Faktor, kelipatan, dan teori bilangan

Diperbarui 13 Oktober 2026

Begitu kamu bisa membagi, satu pertanyaan langsung menyusul: pembagian mana yang keluar persis? Semua di halaman ini adalah jawaban atas pertanyaan itu, dari anak tujuh tahun yang menata keping ke dalam baris sama banyak sampai bukti bahwa bilangan prima tak pernah habis.

Ia juga cabang aritmetika paling praktis yang tak tampak praktis. Menyederhanakan pecahan adalah pertanyaan faktor. Dua bus yang berangkat bersama lalu bertemu lagi adalah pertanyaan kelipatan. Apakah sebuah desimal berhenti atau berulang selamanya diputuskan sepenuhnya oleh faktor prima penyebutnya.

Apa itu faktor, dan apa itu kelipatan?

Faktor dari sebuah bilangan membaginya sampai habis, dan kelipatan adalah bilangan itu dikali sebuah bilangan bulat. Faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10 dan 20, dan daftarnya berhenti di situ, karena tak ada faktor yang lebih besar dari bilangannya. Kelipatan 20 adalah 20, 40, 60, 80 dan seterusnya, dan daftar itu tak pernah berakhir. Kedua kata itu menghadap arah berlawanan: 4 × 5 = 20, jadi 4 adalah faktor dari 20 dan 20 adalah kelipatan dari 4. Faktor datang berpasangan yang saling dikalikan menjadi bilangannya, jadi carilah naik dari 1 dan berhenti ketika pasangannya mulai berulang. Sebuah bilangan kuadrat punya satu pasangan berupa bilangan dikali dirinya sendiri, seperti 36 = 6 × 6, jadi ia punya jumlah faktor yang ganjil. Aturan habis bagi menghemat usaha mencoba setiap bilangan. Mengalikan kembali tiap pasangan memeriksa daftarnya: 1 × 20, 2 × 10 dan 4 × 5 semuanya menghasilkan 20.

Habis Dibagi adalah tempat kata "habis" dipastikan artinya — tanpa sisa, tak ada yang tertinggal — dan Faktor serta Kelipatan menamai dua arahnya. Pasangan Faktor adalah yang membuat pencariannya andal: faktor datang berpasangan yang hasil kalinya bilangan itu, jadi memburu faktor 12 berarti memeriksa 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 lalu berhenti, karena setelah itu pasangannya berulang dengan urutan terbalik.

Keterbagian tanpa membagi

Ciri Habis Dibagi mengumpulkan pemeriksaan yang menjawab "apakah ini habis?" lebih cepat daripada pembagiannya sendiri.

Setiap uji, beserta alasan uji itu berlaku: aturan keterbagian.

Ciri jumlah-angka adalah yang menarik, dan bukan kebetulan: setiap pangkat sepuluh bersisa 1 saat dibagi 9, jadi sebuah bilangan dan jumlah angkanya menyisakan sisa yang sama. Fakta itu lebih berharga daripada cirinya — Membuang Sembilan untuk Memeriksa Hitungan mengubahnya menjadi cara memeriksa perkalian panjang dalam hitungan detik, dan Aritmetika Modular di Muka Jam adalah gagasan umum di baliknya: aritmetika yang hanya menyimpan sisa, cara kerja jam, kalender, dan angka pemeriksa.

Apa itu bilangan prima?

Bilangan prima adalah bilangan bulat lebih besar dari 1 yang faktornya hanya 1 dan dirinya sendiri, jadi ia punya tepat dua faktor. Prima pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11 dan 13. Bilangan bulat lain di atas 1 adalah bilangan komposit, hasil kali bilangan yang lebih kecil, seperti 15 = 3 × 5. Untuk menguji apakah sebuah bilangan prima, coba bagi dengan bilangan prima secara berurutan, dan berhenti begitu kuadrat prima itu lebih besar daripada bilangannya. Untuk 97, tak satu pun dari 2, 3, 5, atau 7 membaginya, dan 11 × 11 = 121 lebih besar daripada 97, jadi 97 adalah prima. Kamu bisa berhenti di situ karena faktor datang berpasangan, dan faktor yang lebih kecil dalam sebuah pasangan, dikalikan dengan dirinya sendiri, tak pernah lebih besar daripada bilangannya. Bilangan 1 bukan prima, karena ia hanya punya satu faktor, dan 2 adalah satu-satunya prima genap. Bilangan seperti 91 terlihat seperti prima sampai kamu mencoba 7: 91 = 7 × 13.

Saringan Eratosthenes adalah cara tertua menemukannya, dan ia algoritma yang sungguh bagus, bukan pajangan kelas: tulis bilangan-bilangannya, simpan 2 lalu coret setiap kelipatan 2 sesudahnya, simpan 3 lalu coret kelipatannya, dan teruskan. Yang selamat itulah prima, dan kamu tak pernah menguji keterbagian satu bilangan pun.

Faktorisasi Prima adalah imbalannya. Setiap bilangan bulat di atas 1 terurai menjadi prima dengan tepat satu cara — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — dan sidik jari yang unik itulah yang membuat bagian berikutnya bekerja.

