गुणनखंड, गुणज और संख्या सिद्धांत

अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

भाग देना आते ही एक सवाल फ़ौरन पीछे-पीछे आता है: कौन-से भाग ठीक-ठीक उतरते हैं? इस पन्ने की हर चीज़ उसी सवाल का उत्तर है — गोटियों को बराबर पंक्तियों में जमाते सात साल के बच्चे से लेकर इस उपपत्ति तक कि अभाज्य कभी नहीं चुकते।

यह अंकगणित की सबसे व्यावहारिक शाखा भी है जो व्यावहारिक नहीं दिखती। भिन्न को सरल करना गुणनखंड का सवाल है। साथ छूटी दो बसों का फिर मिलना गुणज का सवाल। कोई दशमलव रुकता है या हमेशा दोहराता है — इसका फ़ैसला पूरी तरह हर के अभाज्य गुणनखंड करते हैं।

गुणनखंड क्या है, और गुणज क्या?

किसी संख्या का गुणनखंड उसे ठीक-ठीक बाँटता है, और गुणज वह संख्या किसी पूर्ण संख्या से गुणा करने पर मिलती है। 20 के गुणनखंड हैं 1, 2, 4, 5, 10 और 20, और सूची यहीं रुक जाती है, क्योंकि कोई गुणनखंड संख्या से बड़ा नहीं होता। 20 के गुणज हैं 20, 40, 60, 80 और आगे भी, और वह सूची कभी ख़त्म नहीं होती। दोनों शब्द विपरीत दिशा में देखते हैं: 4 × 5 = 20, तो 4, 20 का गुणनखंड है और 20, 4 का गुणज है। गुणनखंड जोड़ियों में आते हैं जो गुणा होकर संख्या बनाती हैं, तो 1 से ऊपर की ओर खोजिए और रुक जाइए जब जोड़ियाँ दोहराने लगें। किसी वर्ग संख्या की एक जोड़ी किसी संख्या के अपने आप से गुणा से बनती है, जैसे 36 = 6 × 6, तो उसके गुणनखंडों की संख्या विषम होती है। विभाज्यता के नियम हर संख्या आज़माने से बचा लेते हैं। हर जोड़ी को पीछे गुणा करना सूची जाँचता है: 1 × 20, 2 × 10 और 4 × 5, सब 20 बनाते हैं।

ठीक-ठीक भाग वह जगह है जहाँ “ठीक-ठीक” की गाँठ बँधती है — कोई शेष नहीं, कुछ बचा नहीं — और गुणनखंड तथा गुणज दोनों दिशाओं के नाम रखते हैं। गुणनखंडों की जोड़ियाँ वह पाठ है जो उन्हें ढूँढ़ना भरोसेमंद बनाता है: गुणनखंड ऐसी जोड़ियों में आते हैं जिनका गुणनफल वही संख्या है, तो 12 की खोज का मतलब है 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 जाँचकर रुक जाना — उसके बाद जोड़ियाँ उलटे क्रम में दोहराती हैं।

बिना भाग दिए विभाज्यता

विभाज्यता जाँचें वे परखें इकट्ठा करता है जो “यह जाएगा क्या?” का उत्तर भाग देने से तेज़ देती हैं।

हर परीक्षण, और वह क्यों काम करता है: विभाज्यता के नियम।

अंक-योग वाली जाँचें ही दिलचस्प हैं, और वे इत्तिफ़ाक़ नहीं हैं: दस की हर घात 9 से भाग देने पर शेष 1 छोड़ती है, तो संख्या और उसके अंक-योग का शेष एक ही होता है। यह तथ्य जाँच से ज़्यादा क़ीमती है — नौ निकालकर अंकगणित जाँचना उसे लंबे गुणा को पल-दो-पल में जाँचने का तरीक़ा बना देता है, और घड़ी के मुख पर मॉड्युलर अंकगणित उसके पीछे का आम विचार है: ऐसा अंकगणित जिसमें सिर्फ़ शेष रखा जाता है — घड़ियाँ, कैलेंडर और चेकसम सब ऐसे ही चलते हैं।

अभाज्य संख्या क्या है?

