Fatores, múltiplos e teoria dos números

Assim que você sabe dividir, uma pergunta vem na hora: quais divisões saem exatas? Tudo nesta página é uma resposta a essa pergunta, desde a criança de sete anos arrumando fichas em fileiras iguais até uma prova de que os primos nunca acabam.

É também o ramo mais prático da aritmética que não parece prático. Simplificar uma fração é uma pergunta de fatores. Dois ônibus que saem juntos e voltam a se encontrar é uma pergunta de múltiplos. Se um decimal para ou repete para sempre é decidido inteiramente pelos fatores primos do denominador.

O que é um fator, e o que é um múltiplo?

Um fator divide um número exatamente; um múltiplo é o que se obtém multiplicando-o. Os fatores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6, 12 e a lista termina aí. Os múltiplos de 12 são 12, 24, 36, 48, … e essa lista nunca termina.

Divisão exata é onde o "exata" fica preso no papel — sem resto, sem sobrar nada — e Fatores e Múltiplos nomeiam as duas direções. Pares de fatores é o que torna a busca confiável: os fatores vêm em pares que multiplicados dão o número, então caçar os de 12 é conferir 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 e parar, porque dali em diante os pares se repetem na outra ordem.

Divisibilidade sem dividir

Critérios de divisibilidade reúne as verificações que respondem "isso divide?" mais rápido que a própria divisão.

Os critérios da soma dos algarismos são os interessantes, e não são coincidência: toda potência de dez deixa resto 1 quando dividida por 9, então um número e a soma dos seus algarismos deixam o mesmo resto. Esse fato vale mais que o critério — A prova dos noves para conferir contas o transforma num jeito de conferir uma multiplicação longa em segundos, e Aritmética modular no relógio é a ideia geral por trás: aritmética em que só o resto é guardado, que é como funcionam relógios, calendários e dígitos verificadores.

O que é um número primo?

Um primo é um número inteiro acima de 1 cujos únicos fatores são 1 e ele mesmo. São os números que não podem ser quebrados, o que faz deles a matéria-prima de que todo o resto é construído.

O crivo de Eratóstenes é o jeito mais antigo de encontrá-los, e é um algoritmo genuinamente bom, não uma curiosidade de sala de aula: escreva os números, guarde o 2 e risque cada múltiplo posterior de 2, guarde o 3 e risque os múltiplos dele, e continue. O que sobrevive é primo, e você nunca testa a divisibilidade de número nenhum.

Fatoração em primos é a recompensa. Todo inteiro acima de 1 se quebra em primos de exatamente um jeito — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — e essa impressão digital única é o que faz a próxima seção funcionar.

MDC ou MMC — qual você precisa?

Pergunte se você está quebrando algo para baixo ou construindo para cima. Quebrar em partes iguais pede o máximo divisor comum; esperar dois ciclos se alinharem pede o mínimo múltiplo comum.

Fatores comuns e O máximo divisor comum tomam a primeira direção: o maior número que divide os dois. 12 e 18 compartilham 1, 2, 3 e 6, então o MDC é 6 — a maior bandeja em que as duas pilhas cabem sem folga.

Múltiplos comuns e O mínimo múltiplo comum tomam a outra: o menor número em que os dois cabem. 12 e 18 se encontram primeiro em 36 — a primeira vez em que um ônibus de 12 minutos e um de 18 saem juntos de novo.

Escolher entre MDC e MMC existe porque a aritmética raramente é a parte difícil; escolher o certo a partir de um problema com palavras é. As fatorações em primos respondem os dois de uma vez: pegue a menor potência de cada primo compartilhado para o MDC, a maior potência de cada primo para o MMC.

MDC e MMC a partir das fatorações em primos

Para números grandes demais para listar fatores, as fatorações fazem o trabalho. Escreva os dois como produtos de primos, e leia as duas respostas do mesmo par de linhas.

84 = 2² × 3 × 7 e 90 = 2 × 3² × 5.

• MDC: a menor potência de cada primo que os dois compartilham — 2 × 3 = 6. Só contam os primos que aparecem nos dois, e por isso o 5 e o 7 são ignorados.
• MMC: a maior potência de cada primo que aparece em qualquer um — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1260$2² × 3² × 5 × 7 = 1260.