FPB atau KPK — mana yang kamu butuhkan?

Tentukan apakah pertanyaannya memecah sesuatu menjadi kelompok sama besar atau menunggu sesuatu sejajar. Kelompok sama besar butuh faktor persekutuan terbesar (FPB), bilangan terbesar yang membagi keduanya. Menyejajarkan butuh kelipatan persekutuan terkecil (KPK), bilangan terkecil yang keduanya bagi ke dalamnya. Misalkan 24 manik merah dan 36 manik biru dimasukkan ke kantong-kantong identik tanpa sisa. Kantong terbanyak yang bisa kamu isi adalah FPB, 12, dan tiap kantong berisi 2 merah dan 3 biru. Jika satu bus berangkat tiap 6 menit dan satu lagi tiap 8 menit, keduanya berikutnya berangkat bersama setelah KPK, 24 menit. Kata kunci bisa menyesatkan, jadi tanyakan apakah jawabannya harus muat ke kedua bilangan atau dicapai oleh keduanya. Ketika dua bilangan tak berbagi faktor, FPB-nya 1 dan KPK-nya adalah hasil kalinya, jadi 8 dan 9 punya KPK 72. FPB dikali KPK sama dengan kedua bilangan itu dikalikan, yang memeriksa keduanya: 2 × 24 = 48 = 6 × 8.

Faktor Persekutuan dan Faktor Persekutuan Terbesar mengambil arah pertama: bilangan terbesar yang membagi keduanya. 12 dan 18 berbagi 1, 2, 3, dan 6, jadi FPB-nya 6 — nampan terbesar yang memuat kedua tumpukan tanpa celah.

Kelipatan Persekutuan dan Kelipatan Persekutuan Terkecil mengambil arah lain: bilangan terkecil yang bisa dibagi keduanya. 12 dan 18 pertama bertemu di 36 — kali pertama bus 12 menit dan bus 18 menit berangkat bersama lagi.

Memilih FPB atau KPK ada karena aritmetikanya jarang jadi bagian sulit; memilih yang benar dari soal cerita itulah yang sulit. Faktorisasi prima menjawab keduanya sekaligus: ambil pangkat terendah tiap prima yang sama-sama dimiliki untuk FPB, pangkat tertinggi setiap prima untuk KPK.

FPB dan KPK dari faktorisasi prima

Untuk bilangan yang terlalu besar untuk didaftar faktornya, faktorisasinya yang bekerja. Tulis keduanya sebagai hasil kali prima, lalu baca kedua jawaban dari sepasang baris yang sama.

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 dan $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• FPB: pangkat terendah tiap prima yang mereka bagi bersama — 2 × 3 = 6. Hanya prima yang muncul di keduanya yang dihitung, itulah sebabnya 5 dan 7 diabaikan.
• KPK: pangkat tertinggi setiap prima yang muncul di salah satunya — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1260$2² × 3² × 5 × 7 = 1260.

Sebuah pemeriksaan berguna jatuh dari sini: kalikan FPB dengan KPK dan kamu mendapat hasil kali kedua bilangan aslinya, selalu. 6 × 1260 = 7560 = 84 × 90. Tiap prima dihitung sekali pada pangkat rendahnya dan sekali pada pangkat tingginya, yang bila digabung tepat senilai kedua bilangan itu.

Apakah bilangan prima pernah habis?

Tidak, dan buktinya pendek. Bukti Euklides bahwa Bilangan Prima Tak Pernah Habis dimulai dengan mengandaikan seseorang punya daftar lengkap semua bilangan prima. Kalikan semua prima di daftar itu bersama-sama dan tambahkan 1. Bilangan baru itu bersisa 1 saat dibagi oleh prima mana pun di daftar, jadi tak satu pun dari mereka menjadi faktornya. Tapi setiap bilangan bulat di atas 1 punya faktor prima, jadi ada prima yang hilang dari daftar itu, dan tak ada daftar berhingga yang bisa lengkap. Dengan daftar 2, 3, 5, dan 7, bilangan barunya adalah 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211, yang ternyata prima juga. Bilangan baru itu tak harus prima: 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30,031 = 59 × 509. Faktor primanya tetap hilang dari daftar itu. Dan 13 × 2,310 = 30,030 memastikan sisa 1 saat dibagi 13.

Pecahan mana yang desimalnya berhenti?

