Fatores, múltiplos e teoria dos números

Atualizado 13 de outubro de 2026

Assim que você sabe dividir, uma pergunta vem na hora: quais divisões saem exatas? Tudo nesta página é uma resposta a essa pergunta, desde a criança de sete anos arrumando fichas em fileiras iguais até uma prova de que os primos nunca acabam.

É também o ramo mais prático da aritmética que não parece prático. Simplificar uma fração é uma pergunta de fatores. Dois ônibus que saem juntos e voltam a se encontrar é uma pergunta de múltiplos. Se um decimal para ou repete para sempre é decidido inteiramente pelos fatores primos do denominador.

O que é um fator, e o que é um múltiplo?

Um fator de um número o divide exatamente, e um múltiplo é esse número vezes um inteiro. Os fatores de 20 são 1, 2, 4, 5, 10, 20 e a lista termina aí, já que nenhum fator é maior que o número. Os múltiplos de 20 são 20, 40, 60, 80, … e essa lista nunca termina. As duas palavras olham em direções opostas: 4 × 5 = 20, então 4 é um fator de 20 e 20 é um múltiplo de 4. Os fatores vêm em pares que se multiplicam para dar o número, então procure subindo a partir de 1 e pare quando os pares começarem a se repetir. Um número quadrado tem um par feito de um número por si mesmo, como 36 = 6 × 6, então tem um número ímpar de fatores. As regras de divisibilidade evitam testar cada número. Multiplicar cada par de volta confere a lista: 1 × 20, 2 × 10 e 4 × 5 dão todos 20.

Divisão exata é onde o "exata" fica preso no papel — sem resto, sem sobrar nada — e Fatores e Múltiplos nomeiam as duas direções. Pares de fatores é o que torna a busca confiável: os fatores vêm em pares que multiplicados dão o número, então caçar os de 12 é conferir 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 e parar, porque dali em diante os pares se repetem na outra ordem.

Divisibilidade sem dividir

Critérios de divisibilidade reúne as verificações que respondem "isso divide?" mais rápido que a própria divisão.

Cada teste, com o motivo de funcionar: as regras de divisibilidade.

Os critérios da soma dos algarismos são os interessantes, e não são coincidência: toda potência de dez deixa resto 1 quando dividida por 9, então um número e a soma dos seus algarismos deixam o mesmo resto. Esse fato vale mais que o critério — A prova dos noves para conferir contas o transforma num jeito de conferir uma multiplicação longa em segundos, e Aritmética modular no relógio é a ideia geral por trás: aritmética em que só o resto é guardado, que é como funcionam relógios, calendários e dígitos verificadores.

O que é um número primo?

Um número primo é um número inteiro maior que 1 cujos únicos fatores são 1 e ele mesmo, então tem exatamente dois fatores. Os primeiros primos são 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Os outros números inteiros acima de 1 são compostos, produtos de números menores, como 15 = 3 × 5. Para testar se um número é primo, tente dividi-lo pelos primos em ordem, e pare quando o primo ao quadrado passar o número. Para 97, nenhum de 2, 3, 5 ou 7 o divide, e 11 × 11 = 121 é mais que 97, então 97 é primo. Você pode parar aí porque os fatores vêm em pares, e o fator menor de um par, multiplicado por si mesmo, nunca é maior que o número. O 1 não é primo, já que só tem um fator, e o 2 é o único primo par. Um número como 91 parece primo até você tentar o 7: 91 = 7 × 13.

O crivo de Eratóstenes é o jeito mais antigo de encontrá-los, e é um algoritmo genuinamente bom, não uma curiosidade de sala de aula: escreva os números, guarde o 2 e risque cada múltiplo posterior de 2, guarde o 3 e risque os múltiplos dele, e continue. O que sobrevive é primo, e você nunca testa a divisibilidade de número nenhum.

Fatoração em primos é a recompensa. Todo inteiro acima de 1 se quebra em primos de exatamente um jeito — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — e essa impressão digital única é o que faz a próxima seção funcionar.

