Teiler, Vielfache und Zahlentheorie

Aktualisiert 13. Oktober 2026

Sobald man dividieren kann, folgt sofort eine Frage: Welche Divisionen gehen genau auf? Alles auf dieser Seite ist eine Antwort auf diese Frage — vom Siebenjährigen, der Spielsteine in gleiche Reihen sortiert, bis zum Beweis, dass die Primzahlen nie ausgehen.

Es ist außerdem der praktischste Zweig der Arithmetik, der nicht praktisch aussieht. Einen Bruch zu kürzen ist eine Teilerfrage. Zwei Busse, die zusammen abfahren und sich wieder treffen, sind eine Vielfachenfrage. Ob eine Dezimalzahl abbricht oder sich ewig wiederholt, entscheiden allein die Primfaktoren des Nenners.

Was ist ein Teiler, und was ist ein Vielfaches?

Ein Teiler einer Zahl teilt sie genau, und ein Vielfaches ist diese Zahl mal eine ganze Zahl. Die Teiler von 20 sind 1, 2, 4, 5, 10 und 20, und die Liste endet dort, weil kein Teiler größer ist als die Zahl. Die Vielfachen von 20 sind 20, 40, 60, 80 und so weiter, und diese Liste endet nie. Die beiden Wörter zeigen in entgegengesetzte Richtungen: 4 × 5 = 20, also ist 4 ein Teiler von 20 und 20 ein Vielfaches von 4. Teiler kommen in Paaren, die miteinander die Zahl ergeben, also suchst du aufsteigend ab 1 und hörst auf, wenn sich die Paare zu wiederholen beginnen. Eine Quadratzahl hat ein Paar aus einer Zahl mal sich selbst, wie 36 = 6 × 6, also hat sie eine ungerade Anzahl Teiler. Die Teilbarkeitsregeln ersparen dir, jede Zahl auszuprobieren. Jedes Paar zurückzumultiplizieren prüft die Liste: 1 × 20, 2 × 10 und 4 × 5 ergeben alle 20.

Ohne Rest teilen ist der Ort, an dem „genau“ festgenagelt wird — kein Rest, nichts übrig — und Teiler und Vielfache benennen die beiden Richtungen. Teilerpaare ist die Lektion, die das Finden zuverlässig macht: Teiler kommen in Paaren, deren Produkt die Zahl ist, also heißt die Suche bei 12: 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 prüfen und dann aufhören, denn danach wiederholen sich die Paare in umgekehrter Reihenfolge.

Teilbarkeit ohne zu dividieren

Teilbarkeitsregeln sammelt die Proben, die „geht das auf?“ schneller beantworten, als die Division es täte.

Jeder Test mit dem Grund, warum er funktioniert: die Teilbarkeitsregeln.

Die Quersummenregeln sind die interessanten, und sie sind kein Zufall: Jede Zehnerpotenz lässt beim Teilen durch 9 den Rest 1, also lassen eine Zahl und ihre Quersumme denselben Rest. Diese Tatsache ist mehr wert als die Regel — Die Neunerprobe macht daraus eine Methode, eine lange Multiplikation in ein paar Sekunden zu prüfen, und Modulare Arithmetik auf dem Zifferblatt ist die allgemeine Idee dahinter: Arithmetik, bei der nur der Rest behalten wird — so funktionieren Uhren, Kalender und Prüfsummen.

Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine ganze Zahl größer als 1, deren einzige Teiler 1 und sie selbst sind, also hat sie genau zwei Teiler. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11 und 13. Andere ganze Zahlen über 1 sind zusammengesetzt, Produkte kleinerer Zahlen, wie 15 = 3 × 5. Um zu testen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, versuchst du, sie der Reihe nach durch die Primzahlen zu teilen, und hörst auf, sobald das Quadrat der Primzahl größer ist als die Zahl. Für 97 teilt keine von 2, 3, 5 oder 7, und 11 × 11 = 121 ist mehr als 97, also ist 97 eine Primzahl. Du kannst dort aufhören, weil Teiler in Paaren kommen, und der kleinere Teiler eines Paares, mit sich selbst multipliziert, nie größer ist als die Zahl. Die 1 ist keine Primzahl, da sie nur einen Teiler hat, und 2 ist die einzige gerade Primzahl. Eine Zahl wie 91 sieht wie eine Primzahl aus, bis du es mit 7 versuchst: 91 = 7 × 13.

Das Sieb des Eratosthenes ist der älteste Weg, sie zu finden, und ein wirklich guter Algorithmus statt einer Klassenzimmer-Kuriosität: Schreib die Zahlen auf, behalte die 2 und streiche jedes spätere Vielfache von 2, behalte die 3 und streiche ihre Vielfachen, und mach weiter. Was übrig bleibt, ist prim — und keine einzige Zahl wurde auf Teilbarkeit getestet.

Die Primfaktorzerlegung ist der Lohn. Jede ganze Zahl über 1 zerfällt auf genau eine Weise in Primzahlen — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — und dieser einzigartige Fingerabdruck ist es, der den nächsten Abschnitt zum Laufen bringt.

ggT oder kgV — welches brauchst du?

