Factores, múltiplos y teoría de números

Actualizado 13 de octubre de 2026

En cuanto sabes dividir, una pregunta llega de inmediato: ¿qué divisiones salen exactas? Todo lo que hay en esta página es una respuesta a esa pregunta, desde un niño de siete años ordenando fichas en filas iguales hasta una prueba de que los primos no se acaban nunca.

Es además la rama más práctica de la aritmética que no parece práctica. Simplificar una fracción es una pregunta de factores. Dos autobuses que salen juntos y vuelven a coincidir es una pregunta de múltiplos. Que un decimal se pare o se repita para siempre lo deciden por completo los factores primos del denominador.

¿Qué es un factor, y qué es un múltiplo?

Un factor de un número lo divide exactamente, y un múltiplo es ese número multiplicado por un entero. Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10, 20 y ahí acaba la lista, ya que ningún factor es mayor que el número. Los múltiplos de 20 son 20, 40, 60, 80, … y esa lista no acaba nunca. Las dos palabras miran en direcciones opuestas: 4 × 5 = 20, así que 4 es un factor de 20 y 20 es un múltiplo de 4. Los factores vienen en parejas que se multiplican para dar el número, así que busca subiendo desde 1 y para cuando las parejas empiecen a repetirse. Un número cuadrado tiene una pareja hecha de un número por sí mismo, como 36 = 6 × 6, así que tiene un número impar de factores. Las reglas de divisibilidad ahorran probar cada número. Multiplicar cada pareja de vuelta comprueba la lista: 1 × 20, 2 × 10 y 4 × 5 dan todos 20.

Dividir exacto es donde "exacto" queda clavado — sin resto, sin nada que sobre — y Factores y Múltiplos nombran las dos direcciones. Parejas de factores es la que hace fiable encontrarlos: los factores vienen en parejas que multiplicadas dan el número, así que buscar los de 12 es comprobar 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 y parar, porque a partir de ahí las parejas se repiten en el otro orden.

Divisibilidad sin dividir

Criterios de divisibilidad reúne las comprobaciones que responden "¿cabe?" más rápido de lo que tardaría la división.

Cada prueba, con la razón por la que funciona: las reglas de divisibilidad.

Los criterios de la suma de cifras son los interesantes, y no son casualidad: cada potencia de diez deja resto 1 al dividirla entre 9, así que un número y la suma de sus cifras dejan el mismo resto. Ese hecho vale más que el criterio — La prueba del nueve para comprobar cuentas lo convierte en una forma de verificar una multiplicación larga en un par de segundos, y Aritmética modular en la esfera de un reloj es la idea general que hay detrás: aritmética donde solo se guarda el resto, que es como funcionan los relojes, los calendarios y las sumas de verificación.

¿Qué es un número primo?

Un número primo es un entero mayor que 1 cuyos únicos factores son 1 y él mismo, así que tiene exactamente dos factores. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Los demás enteros mayores que 1 son compuestos, productos de números más pequeños, como 15 = 3 × 5. Para comprobar si un número es primo, prueba a dividirlo entre los primos en orden, y para en cuanto el primo al cuadrado supere al número. Para 97, ninguno de 2, 3, 5 o 7 lo divide, y 11 × 11 = 121 es más que 97, así que 97 es primo. Puedes parar ahí porque los factores vienen en parejas, y el factor más pequeño de una pareja, multiplicado por sí mismo, nunca es mayor que el número. El 1 no es primo, ya que solo tiene un factor, y el 2 es el único primo par. Un número como 91 parece primo hasta que pruebas con el 7: 91 = 7 × 13.

La criba de Eratóstenes es la manera más antigua de encontrarlos, y es un algoritmo genuinamente bueno y no una curiosidad de aula: escribe los números, quédate el 2 y tacha cada múltiplo posterior de 2, quédate el 3 y tacha sus múltiplos, y sigue. Lo que sobrevive es primo, y no has probado la divisibilidad de un solo número.

Factorización en primos es la recompensa. Todo entero mayor que 1 se rompe en primos de exactamente una manera — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — y esa huella única es lo que hace funcionar la sección siguiente.