Uma conferência útil cai daqui: multiplique o MDC pelo MMC e você obtém o produto dos dois números originais, sempre. 6 × 1260 = 7560 = 84 × 90. Cada primo está sendo contado uma vez na potência menor e uma vez na maior, o que entre as duas é exatamente o valor dos dois números.

Os primos acabam algum dia?

Não, e a prova é curta o bastante para caber na cabeça. A prova de Euclides de que os primos nunca acabam funciona assim: suponha que você tivesse uma lista completa de todos os primos. Multiplique todos e some um. O número novo deixa resto 1 quando dividido por cada primo da lista — mas todo número acima de 1 tem algum fator primo. Então existe um primo fora da lista, e a lista nunca foi completa.

Quais frações têm decimais que param?

Aquelas cujo denominador, na forma irredutível, é feito só de 2s e 5s. Essa é a regra inteira, e Por que toda fração termina ou repete dá o motivo: os nossos decimais são construídos sobre o dez, dez é 2 × 5, e só um denominador que divide alguma potência de dez pode ser reescrito como décimos, centésimos ou milésimos. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 para; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… não consegue.

A repetição também é garantida, não apenas provável: dividir por 7 só pode deixar restos de 1 a 6, então em sete passos algum resto se repete, e quando um resto se repete os algarismos também se repetem.

Transformar dízimas periódicas em frações roda o processo ao contrário com um truque — multiplique por uma potência de dez para alinhar o bloco que se repete com ele mesmo, e subtraia. x = 0.272727…, então 100x = 27.2727…, e 99x = 27, dando x = 27/99 = 3/11.

A mesma subtração encerra a discussão que as pessoas têm sobre Por que 0.999… é exatamente um: x = 0.999…, 10x = 9.999…, então 9x = 9 e x = 1. Não quase um. Não há número no meio, e dois números sem nada entre eles são um número só.

O que é um número irracional?

Um número que não pode ser escrito como fração de inteiros de jeito nenhum. Números racionais e irracionais traça a linha: toda fração tem um decimal que para ou repete, então qualquer decimal que não faz nem um nem outro está fora das frações por completo.

A raiz quadrada de dois é irracional prova que ao menos um número assim existe, de novo por contradição. Escreva √2 = a/b na forma irredutível. Elevando ao quadrado vem a² = 2b², então a² é par, então a é par. Escreva a = 2c e a mesma equação vira b² = 2c², então b também é par. Mas uma fração irredutível não pode ter as duas partes pares. A suposição é impossível, então tal fração não existe.

Duas ideias mais antigas completam o ramo. Frações egípcias e o algoritmo guloso olha uma notação que só permitia frações unitárias — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — e o método guloso que sempre termina, um teorema de verdade escondido numa curiosidade. Frações contínuas escreve um número como um ninho de recíprocos e produz as melhores aproximações fracionárias possíveis: é de onde vem $\frac{355}{113}$355/113, um valor de pi correto até a sétima casa com números de três algarismos.

Os três erros que merecem nome

• Chamar o 1 de primo. Ele é excluído de propósito: se 1 fosse primo, a fatoração em primos deixaria de ser única, já que daria para colar quantos 1s quisesse.
• Confundir as duas listas. Os fatores são finitos e ficam abaixo do número; os múltiplos são infinitos e ficam acima.
• Ler 0.999… como "um pouquinho menos que 1". Uma dízima periódica não é um número rastejando rumo a um limite; ela é o limite, escrito.

Para onde isso leva

Os fatores são o motor debaixo da aritmética de frações — veja frações, equivalência e números mistos — e a pergunta do para-ou-repete entrega direto ao guia de decimais. Potências, raízes e radicais continuam o fio dos irracionais em expressões algébricas, expoentes e radicais.

Pratique no jogo

O Math Challenge ensina cada passo acima como uma lição ilustrada — o crivo como uma grade que você vê se preencher, o MDC como uma lista de fatores compartilhados, a prova de Euclides linha por linha — dentro de um catálogo de mais de 800 lições. Para treino, o tópico MDC e MMC e o tópico Primos rodam o reconhecimento até ele ficar rápido.

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