अभाज्य संख्या 1 से बड़ी वह पूर्ण संख्या है जिसके गुणनखंड सिर्फ़ 1 और वह ख़ुद हैं, तो उसके ठीक दो गुणनखंड होते हैं। पहली अभाज्य संख्याएँ हैं 2, 3, 5, 7, 11 और 13। 1 से ऊपर की बाक़ी पूर्ण संख्याएँ भाज्य हैं, छोटी संख्याओं के गुणनफल, जैसे 15 = 3 × 5। किसी संख्या के अभाज्य होने की जाँच के लिए, उसे क्रम से अभाज्य संख्याओं से भाग देकर देखिए, और रुक जाइए जब अभाज्य का वर्ग संख्या से बड़ा हो जाए। 97 के लिए, 2, 3, 5 या 7 में से कोई इसे नहीं बाँटता, और 11 × 11 = 121, 97 से ज़्यादा है, तो 97 अभाज्य है। आप वहीं रुक सकते हैं क्योंकि गुणनखंड जोड़ियों में आते हैं, और किसी जोड़ी का छोटा गुणनखंड, अपने आप से गुणा होकर, कभी संख्या से बड़ा नहीं होता। 1 अभाज्य नहीं है, क्योंकि उसका सिर्फ़ एक गुणनखंड है, और 2 इकलौती सम अभाज्य संख्या है। 91 जैसी संख्या अभाज्य लगती है जब तक आप 7 न आज़माएँ: 91 = 7 × 13।

एराटोस्थनीज़ की छलनी उन्हें ढूँढ़ने का सबसे पुराना तरीक़ा है, और यह कक्षा का कौतूहल नहीं, सचमुच अच्छी कलनविधि है: संख्याएँ लिख डालिए, 2 रखकर उसके बाद के हर गुणज पर लकीर फेरिए, 3 रखकर उसके गुणजों पर, और चलते रहिए। जो बच जाए वह अभाज्य है — और आपने एक भी संख्या की विभाज्यता नहीं जाँची।

अभाज्य गुणनखंडन इसका फल है। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या ठीक एक ही तरह से अभाज्यों में टूटती है — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — और यही अनोखी उँगली-छाप अगले खंड को चलाती है।

म.स.प. या ल.स.प. — चाहिए कौन-सा?

तय कीजिए कि सवाल चीज़ों को बराबर समूहों में तोड़ता है या चीज़ों के फिर मिलने का इंतज़ार करता है। बराबर समूहों को चाहिए महत्तम समापवर्तक (म.स.), वह सबसे बड़ी संख्या जो दोनों को बाँटती है। फिर मिलने को चाहिए लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.), वह सबसे छोटी संख्या जिसमें दोनों बँटती हैं। मान लीजिए 24 लाल मनके और 36 नीले मनके एक जैसे थैलों में बिना कुछ बचाए भरने हैं। जितने थैले आप भर सकते हैं वह म.स. है, 12, और हर थैले में 2 लाल और 3 नीले मनके होंगे। अगर एक बस हर 6 मिनट में निकलती है और दूसरी हर 8 मिनट में, तो वे अगली बार साथ ल.स. के बाद निकलेंगी, यानी 24 मिनट बाद। संकेत-शब्द भटका सकते हैं, तो पूछिए कि क्या उत्तर को दोनों संख्याओं में समाना है या दोनों तक पहुँचना है। जब दो संख्याओं का कोई गुणनखंड साझा न हो, तो म.स. 1 होता है और ल.स. उनका गुणनफल होता है, तो 8 और 9 का ल.स. 72 है। म.स. गुणा ल.स., दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है, जो दोनों को जाँचता है: 2 × 24 = 48 = 6 × 8।

समापवर्तक और महत्तम समापवर्तक पहली दिशा लेते हैं: दोनों को बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या। 12 और 18 में 1, 2, 3 और 6 साझा हैं, तो म.स.प. 6 है — वही सबसे बड़ी थाली जिसमें दोनों ढेर बिना कोई जगह छोड़े जम जाते हैं।

समापवर्त्य और लघुत्तम समापवर्त्य दूसरी दिशा: सबसे छोटी संख्या जिसमें दोनों समाते हैं। 12 और 18 पहली बार 36 पर मिलते हैं — 12 मिनट वाली और 18 मिनट वाली बस का पहली बार फिर साथ छूटना।

म.स.प. और ल.स.प. में चुनाव इसलिए है कि मुश्किल हिस्सा अंकगणित कम ही होता है; इबारती सवाल से सही वाला चुनना होता है। अभाज्य गुणनखंडन दोनों का उत्तर एक साथ देता है: म.स.प. के लिए हर साझा अभाज्य की सबसे नीची घात लीजिए, ल.स.प. के लिए हर अभाज्य की सबसे ऊँची।

अभाज्य गुणनखंडन से म.स.प. और ल.स.प.

