Fattori, multipli e teoria dei numeri

Aggiornato 13 ottobre 2026

Appena sai dividere, una domanda arriva subito: quali divisioni escono esatte? Tutto ciò che sta in questa pagina è una risposta a quella domanda, da un bambino di sette anni che ordina gettoni in file uguali fino a una prova che i primi non finiscono mai.

È anche il ramo più pratico dell'aritmetica che non sembra pratico. Semplificare una frazione è una domanda sui fattori. Due autobus che partono insieme e tornano a coincidere è una domanda sui multipli. Se un decimale si ferma o si ripete per sempre lo decidono interamente i fattori primi del denominatore.

Che cos'è un fattore, e che cos'è un multiplo?

Un fattore di un numero lo divide esattamente, e un multiplo è quel numero per un intero. I fattori di 20 sono 1, 2, 4, 5, 10, 20 e lì la lista finisce, dato che nessun fattore è più grande del numero. I multipli di 20 sono 20, 40, 60, 80, … e quella lista non finisce mai. Le due parole guardano in direzioni opposte: 4 × 5 = 20, quindi 4 è un fattore di 20 e 20 è un multiplo di 4. I fattori vengono in coppie che si moltiplicano per dare il numero, quindi cerca salendo da 1 e fermati quando le coppie iniziano a ripetersi. Un numero quadrato ha una coppia fatta da un numero per se stesso, come 36 = 6 × 6, quindi ha un numero dispari di fattori. Le regole di divisibilità evitano di provare ogni numero. Moltiplicare ogni coppia all'indietro controlla la lista: 1 × 20, 2 × 10 e 4 × 5 danno tutti 20.

Divisioni esatte è dove "esatto" viene inchiodato — nessun resto, niente che avanza — e Fattori e Multipli danno il nome alle due direzioni. Coppie di fattori è quella che rende affidabile trovarli: i fattori vengono in coppie che moltiplicate danno il numero, quindi cercare quelli di 12 significa controllare 1 × 12, 2 × 6, 3 × 4 e poi fermarsi, perché da lì in poi le coppie si ripetono nell'altro ordine.

Divisibilità senza dividere

Criteri di divisibilità raccoglie i controlli che rispondono a "ci sta?" più in fretta di quanto farebbe la divisione.

Ogni criterio, con il motivo per cui funziona: i criteri di divisibilità.

I criteri della somma delle cifre sono quelli interessanti, e non sono una coincidenza: ogni potenza di dieci lascia resto 1 quando la dividi per 9, quindi un numero e la somma delle sue cifre lasciano lo stesso resto. Quel fatto vale più del criterio — La prova del nove per controllare i conti lo trasforma in un modo di verificare una moltiplicazione lunga in un paio di secondi, e Aritmetica modulare sul quadrante di un orologio è l'idea generale che ci sta dietro: aritmetica dove si tiene solo il resto, che è come funzionano orologi, calendari e codici di controllo.

Che cos'è un numero primo?

Un numero primo è un intero maggiore di 1 i cui unici fattori sono 1 e se stesso, quindi ha esattamente due fattori. I primi numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Gli altri interi sopra 1 sono composti, prodotti di numeri più piccoli, come 15 = 3 × 5. Per verificare se un numero è primo, prova a dividerlo per i numeri primi in ordine, e fermati quando il primo al quadrato supera il numero. Per 97, nessuno tra 2, 3, 5 o 7 lo divide, e 11 × 11 = 121 è più di 97, quindi 97 è primo. Puoi fermarti lì perché i fattori vengono in coppie, e il fattore più piccolo di una coppia, moltiplicato per se stesso, non è mai più grande del numero. L'1 non è primo, dato che ha un solo fattore, e il 2 è l'unico primo pari. Un numero come 91 sembra primo finché non provi il 7: 91 = 7 × 13.

Il crivello di Eratostene è il modo più antico di trovarli, ed è un algoritmo genuinamente buono, non una curiosità da aula: scrivi i numeri, tieni il 2 e cancella ogni suo multiplo successivo, tieni il 3 e cancella i suoi multipli, e continua. Ciò che sopravvive è primo, e non hai mai testato la divisibilità di un singolo numero.

Fattorizzazione in primi è la ricompensa. Ogni intero sopra 1 si spezza in primi in esattamente un modo — $180=2^2\times 3^2\times 5$180 = 2² × 3² × 5 — e quell'impronta unica è ciò che fa funzionare la sezione successiva.

MCD o mcm — quale ti serve?

