux poursuivent le fil irrationnel dans expressions algébriques, exposants et radicaux.
S'entraîner dans le jeu
Math Challenge enseigne chaque étape ci-dessus comme une leçon illustrée — le crible en grille que l'on regarde se remplir, le PGCD en liste de diviseurs partagés, la preuve d'Euclide déroulée ligne par ligne — au sein d'un catalogue de plus de 800 leçons. Pour l'entraînement, le thème PGCD et PPCM et le thème Nombres premiers font tourner la reconnaissance jusqu'à ce qu'elle soit rapide.
À vous de jouer
Trois à essayer — touchez ce que vous trouvez.
Le plus grand commun diviseur de 12 et 18
Lequel de ces nombres est premier ?
Le plus petit commun multiple de 4 et 6