Entscheide, ob die Frage etwas in gleiche Gruppen zerlegt oder darauf wartet, dass sich etwas ausrichtet. Gleiche Gruppen brauchen den größten gemeinsamen Teiler (ggT), die größte Zahl, die beide teilt. Ausrichten braucht das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV), die kleinste Zahl, in die beide hineinteilen. Angenommen, 24 rote und 36 blaue Perlen kommen in gleiche Tüten, ohne dass etwas übrig bleibt. Die meisten Tüten, die du füllen kannst, sind der ggT, 12, und jede Tüte enthält 2 rote und 3 blaue. Fährt ein Bus alle 6 Minuten und ein anderer alle 8 Minuten, fahren sie das nächste Mal gemeinsam nach dem kgV, 24 Minuten. Schlüsselwörter können täuschen, also frag, ob die Antwort in beide Zahlen hineinpassen muss oder von beiden erreicht wird. Teilen sich zwei Zahlen keinen Teiler, ist der ggT 1 und das kgV ihr Produkt, also haben 8 und 9 ein kgV von 72. Der ggT mal das kgV ergibt die beiden Zahlen multipliziert, was beides prüft: 2 × 24 = 48 = 6 × 8.

Gemeinsame Teiler und Der größte gemeinsame Teiler nehmen die erste Richtung: die größte Zahl, die beide teilt. 12 und 18 teilen sich 1, 2, 3 und 6, also ist der ggT 6 — das größte Tablett, in das sich beide Stapel lückenlos packen lassen.

Gemeinsame Vielfache und Das kleinste gemeinsame Vielfache nehmen die andere: die kleinste Zahl, in die beide passen. 12 und 18 treffen sich zuerst bei 36 — das erste Mal, dass ein 12-Minuten-Bus und ein 18-Minuten-Bus wieder zusammen abfahren.

Zwischen ggT und kgV wählen existiert, weil die Arithmetik selten der schwere Teil ist; das Richtige aus einer Textaufgabe herauszulesen schon. Die Primfaktorzerlegungen beantworten beides zugleich: Nimm die niedrigste Potenz jedes gemeinsamen Primfaktors für den ggT, die höchste Potenz jedes Primfaktors für das kgV.

ggT und kgV aus den Primfaktorzerlegungen

Für Zahlen, die zu groß sind, um ihre Teiler aufzulisten, erledigen die Zerlegungen die Arbeit. Schreib beide als Produkte von Primzahlen und lies beide Antworten aus demselben Zeilenpaar ab.

$84=2^2\times 3\times 7$84 = 2² × 3 × 7 und $90=2\times 3^2\times 5$90 = 2 × 3² × 5.

• ggT: die niedrigste Potenz jedes gemeinsamen Primfaktors — 2 × 3 = 6. Nur Primzahlen, die in beiden vorkommen, zählen — darum werden 5 und 7 ignoriert.
• kgV: die höchste Potenz jeder Primzahl, die in einer von beiden vorkommt — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1260$2² × 3² × 5 × 7 = 1 260.

Daraus fällt eine nützliche Probe heraus: Multipliziere den ggT mit dem kgV, und du erhältst jedes Mal das Produkt der beiden Ausgangszahlen. 6 × 1 260 = 7 560 = 84 × 90. Jede Primzahl wird einmal in ihrer niedrigeren und einmal in ihrer höheren Potenz gezählt, was zusammen genau der Gehalt der beiden Zahlen ist.

Gehen die Primzahlen jemals aus?

Nein, und der Beweis ist kurz. Euklids Beweis, dass die Primzahlen nie ausgehen beginnt mit der Annahme, jemand hätte eine vollständige Liste aller Primzahlen. Multipliziere alle Primzahlen der Liste miteinander und addiere 1. Die neue Zahl lässt beim Teilen durch jede Primzahl der Liste den Rest 1, also ist keine von ihnen ein Teiler. Aber jede ganze Zahl über 1 hat einen Primfaktor, also fehlt eine Primzahl in der Liste, und keine endliche Liste kann vollständig sein. Mit der Liste 2, 3, 5 und 7 ist die neue Zahl 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211, was selbst eine Primzahl ist. Die neue Zahl muss keine Primzahl sein: 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30,031 = 59 × 509. Ihre Primfaktoren fehlen trotzdem in der Liste. Und 13 × 2,310 = 30,030 bestätigt den Rest 1 beim Teilen durch 13.

Welche Brüche haben Dezimaldarstellungen, die abbrechen?

Ein Bruch hat eine Dezimalzahl, die abbricht, wenn sein Nenner in vollständig gekürzter Form keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat. Warum jeder Bruch abbricht oder periodisch wird gibt den Grund: Dezimalzahlen zählen in Zehnteln, Hundertsteln und Tausendsteln, und jede Zehnerpotenz ist nur aus Zweien und Fünfen gebaut, denn 10 = 2 × 5. Für $\frac{7}{20}$7/20 ist der Nenner 2 × 2 × 5, also multiplizierst du Zähler und Nenner mit 5 und erhältst $\frac{35}{100}$35/100, das sind 35 Hundertstel. Ein Nenner mit irgendeinem anderen Primfaktor kann nie eine Zehnerpotenz erreichen, also endet die Division nie, und die Ziffern wiederholen sich stattdessen. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 bricht ab; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… kann es nicht. Kürze immer zuerst, denn ein Faktor, der sich wegkürzt, zählt nicht: $\frac{6}{15}$6/15 hat eine 3 im Nenner, aber $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5, was abbricht. Um eine abbrechende Dezimalzahl zu prüfen, schreibe sie als Bruch über einer Zehnerpotenz: $\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000.