¿MCD o mcm — cuál necesitas?

Decide si la pregunta reparte cosas en grupos iguales o espera a que las cosas coincidan. Los grupos iguales necesitan el máximo común divisor (MCD), el número más grande que divide a ambos. Coincidir necesita el mínimo común múltiplo (mcm), el número más pequeño en el que ambos dividen. Supón que 24 cuentas rojas y 36 cuentas azules van en bolsas idénticas sin que sobre ninguna. El máximo número de bolsas que puedes llenar es el MCD, 12, y cada bolsa lleva 2 rojas y 3 azules. Si un autobús sale cada 6 minutos y otro cada 8 minutos, vuelven a salir juntos después del mcm, 24 minutos. Las palabras clave pueden despistar, así que pregunta si la respuesta debe caber en ambos números o ser alcanzada por ambos. Cuando dos números no comparten factor, el MCD es 1 y el mcm es su producto, así que 8 y 9 tienen un mcm de 72. El MCD por el mcm es igual a los dos números multiplicados, lo que comprueba ambos: 2 × 24 = 48 = 6 × 8.

Factores comunes y El máximo común divisor toman la primera dirección: el número más grande que divide a los dos. 12 y 18 comparten 1, 2, 3 y 6, así que el MCD es 6 — que es la bandeja más grande en la que caben los dos montones sin hueco.

Múltiplos comunes y El mínimo común múltiplo toman la otra: el número más pequeño en el que caben los dos. 12 y 18 se encuentran por primera vez en 36 — la primera vez que un autobús de cada 12 minutos y otro de cada 18 vuelven a salir juntos.

Elegir entre MCD y mcm existe porque la aritmética rara vez es la parte difícil; escoger el correcto en un problema con palabras sí lo es. Las factorizaciones en primos responden a los dos a la vez: toma la potencia más baja de cada primo compartido para el MCD, la más alta de cada primo para el mcm.

MCD y mcm desde las factorizaciones en primos

Para números demasiado grandes para listar sus factores, las factorizaciones hacen el trabajo. Escribe los dos como productos de primos, y lee las dos respuestas del mismo par de filas.

$84=2^2\times 3\times 7\text{y}90=2\times 3^2\times 5$84 = 2² × 3 × 7 y 90 = 2 × 3² × 5.

• MCD: la potencia más baja de cada primo que comparten — 2 × 3 = 6. Solo cuentan los primos que aparecen en los dos, y por eso el 5 y el 7 se ignoran.
• mcm: la potencia más alta de cada primo que aparece en cualquiera — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1$2² × 3² × 5 × 7 = 1,260.

De aquí cae una comprobación útil: multiplica el MCD por el mcm y obtienes el producto de los dos números originales, siempre. 6 × 1,260 = 7,560 = 84 × 90. Cada primo se está contando una vez a su potencia baja y una a la alta, que entre las dos es exactamente lo que valen los dos números.

¿Se acaban alguna vez los primos?

No, y la prueba es corta. La prueba de Euclides de que los primos no se acaban empieza suponiendo que alguien tiene una lista completa de todos los primos. Multiplica todos los primos de la lista y suma 1. El número nuevo deja resto 1 al dividirlo entre cualquier primo de la lista, así que ninguno de ellos es un factor. Pero todo entero mayor que 1 tiene un factor primo, así que falta algún primo en la lista, y ninguna lista finita puede estar completa. Con la lista 2, 3, 5 y 7, el número nuevo es 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211, que resulta ser primo. El número nuevo no tiene por qué ser primo: 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30,031 = 59 × 509. Sus factores primos siguen faltando en la lista. Y 13 × 2,310 = 30,030 confirma el resto de 1 al dividir entre 13.

¿Qué fracciones tienen decimales que se paran?