MDC ou MMC — qual você precisa?

Decida se a pergunta reparte coisas em grupos iguais ou espera coisas se alinharem. Grupos iguais precisam do máximo divisor comum (MDC), o maior número que divide os dois. Alinhar precisa do mínimo múltiplo comum (MMC), o menor número em que os dois dividem. Suponha que 24 contas vermelhas e 36 contas azuis vão em sacos idênticos sem sobrar nenhuma. O máximo de sacos que você consegue encher é o MDC, 12, e cada saco leva 2 vermelhas e 3 azuis. Se um ônibus sai a cada 6 minutos e outro a cada 8 minutos, eles saem juntos de novo depois do MMC, 24 minutos. Palavras-chave podem enganar, então pergunte se a resposta precisa caber nos dois números ou ser alcançada pelos dois. Quando dois números não compartilham fator, o MDC é 1 e o MMC é o produto deles, então 8 e 9 têm um MMC de 72. O MDC vezes o MMC é igual aos dois números multiplicados, o que confere os dois: 2 × 24 = 48 = 6 × 8.

Fatores comuns e O máximo divisor comum tomam a primeira direção: o maior número que divide os dois. 12 e 18 compartilham 1, 2, 3 e 6, então o MDC é 6 — a maior bandeja em que as duas pilhas cabem sem folga.

Múltiplos comuns e O mínimo múltiplo comum tomam a outra: o menor número em que os dois cabem. 12 e 18 se encontram primeiro em 36 — a primeira vez em que um ônibus de 12 minutos e um de 18 saem juntos de novo.

Escolher entre MDC e MMC existe porque a aritmética raramente é a parte difícil; escolher o certo a partir de um problema com palavras é. As fatorações em primos respondem os dois de uma vez: pegue a menor potência de cada primo compartilhado para o MDC, a maior potência de cada primo para o MMC.

MDC e MMC a partir das fatorações em primos

Para números grandes demais para listar fatores, as fatorações fazem o trabalho. Escreva os dois como produtos de primos, e leia as duas respostas do mesmo par de linhas.

$84=2^2\times 3\times 7\text{e}90=2\times 3^2\times 5$84 = 2² × 3 × 7 e 90 = 2 × 3² × 5.

• MDC: a menor potência de cada primo que os dois compartilham — 2 × 3 = 6. Só contam os primos que aparecem nos dois, e por isso o 5 e o 7 são ignorados.
• MMC: a maior potência de cada primo que aparece em qualquer um — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1260$2² × 3² × 5 × 7 = 1260.

Uma conferência útil cai daqui: multiplique o MDC pelo MMC e você obtém o produto dos dois números originais, sempre. 6 × 1260 = 7560 = 84 × 90. Cada primo está sendo contado uma vez na potência menor e uma vez na maior, o que entre as duas é exatamente o valor dos dois números.

Os primos acabam algum dia?

Não, e a prova é curta. A prova de Euclides de que os primos nunca acabam começa supondo que alguém tem uma lista completa de todos os primos. Multiplique todos os primos da lista e some 1. O número novo deixa resto 1 quando dividido por qualquer primo da lista, então nenhum deles é fator. Mas todo número inteiro acima de 1 tem um fator primo, então algum primo está faltando na lista, e nenhuma lista finita pode estar completa. Com a lista 2, 3, 5 e 7, o número novo é 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211, que é primo por si só. O número novo não precisa ser primo: 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30,031 = 59 × 509. Seus fatores primos ainda faltam na lista. E 13 × 2,310 = 30,030 confirma o resto 1 ao dividir por 13.

Quais frações têm decimais que param?