Decidi se la domanda scompone qualcosa in gruppi uguali o aspetta che qualcosa si allinei. I gruppi uguali richiedono il massimo comune divisore (MCD), il numero più grande che divide entrambi. Allinearsi richiede il minimo comune multiplo (mcm), il numero più piccolo in cui entrambi dividono. Supponi che 24 perline rosse e 36 perline blu vadano in sacchetti identici senza che ne avanzi nessuna. Il numero massimo di sacchetti che puoi riempire è l'MCD, 12, e ogni sacchetto contiene 2 rosse e 3 blu. Se un autobus parte ogni 6 minuti e un altro ogni 8 minuti, ripartono insieme dopo il mcm, 24 minuti. Le parole chiave possono ingannare, quindi chiediti se la risposta deve entrare in entrambi i numeri o essere raggiunta da entrambi. Quando due numeri non condividono fattori, l'MCD è 1 e il mcm è il loro prodotto, quindi 8 e 9 hanno un mcm di 72. L'MCD moltiplicato per il mcm è uguale ai due numeri moltiplicati, il che controlla entrambi: 2 × 24 = 48 = 6 × 8.

Fattori comuni e Il massimo comune divisore prendono la prima direzione: il numero più grande che divide entrambi. 12 e 18 condividono 1, 2, 3 e 6, quindi il MCD è 6 — che è il vassoio più grande in cui impacchettare entrambe le pile senza buchi.

Multipli comuni e Il minimo comune multiplo prendono l'altra: il numero più piccolo in cui entrambi ci stanno. 12 e 18 si incontrano per la prima volta a 36 — la prima volta che un autobus ogni 12 minuti e uno ogni 18 ripartono insieme.

Scegliere fra MCD e mcm esiste perché l'aritmetica è raramente la parte difficile; scegliere quello giusto da un problema a parole lo è. Le fattorizzazioni in primi rispondono a entrambi in una volta: prendi la potenza più bassa di ogni primo condiviso per il MCD, la più alta di ogni primo per il mcm.

MCD e mcm dalle fattorizzazioni in primi

Per numeri troppo grandi per elencarne i fattori, le fattorizzazioni fanno il lavoro. Scrivi entrambi come prodotti di primi, poi leggi le due risposte dalla stessa coppia di righe.

$84=2^2\times 3\times 7\text{e}90=2\times 3^2\times 5$84 = 2² × 3 × 7 e 90 = 2 × 3² × 5.

• MCD: la potenza più bassa di ogni primo che condividono — 2 × 3 = 6. Contano solo i primi che compaiono in entrambi, ed è per questo che 5 e 7 vengono ignorati.
• mcm: la potenza più alta di ogni primo che compare in uno dei due — $2^2\times 3^2\times 5\times 7=1$2² × 3² × 5 × 7 = 1,260.

Da qui cade un controllo utile: moltiplica il MCD per il mcm e ottieni il prodotto dei due numeri originali, ogni volta. 6 × 1,260 = 7,560 = 84 × 90. Ogni primo viene contato una volta alla sua potenza più bassa e una alla più alta, che fra loro è esattamente il valore dei due numeri.

I primi finiscono mai?

No, e la dimostrazione è breve. La dimostrazione di Euclide che i primi non finiscono comincia supponendo che qualcuno abbia una lista completa di tutti i primi. Moltiplica tutti i primi della lista insieme e aggiungi 1. Il nuovo numero lascia resto 1 quando diviso per qualsiasi primo della lista, quindi nessuno di essi è un fattore. Ma ogni intero sopra 1 ha un fattore primo, quindi manca un primo dalla lista, e nessuna lista finita può essere completa. Con la lista 2, 3, 5 e 7, il nuovo numero è 2 × 3 × 5 × 7 + 1 = 211, che è esso stesso primo. Il nuovo numero non deve necessariamente essere primo: 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30,031 = 59 × 509. I suoi fattori primi mancano comunque dalla lista. E 13 × 2,310 = 30,030 conferma il resto di 1 dividendo per 13.

Quali frazioni hanno decimali che si fermano?

Una frazione ha un decimale che si ferma quando il suo denominatore, ai minimi termini, non ha fattori primi diversi da 2 e 5. Perché ogni frazione termina o si ripete dà il motivo: i decimali contano in decimi, centesimi e millesimi, e ogni potenza di dieci è costruita solo da 2 e 5, dato che 10 = 2 × 5. Per $\frac{7}{20}$7/20, il denominatore è 2 × 2 × 5, quindi moltiplica sopra e sotto per 5 per ottenere $\frac{35}{100}$35/100, che sono 35 centesimi. Un denominatore con qualsiasi altro fattore primo non può mai raggiungere una potenza di dieci, quindi la divisione non finisce mai, e le cifre si ripetono invece. $\frac{1}{8}=0.125$1/8 = 0.125 si ferma; $\frac{1}{3}=0.333\dots$1/3 = 0.333… non può. Semplifica sempre prima, perché un fattore che si cancella non conta: $\frac{6}{15}$6/15 ha un 3 nel denominatore, ma $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$6/15 = 2/5, che si ferma. Per controllare un decimale che si ferma, scrivilo come frazione su una potenza di dieci: $\frac{1}{8}=\frac{125}{1000}$1/8 = 125/1000.