Una fracción tiene un decimal que se para cuando su denominador, en su forma irreducible, no tiene más factores primos que 2 y 5. Por qué toda fracción termina o se repite da el motivo: los decimales cuentan en décimas, centésimas y milésimas, y toda potencia de diez está construida solo con doses y cincos, ya que 10 = 2 × 5. Para $\frac{7}{20}$7/20, el denominador es 2 × 2 × 5, así que multiplica arriba y abajo por 5 para obtener $\frac{35}{100}$35/100, que son 35 centésimas. Un denominador con cualquier otro factor primo nunca puede alcanzar una potencia de diez, así que la división no acaba nunca, y las cifras se repiten en su lugar. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 se para; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… no puede. Simplifica siempre primero, porque un factor que se cancela no cuenta: $\frac{6}{15}$6/15 tiene un 3 en su denominador, pero $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5, que se para. Para comprobar un decimal que se para, escríbelo como fracción sobre una potencia de diez: $\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000.

La repetición está además garantizada y no es solo probable: dividir entre 7 solo puede dejar los restos del 1 al 6, así que en siete pasos algún resto tiene que repetirse, y en cuanto un resto se repite las cifras también.

Convertir decimales periódicos en fracciones hace el proceso al revés con un truco — multiplica por una potencia de diez para alinear el bloque que se repite consigo mismo, y resta. x = 0.272727…, así que 100x = 27.2727…, y 99x = 27, que da $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11.

La misma resta zanja la discusión que la gente tiene sobre Por qué 0.999… es exactamente uno: x = 0.999…, 10x = 9.999…, así que 9x = 9 y x = 1. No casi uno. No hay ningún número en medio, y dos números sin nada en medio son un solo número.

¿Qué es un número irracional?

Un número irracional es un número que no se puede escribir como fracción con enteros arriba y abajo. Números racionales e irracionales traza la línea usando decimales: toda fracción tiene un decimal que se para o se repite, así que un decimal que sigue para siempre sin repetirse no puede ser una fracción. Los ejemplos más conocidos son $\sqrt{2}y$√2 y pi. Ninguna fracción al cuadrado da exactamente 2. Puedes acercarte, ya que ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25, que queda justo por debajo de 2, $y{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$y (3/2)² = 9/4, que queda por encima de 2, pero una demostración muestra que ninguna fracción cae exactamente en él. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es un entero, así que $\sqrt{49}$√49 es 7, y la raíz cuadrada de $\frac{9}{4}$9/4 es $\frac{3}{2}$3/2. Un decimal largo en una calculadora tampoco demuestra que un número sea irracional, porque la pantalla se detiene tras unas pocas cifras. Lo que lo decide es si el número se puede escribir exactamente como un entero dividido entre otro.

La raíz cuadrada de dos es irracional demuestra que al menos un número así existe, y lo hace otra vez por contradicción. Escribe $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b en forma irreducible. Elevar al cuadrado da $a^2=2b^2$a² = 2b², así que $a^2$a² es par, así que a es par. Escribe a = 2c y la misma ecuación se convierte en $b^2=2c^2$b² = 2c², así que b también es par. Pero una fracción irreducible no puede tener las dos partes pares. La suposición es imposible, así que esa fracción no existe.

Dos ideas más antiguas redondean la rama. Fracciones egipcias y el algoritmo voraz mira una notación que solo permitía fracciones unitarias — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — y el método voraz que siempre termina, que es un teorema de verdad escondido en una curiosidad. Fracciones continuas escribe un número como un nido de recíprocos y produce las mejores aproximaciones fraccionarias posibles: de ahí sale $\frac{355}{113}$355/113, un valor de pi correcto hasta siete cifras con números de tres.

Los tres errores que conviene nombrar

• Llamar primo al 1. Se excluye a propósito: si el 1 fuera primo, la factorización en primos dejaría de ser única, porque podrías pegarle cualquier número de unos.
• Confundir las dos listas. Los factores son finitos y están por debajo del número; los múltiplos son infinitos y están por encima.
• Leer 0.999… como "justo por debajo de 1". Un decimal periódico no es un número arrastrándose hacia un límite; es el límite, escrito.

Adónde lleva esto

Los factores son el motor bajo la aritmética de fracciones — mira fracciones, equivalencia y números mixtos — y la pregunta de terminar-o-repetirse entrega directamente a la guía de decimales. Las potencias, raíces y radicales continúan el hilo irracional en expresiones algebraicas, índices y radicales (en inglés).