Uma fração tem um decimal que para quando seu denominador, na forma irredutível, não tem fatores primos além de 2 e 5. Por que toda fração termina ou repete dá o motivo: os decimais contam em décimos, centésimos e milésimos, e toda potência de dez é feita só de 2s e 5s, já que 10 = 2 × 5. Para $\frac{7}{20}$7/20, o denominador é 2 × 2 × 5, então multiplique de cima e de baixo por 5 para chegar $\text{a}\frac{35}{100}$a 35/100, que são 35 centésimos. Um denominador com qualquer outro fator primo nunca consegue chegar a uma potência de dez, então a divisão nunca termina, e os algarismos se repetem em vez disso. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 para; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… não consegue. Sempre simplifique primeiro, porque um fator que cancela não conta: $\frac{6}{15}$6/15 tem um 3 no denominador, mas $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5, que para. Para conferir um decimal que para, escreva-o como fração sobre uma potência de dez: $\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000.

A repetição também é garantida, não apenas provável: dividir por 7 só pode deixar restos de 1 a 6, então em sete passos algum resto se repete, e quando um resto se repete os algarismos também se repetem.

Transformar dízimas periódicas em frações roda o processo ao contrário com um truque — multiplique por uma potência de dez para alinhar o bloco que se repete com ele mesmo, e subtraia. x = 0.272727…, então 100x = 27.2727…, e 99x = 27, dando $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11.

A mesma subtração encerra a discussão que as pessoas têm sobre Por que 0.999… é exatamente um: x = 0.999…, 10x = 9.999…, então 9x = 9 e x = 1. Não quase um. Não há número no meio, e dois números sem nada entre eles são um número só.

O que é um número irracional?

Um número irracional é um número que não pode ser escrito como fração com inteiros em cima e embaixo. Números racionais e irracionais traça a linha usando decimais: toda fração tem um decimal que para ou repete, então um decimal que continua para sempre sem repetir não pode ser uma fração. Os exemplos mais conhecidos são $\sqrt{2}e$√2 e pi. Nenhuma fração ao quadrado dá exatamente 2. Você pode chegar perto, já que ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25, que fica logo abaixo de 2, $e{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$e (3/2)² = 9/4, que fica acima de 2, mas uma prova mostra que nenhuma fração cai exatamente nele. A raiz quadrada de um quadrado perfeito é um número inteiro, então $\sqrt{49}$√49 é 7, e a raiz quadrada de $\frac{9}{4}$9/4 é $\frac{3}{2}$3/2. Um decimal longo numa calculadora também não prova que um número é irracional, porque a tela para depois de alguns algarismos. O que decide é se o número pode ser escrito exatamente como um inteiro dividido por outro.

A raiz quadrada de dois é irracional prova que ao menos um número assim existe, de novo por contradição. Escreva $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b na forma irredutível. Elevando ao quadrado vem $a^2=2b^2$a² = 2b², então $a^2$a² é par, então a é par. Escreva a = 2c e a mesma equação vira $b^2=2c^2$b² = 2c², então b também é par. Mas uma fração irredutível não pode ter as duas partes pares. A suposição é impossível, então tal fração não existe.

Duas ideias mais antigas completam o ramo. Frações egípcias e o algoritmo guloso olha uma notação que só permitia frações unitárias — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — e o método guloso que sempre termina, um teorema de verdade escondido numa curiosidade. Frações contínuas escreve um número como um ninho de recíprocos e produz as melhores aproximações fracionárias possíveis: é de onde vem $\frac{355}{113}$355/113, um valor de pi correto até a sétima casa com números de três algarismos.

Os três erros que merecem nome

• Chamar o 1 de primo. Ele é excluído de propósito: se 1 fosse primo, a fatoração em primos deixaria de ser única, já que daria para colar quantos 1s quisesse.
• Confundir as duas listas. Os fatores são finitos e ficam abaixo do número; os múltiplos são infinitos e ficam acima.
• Ler 0.999… como "um pouquinho menos que 1". Uma dízima periódica não é um número rastejando rumo a um limite; ela é o limite, escrito.

Para onde isso leva

Os fatores são o motor debaixo da aritmética de frações — veja frações, equivalência e números mistos — e a pergunta do para-ou-repete entrega direto ao guia de decimais. Potências, raízes e radicais continuam o fio dos irracionais em expressões algébricas, expoentes e radicais.