अनुपात, दर और समानुपात

अनुपात पहला विषय है जहाँ अंकगणित आसान है और पढ़ना कठिन। 360 ÷ 9 शायद ही किसी से ग़लत हो; पर 4:5 का अनुपात होने पर 4 से भाग बहुतों से हो जाता है — क्योंकि उन्होंने हिस्से की तुलना हिस्से से की, जबकि सवाल हिस्से की तुलना पूरे से करा रहा था।

तो यह पन्ना उसी फ़र्क़ के इर्द-गिर्द जमा है। अनुपात दो हिस्सों की आपस में तुलना करता है। भिन्न एक हिस्से की पूरे से। दर अलग-अलग इकाइयों की दो मात्राओं की। ये तीन सीधे हो जाएँ, तो बाक़ी सब गुणा है।

अनुपात क्या है?

अनुपात बताता है कि किसी चीज़ के हिस्से आकार में कैसे जुड़े हैं। अनुपात विसर्ग-लिखावट से शुरू करता है — लाल : नीला = 2 : 3 यानी हर तीन नीलों पर दो लाल — और हिस्से-से-पूरे के अनुपात फ़ौरन वह बदलाव कर देता है जिस पर बाक़ी सब टिका है: हिस्से जोड़ने पर पाँच मिलते हैं, तो लाल कुल का $\frac{2}{5}$2/5 है, $\frac{2}{3}$2/3 नहीं।

अनुपात को सुथराना भिन्न सरल करने जैसा चलता है — हर हिस्से को साझे गुणनखंड से भाग दीजिए, तो 12 : 18 बन जाता है 2 : 3 — और यह बिना बदले तीन हिस्सों वाले अनुपात तक फैल जाता है। अनुपात, भिन्न, प्रतिशत अनुवाद-सारणी पूरी करता है: 2 : 3 यानी पूरे का $\frac{2}{5}$2/5, यानी 40%।

रक़म को अनुपात में बाँटना

हिस्से जोड़िए, भाग दीजिए, गुणा करके फैलाइए। 360 को 4 : 5 में बाँटिए → 9 हिस्से → एक हिस्सा 40 → बँटवारे 160 और 200. जाँच यह कि बँटवारे जोड़कर मूल रक़म बनें।

अनुपात के बार मॉडल वह चित्र है जो इसे ग़लत करना मुश्किल कर देता है: दो गुटों में नौ बराबर डिब्बे, और सवाल ज़ाहिर हो जाता है। यह जितना दिखता है उससे कहीं आगे तक काम देता है — इस पन्ने के सबसे पेचीदा सवाल भी बार खींचकर हल हो जाते हैं।

दो अनुपातों को जोड़ना साझे बीच वाले पद की सूरत सँभालता है। A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 हों, तो दोनों B आपस में नहीं मिलते — हर अनुपात को तब तक स्केल कीजिए जब तक वे मिल न जाएँ: A : B = 8 : 12 और B : C = 12 : 15, यानी A : B : C = 8 : 12 : 15।

ऐकिक विधि इस सबके नीचे बैठा हरफ़नमौला औज़ार है: एक इकाई निकालिए, फिर गुणा कर लीजिए। 7 कॉपियाँ 21 की, तो एक 3 की, तो 12 कॉपियाँ 36 की. यह कभी सबसे तेज़ नहीं होती और कभी नाकाम नहीं होती — इसीलिए उलझाकर लिखे सवाल पर हाथ इसी की ओर जाना चाहिए। स्केल गुणक वही विचार गुणक के नाम से है — वह संख्या जो एक मात्रा को उसके जोड़ीदार तक ले जाती है।

दर क्या है?

दर अलग-अलग इकाइयों में नपी दो मात्राओं की तुलना करती है, तो उसकी क़ीमत दोनों को साथ ढोती है। दरें विचार से मिलवाता है और दर, कुल, इकाइयाँ उन्हें जोड़ने वाला त्रिभुज देता है: दर × इकाइयाँ = कुल — तीन में से कोई दो, तीसरे को निकाल देते हैं।

इकाई-दरों की तुलना व्यावहारिक हुनर है — 3.60 का 750 ग्राम डिब्बा बनाम 5.40 का 1.2 किलो डिब्बा यानी प्रति 100 ग्राम 0.48 बनाम 0.45 — और सुपरमार्केट की शेल्फ़-पर्ची की पूरी इबारत यही है। विनिमय दरें वही अंकगणित है, बस यह ध्यान बढ़ाकर कि दर का मुँह किस ओर है — सचमुच ग़लती-ख़ेज़ हिस्सा बस वही है।