La ripetizione è inoltre garantita, non solo probabile: dividere per 7 può lasciare soltanto i resti da 1 a 6, quindi entro sette passi un resto deve ripetersi, e appena un resto si ripete lo fanno anche le cifre.

Trasformare i decimali periodici in frazioni fa girare il processo all'indietro con un trucco — moltiplica per una potenza di dieci per allineare il blocco che si ripete con se stesso, poi sottrai. x = 0.272727…, quindi 100x = 27.2727…, e 99x = 27, che dà $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$x = 27/99 = 3/11.

La stessa sottrazione chiude la discussione che la gente fa su Perché 0.999… è esattamente uno: x = 0.999…, 10x = 9.999…, quindi 9x = 9 e x = 1. Non quasi uno. Non c'è nessun numero in mezzo, e due numeri senza niente in mezzo sono un numero solo.

Che cos'è un numero irrazionale?

Un numero irrazionale è un numero che non si può scrivere come frazione con interi sopra e sotto. Numeri razionali e irrazionali traccia il confine usando i decimali: ogni frazione ha un decimale che si ferma o si ripete, quindi un decimale che continua all'infinito senza ripetersi non può essere una frazione. Gli esempi più noti sono $\sqrt{2}e$√2 e pi. Nessuna frazione al quadrato dà esattamente 2. Puoi avvicinarti, dato che ${\left(\frac{7}{5}\right)}^2=\frac{49}{25}$(7/5)² = 49/25, che è appena sotto 2, $e{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$e (3/2)² = 9/4, che è sopra 2, ma una dimostrazione mostra che nessuna frazione ci cade esattamente sopra. La radice quadrata di un quadrato perfetto è un intero, quindi $\sqrt{49}$√49 è 7, e la radice quadrata di $\frac{9}{4}$9/4 è $\frac{3}{2}$3/2. Un decimale lungo su una calcolatrice non dimostra nemmeno che un numero sia irrazionale, perché lo schermo si ferma dopo poche cifre. Ciò che decide è se il numero può essere scritto esattamente come un intero diviso per un altro.

La radice quadrata di due è irrazionale dimostra che almeno un numero così esiste, e lo fa di nuovo per assurdo. Scrivi $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$√2 = a/b ai minimi termini. Elevare al quadrato dà $a^2=2b^2$a² = 2b², quindi $a^2$a² è pari, quindi a è pari. Scrivi a = 2c e la stessa equazione diventa $b^2=2c^2$b² = 2c², quindi anche b è pari. Ma una frazione ai minimi termini non può avere entrambe le parti pari. L'assunzione è impossibile, quindi una tale frazione non esiste.

Due idee più antiche completano il ramo. Frazioni egizie e l'algoritmo goloso guarda una notazione che permetteva solo frazioni unitarie — $\frac{3}{7}=\frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$3/7 = 1/3 + 1/11 + 1/231 — e il metodo goloso che termina sempre, che è un vero teorema nascosto in una curiosità. Frazioni continue scrive un numero come un nido di reciproci e produce le migliori approssimazioni frazionarie possibili: è da lì che viene $\frac{355}{113}$355/113, un valore di pi greco corretto fino a sette cifre con numeri di tre.

I tre errori che vale la pena nominare

• Chiamare primo l'1. È escluso di proposito: se 1 fosse primo, la fattorizzazione in primi smetterebbe di essere unica, perché potresti incollarci quanti 1 vuoi.
• Confondere le due liste. I fattori sono finiti e stanno sotto il numero; i multipli sono infiniti e stanno sopra.
• Leggere 0.999… come "appena sotto 1". Un decimale periodico non è un numero che striscia verso un limite; è il limite, scritto.

Dove porta tutto questo

I fattori sono il motore sotto l'aritmetica delle frazioni — vedi frazioni, equivalenza e numeri misti — e la domanda del fermarsi-o-ripetersi passa dritta alla guida ai decimali. Potenze, radici e radicali continuano il filo irrazionale in espressioni algebriche, esponenti e radicali (in inglese).