जिन संख्याओं के गुणनखंड गिनाना भारी हो, उनके लिए गुणनखंडन काम कर देता है। दोनों को अभाज्यों के गुणनफल में लिखिए, फिर उसी जोड़ी पंक्तियों से दोनों उत्तर पढ़ लीजिए।

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 और $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• म.स.प.: हर साझा अभाज्य की सबसे नीची घात — 2 × 3 = 6। सिर्फ़ दोनों में आने वाले अभाज्य गिनते हैं — 5 और 7 इसीलिए छूट जाते हैं।
• ल.स.प.: दोनों में से किसी में भी आए हर अभाज्य की सबसे ऊँची घात — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1$2² × 3² × 5 × 7 = 1,260।

इसी से एक काम की जाँच गिरती है: म.स.प. को ल.स.प. से गुणा कीजिए और हर बार दोनों मूल संख्याओं का गुणनफल मिलेगा। 6 × 1,260 = 7,560 = 84 × 90. हर अभाज्य एक बार अपनी नीची घात पर गिना जा रहा है और एक बार ऊँची पर — जो मिलकर ठीक दोनों संख्याओं जितना है।

क्या अभाज्य कभी चुकते हैं?

नहीं, और उपपत्ति छोटी है। यूक्लिड की उपपत्ति कि अभाज्य कभी नहीं चुकते यह मानकर शुरू होती है कि किसी के पास हर अभाज्य की पूरी सूची है। सूची के सारे अभाज्यों को आपस में गुणा करके 1 जोड़िए। नई संख्या सूची के किसी भी अभाज्य से भाग देने पर शेष 1 छोड़ती है, तो उनमें से कोई भी उसका गुणनखंड नहीं है। पर 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या का कोई अभाज्य गुणनखंड होता है, तो कोई अभाज्य सूची से छूट गया है, और कोई भी सीमित सूची पूरी नहीं हो सकती। सूची 2, 3, 5 और 7 के साथ, नई संख्या है 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211, जो ख़ुद अभाज्य निकलती है। नई संख्या का अभाज्य होना ज़रूरी नहीं: 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30,031 = 59 × 509। इसके अभाज्य गुणनखंड तब भी सूची से छूटे हुए हैं। और 13 × 2,310 = 30,030, 13 से भाग देने पर शेष 1 की पुष्टि करता है।

किन भिन्नों के दशमलव रुक जाते हैं?

किसी भिन्न का दशमलव तब रुकता है जब उसका हर, सरलतम रूप में, 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड न रखे। हर भिन्न क्यों रुकती या दोहराती है कारण देता है: दशमलव दशांश, शतांश और सहस्रांश में गिनते हैं, और दस की हर घात सिर्फ़ 2 और 5 से बनी होती है, क्योंकि 10 = 2 × 5। $\frac{7}{20}$7/20 के लिए, हर है 2 × 2 × 5, तो अंश और हर को 5 से गुणा करके $\frac{35}{100}$35/100 पाइए, यानी 35 शतांश। कोई भी दूसरा अभाज्य गुणनखंड रखने वाला हर कभी दस की किसी घात तक नहीं पहुँच सकता, तो भाग कभी ख़त्म नहीं होता, और अंक इसकी जगह दोहराते हैं। $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 रुक जाता है; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… नहीं रुक सकता. हमेशा पहले सरल कीजिए, क्योंकि कटने वाला गुणनखंड नहीं गिना जाता: $\frac{6}{15}$6/15 के हर में एक 3 है, पर $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5, जो रुक जाता है। किसी रुकने वाले दशमलव की जाँच के लिए, उसे दस की किसी घात पर भिन्न की तरह लिखिए: $\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000।

दोहराव भी महज़ मुमकिन नहीं, पक्का है: 7 से भाग देने पर शेष सिर्फ़ 1 से 6 तक आ सकते हैं, तो सात क़दमों के भीतर कोई शेष दोहराएगा — और शेष दोहराया कि अंक भी।

आवर्ती दशमलव से भिन्न यही क्रिया एक तरकीब से उलटी चलाता है — दस की घात से गुणा करके दोहराते खंड को ख़ुद उसी की सीध में लाइए, फिर घटा दीजिए। x = 0.272727…, तो 100x = 27.2727…, और 99x = 27, यानी $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11.