Die Wiederholung ist außerdem garantiert und nicht bloß wahrscheinlich: Teilen durch 7 kann immer nur die Reste 1 bis 6 lassen, also muss sich binnen sieben Schritten ein Rest wiederholen — und sobald sich ein Rest wiederholt, tun es auch die Ziffern.

Periodische Dezimalzahlen in Brüche verwandeln lässt den Vorgang mit einem einzigen Trick rückwärts laufen — multipliziere mit einer Zehnerpotenz, um den Wiederholungsblock mit sich selbst auszurichten, und subtrahiere dann. x = 0.272727…, also 100x = 27.2727…, und 99x = 27, was $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11 ergibt.

Dieselbe Subtraktion beendet den Streit, den die Leute über Warum 0.999… genau eins ist führen: x = 0.999…, 10x = 9.999…, also 9x = 9 und x = 1. Nicht fast eins. Es gibt keine Zahl dazwischen, und zwei Zahlen ohne etwas dazwischen sind eine Zahl.

Was ist eine irrationale Zahl?

Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die sich nicht als Bruch mit ganzen Zahlen oben und unten schreiben lässt. Rationale und irrationale Zahlen zieht die Linie mit Dezimalzahlen: Jeder Bruch hat eine Dezimalzahl, die entweder abbricht oder periodisch wird, also kann eine Dezimalzahl, die endlos weitergeht, ohne sich zu wiederholen, kein Bruch sein. Die bekanntesten Beispiele sind $\sqrt{2}$√2 und Pi. Kein Bruch quadriert sich zu genau 2. Du kommst nah heran, denn ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25, das liegt knapp unter 2, und ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$(3/2)² = 9/4, das liegt über 2, aber ein Beweis zeigt, dass kein Bruch genau darauf landet. Die Quadratwurzel einer Quadratzahl ist eine ganze Zahl, also ist $\sqrt{49}$√49 gleich 7, und die Quadratwurzel von $\frac{9}{4}$9/4 ist $\frac{3}{2}$3/2. Eine lange Dezimalzahl im Taschenrechner beweist ebenfalls nicht, dass eine Zahl irrational ist, weil der Bildschirm nach ein paar Ziffern aufhört. Entscheidend ist, ob sich die Zahl exakt als eine ganze Zahl geteilt durch eine andere schreiben lässt.

Die Quadratwurzel aus zwei ist irrational beweist, dass mindestens eine solche Zahl existiert — wieder durch Widerspruch. Schreibe $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b vollständig gekürzt. Quadrieren ergibt $a^2=2b^2$a² = 2b², also ist $a^2$a² gerade, also ist a gerade. Schreibe a = 2c, und dieselbe Gleichung wird zu $b^2=2c^2$b² = 2c², also ist auch b gerade. Aber ein vollständig gekürzter Bruch kann nicht beide Teile gerade haben. Die Annahme ist unmöglich, also existiert kein solcher Bruch.

Zwei ältere Ideen runden den Zweig ab. Ägyptische Brüche und der gierige Algorithmus betrachtet eine Schreibweise, die nur Stammbrüche erlaubte — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — und die gierige Methode, die immer endet: ein echter Satz, der sich in einer Kuriosität versteckt. Kettenbrüche schreibt eine Zahl als geschachtelte Kehrwerte und liefert die bestmöglichen Bruchnäherungen: Daher stammt $\frac{355}{113}$355/113, ein Wert für pi, korrekt auf sieben Ziffern, mit dreistelligen Zahlen.

Die drei Fehler, die einen Namen verdienen

• Die 1 prim nennen. Sie ist mit Absicht ausgeschlossen: Wäre 1 prim, hörte die Primfaktorzerlegung auf, eindeutig zu sein, denn man könnte beliebig viele Einsen ankleben.
• Die zwei Listen verwechseln. Teiler sind endlich viele und liegen unter der Zahl; Vielfache sind unendlich viele und liegen darüber.
• 0.999… als „knapp unter 1“ lesen. Eine periodische Dezimalzahl ist keine Zahl, die auf einen Grenzwert zukriecht; sie ist der Grenzwert, hingeschrieben.

Wohin es von hier aus geht

Teiler sind der Motor unter der Brucharithmetik — siehe Brüche, Gleichwertigkeit und gemischte Zahlen — und die Frage nach Abbrechen oder Wiederholen übergibt direkt an den Dezimalzahlen-Ratgeber. Potenzen, Wurzeln und Wurzelterme führen den irrationalen Faden in Algebraische Ausdrücke, Potenzen und Wurzeln weiter.