Sebuah pecahan punya desimal yang berhenti ketika penyebutnya, dalam bentuk paling sederhana, tak punya faktor prima selain 2 dan 5. Mengapa Setiap Pecahan Berhenti atau Berulang memberi alasannya: desimal menghitung dalam persepuluhan, perseratusan, dan perseribuan, dan setiap pangkat sepuluh tersusun hanya dari 2 dan 5, karena 10 = 2 × 5. Untuk $\frac{7}{20}$7/20, penyebutnya adalah 2 × 2 × 5, jadi kalikan atas dan bawah dengan 5 untuk mendapat $\frac{35}{100}$35/100, yaitu 35 perseratusan. Penyebut dengan faktor prima lain tak akan pernah mencapai pangkat sepuluh, jadi pembagiannya tak pernah berakhir, dan angka-angkanya berulang sebagai gantinya. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 berhenti; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… tidak bisa. Selalu sederhanakan dulu, karena faktor yang saling menghilangkan tak dihitung: $\frac{6}{15}$6/15 punya angka 3 di penyebutnya, tapi $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5, yang berhenti. Untuk memeriksa desimal yang berhenti, tulis sebagai pecahan atas pangkat sepuluh: $\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000.

Perulangannya juga terjamin, bukan sekadar mungkin: membagi dengan 7 hanya bisa menyisakan sisa 1 sampai 6, jadi dalam tujuh langkah sebuah sisa pasti terulang, dan begitu sisa terulang, angka-angkanya ikut terulang.

Mengubah Desimal Berulang menjadi Pecahan menjalankan prosesnya mundur dengan satu trik — kalikan dengan pangkat sepuluh untuk meluruskan blok berulang dengan dirinya sendiri, lalu kurangkan. x = 0.272727…, maka 100x = 27.2727…, dan 99x = 27, memberi $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11.

Pengurangan yang sama menuntaskan perdebatan orang soal Mengapa 0.999… Tepat Sama dengan Satu: x = 0.999…, 10x = 9.999…, maka 9x = 9 dan x = 1. Bukan hampir satu. Tak ada bilangan di antaranya, dan dua bilangan tanpa apa pun di antaranya adalah satu bilangan.

Apa itu bilangan irasional?

Bilangan irasional adalah bilangan yang tak bisa ditulis sebagai pecahan dengan bilangan bulat di atas dan di bawah. Bilangan Rasional dan Irasional menarik garisnya memakai desimal: setiap pecahan punya desimal yang berhenti atau berulang, jadi desimal yang terus berjalan tanpa akhir tanpa berulang tak bisa menjadi pecahan. Contoh paling terkenal adalah $\sqrt{2}$√2 dan pi. Tak ada pecahan yang jika dikuadratkan menjadi tepat 2. Kamu bisa mendekatinya, karena ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25, sedikit di bawah 2, dan ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$(3/2)² = 9/4, di atas 2, tapi sebuah bukti menunjukkan tak ada pecahan yang jatuh tepat di situ. Akar kuadrat dari bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat, jadi $\sqrt{49}$√49 adalah 7, dan akar kuadrat dari $\frac{9}{4}$9/4 adalah $\frac{3}{2}$3/2. Desimal panjang di kalkulator juga tak membuktikan sebuah bilangan irasional, karena layarnya berhenti setelah beberapa angka. Yang menentukannya adalah apakah bilangan itu bisa ditulis tepat sebagai satu bilangan bulat dibagi bilangan bulat lain.

Akar Kuadrat Dua Itu Irasional membuktikan bahwa setidaknya satu bilangan seperti itu ada, lagi-lagi dengan kontradiksi. Tulis $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b dalam bentuk paling sederhana. Menguadratkan memberi $a^2=2b^2$a² = 2b², jadi $a^2$a² genap, jadi a genap. Tulis a = 2c dan persamaan yang sama menjadi $b^2=2c^2$b² = 2c², jadi b juga genap. Tetapi pecahan paling sederhana tak boleh kedua bagiannya genap. Andaian itu mustahil, jadi pecahan seperti itu tidak ada.

Dua gagasan yang lebih tua melengkapi cabang ini. Pecahan Mesir dan Algoritma Rakus menengok notasi yang hanya mengizinkan pecahan satuan — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — dan metode rakus yang selalu berhenti, sebuah teorema sungguhan yang bersembunyi dalam keunikan. Pecahan Berlanjut menulis sebuah bilangan sebagai sarang kebalikan dan menghasilkan hampiran pecahan terbaik yang mungkin: dari sanalah $\frac{355}{113}$355/113 berasal, nilai pi yang benar sampai tujuh digit dengan bilangan tiga angka.

Tiga kekeliruan yang layak diberi nama

• Menyebut 1 prima. Ia dikecualikan dengan sengaja: kalau 1 prima, faktorisasi prima berhenti unik, karena kamu bisa menempelkan 1 sebanyak apa pun.
• Menukar kedua daftar. Faktor itu berhingga dan duduk di bawah bilangannya; kelipatan tak berhingga dan duduk di atasnya.
• Membaca 0.999… sebagai "sedikit di bawah 1". Desimal berulang bukan bilangan yang merayap menuju limit; ia limitnya, dituliskan.

Ke mana ini berlanjut

Faktor adalah mesin di bawah aritmetika pecahan — lihat pecahan, kesetaraan, dan pecahan campuran — dan pertanyaan berhenti-atau-berulang menyerahkan tongkat langsung ke panduan desimal. Pangkat, akar, dan bentuk akar melanjutkan benang irasionalnya di ekspresi aljabar, pangkat, dan bentuk akar.