वही घटाव उस बहस का फ़ैसला करता है जो लोग 0.999… ठीक एक क्यों है पर करते हैं: x = 0.999…, 10x = 9.999…, तो 9x = 9 और x = 1। लगभग एक नहीं। बीच में कोई संख्या नहीं है, और जिन दो संख्याओं के बीच कुछ नहीं, वे एक ही संख्या हैं।

अपरिमेय संख्या क्या है?

अपरिमेय संख्या वह संख्या है जो ऊपर और नीचे पूर्ण संख्याओं वाली भिन्न के रूप में नहीं लिखी जा सकती। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ दशमलवों से लकीर खींचता है: हर भिन्न का दशमलव या तो रुकता है या दोहराता है, तो जो दशमलव बिना दोहराए हमेशा चलता रहे, वह भिन्न नहीं हो सकता। सबसे मशहूर उदाहरण हैं $\sqrt{2}$√2 और $\pi$π। कोई भिन्न वर्ग करने पर ठीक 2 नहीं बनती। आप क़रीब पहुँच सकते हैं, क्योंकि ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25, जो 2 से बस थोड़ा नीचे है, और ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$(3/2)² = 9/4, जो 2 से ऊपर है, पर एक उपपत्ति दिखाती है कि कोई भिन्न ठीक उस पर नहीं बैठती। किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है, तो $\sqrt{49}$√49 यानी 7, और $\frac{9}{4}$9/4 का वर्गमूल है $\frac{3}{2}$3/2। कैलकुलेटर पर एक लंबा दशमलव भी यह साबित नहीं करता कि कोई संख्या अपरिमेय है, क्योंकि स्क्रीन कुछ अंकों के बाद रुक जाती है। इसे तय करने वाली बात यह है कि क्या संख्या को ठीक-ठीक एक पूर्ण संख्या को दूसरी से भाग देकर लिखा जा सकता है।

दो का वर्गमूल अपरिमेय है सिद्ध करता है कि ऐसी कम से कम एक संख्या है — फिर से अंतर्विरोध से। $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b सरलतम रूप में लिखिए। वर्ग करने पर $a^2=2b^2$a² = 2b², तो $a^2$a² सम है, तो a सम है। a = 2c लिखिए और वही समीकरण $b^2=2c^2$b² = 2c² बन जाता है, तो b भी सम। पर सरलतम रूप की भिन्न में दोनों हिस्से सम नहीं हो सकते। मान्यता नामुमकिन है, तो ऐसी कोई भिन्न नहीं।

दो पुराने विचार शाखा को पूरा करते हैं। मिस्री भिन्नें और लालची कलनविधि उस लिखावट को देखता है जिसमें सिर्फ़ इकाई-भिन्नों की इजाज़त थी — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — और उस लालची विधि को जो हमेशा रुक जाती है: कौतूहल में छिपी एक असली प्रमेय। सतत भिन्नें संख्या को व्युत्क्रमों के घोंसले में लिखती हैं और सबसे अच्छे भिन्नात्मक सन्निकटन देती हैं: $\frac{355}{113}$355/113 यहीं से आता है — तीन-तीन अंकों की संख्याओं से $\pi$π का सात अंकों तक सही मान।

तीन ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• 1 को अभाज्य कहना। उसे जान-बूझकर बाहर रखा गया है: 1 अभाज्य होता तो अभाज्य गुणनखंडन अनोखा रहना बंद कर देता — जितने चाहें 1 चिपकाए जा सकते।
• दोनों सूचियाँ गड्डमड्ड करना। गुणनखंड परिमित हैं और संख्या के नीचे बैठते हैं; गुणज अनंत हैं और ऊपर।
• 0.999… को “1 से ज़रा नीचे” पढ़ना। आवर्ती दशमलव किसी सीमा की ओर सरकती संख्या नहीं है; वह सीमा ही है, लिखी हुई।

यह आगे कहाँ ले जाता है

गुणनखंड भिन्न अंकगणित के नीचे का इंजन हैं — देखिए भिन्न, तुल्यता और मिश्र भिन्न — और रुकने-दोहराने वाला सवाल सीधे दशमलव की गाइड को थमा दिया जाता है। घातें, मूल और करणी अपरिमेय धागे को बीजीय व्यंजक, घातांक और करणी (अंग्रेज़ी में) में आगे बढ़ाते हैं।