चाल, घनत्व और दाब

चाल प्रति इकाई समय की दूरी है — वह दर जो सबके पास पहले से सहज है। औसत चाल वह जगह है जहाँ सहजता धोखा देती है: वह कुल दूरी भागा कुल समय है, चालों का औसत नहीं। एक ही सड़क पर 60 से जाकर 30 से लौटने का औसत 40 है, 45 नहीं — धीमा पड़ाव दुगुना समय लेता है, इसलिए दुगुना गिना जाता है।

घनत्व (द्रव्यमान प्रति आयतन) और दाब (बल प्रति क्षेत्रफल) वही त्रिभुज हैं, लेबल बदले हुए — इन्हें साथ पढ़ाने की बात ही यही है: एक रिश्ता, तीन विषय।

संयुक्त इकाइयों का रूपांतरण वह क़दम है जो भौतिकी में भी उतनी ही बार छूटता है जितना गणित में। ऊपर और नीचे को अलग-अलग बदलिए: 72 km/h → 72,000 m/h → 72,000 ÷ 3,600 = 20 m/s. दोनों एक साथ सँभालने में ही ग़लतियाँ बसती हैं।

प्रत्यक्ष समानुपात और प्रतिलोम समानुपात

प्रत्यक्ष समानुपात में एक मात्रा दुगुनी होने पर दूसरी भी दुगुनी होती है और अनुपात बँधा रहता है। प्रतिलोम में एक दुगुनी होने पर दूसरी आधी होती है और गुणनफल बँधा रहता है।

प्रत्यक्ष समानुपात यानी y = kx — मूल-बिंदु से गुज़रती सीधी रेखा। प्रतिलोम समानुपात यानी xy = k: चार रंगसाज़ छह दिन लें तो आठ रंगसाज़ तीन, क्योंकि कुल काम — चौबीस रंगसाज़-दिन — ही स्थिर रहता है।

आनुपातिकता का अचर ख़ुद वह संख्या k है, और उसे नाम देना ही समानुपात के सवाल को ताड़ने के पैटर्न से उठाकर हल करने लायक़ समीकरण बना देता है। इकाई-मान से समानुपात यहाँ लगी ऐकिक विधि है, एक-एक क़दम।

नक़्शे के स्केल बँधे अचर वाला प्रत्यक्ष समानुपात हैं, और लिखावट गाँठ बाँधने लायक़ है: 1 : 50,000 यानी नक़्शे का 1 सेमी ज़मीन पर 50,000 सेमी — आधा किलोमीटर।

पहले-बाद वाले अनुपात के सवाल

यही वे सवाल हैं जो आश्वस्त विद्यार्थियों को बाक़ियों से अलग करते हैं, और विधि हमेशा एक है: ढूँढ़िए कि क्या नहीं बदला, और दोनों अनुपातों को इस तरह स्केल कीजिए कि वह अनबदली चीज़ दोनों में एक ही गिनती के हिस्सों में लिखी हो।

हिस्से से मिलाने के लिए अनुपात को दोबारा लिखना ख़ुद वह स्केलिंग सिखाता है। फिर तीन शक्लें हैं, और वे इस क़िस्म के लगभग हर परीक्षा-प्रश्न को ढँक लेती हैं:

• स्थिर हिस्से वाले अनुपात — एक मात्रा अनछुई है और दूसरी बदलती है, तो उस हिस्से की संख्या दोनों अनुपातों में बराबर कर दीजिए।
• स्थिर योग वाले अनुपात — चीज़ें दो गुटों के बीच खिसकती हैं पर कुछ आता-जाता नहीं, तो योग मिलने चाहिए।
• स्थिर अंतर वाले अनुपात — दोनों बराबर रक़म से बढ़ते हैं, जैसे उम्रें, तो उनके बीच का फ़ासला ही अचर है।

पहले-बाद वाले अनुपात के सवाल इन्हें जोड़ता है। दो लोग पैसा 5 : 3 में बाँटते हैं। एक के 12 दे देने पर दोनों बराबर हो जाते हैं। 2 हिस्सों का अंतर पहले 12 था, और पूरा 12 बड़े बँटवारे से बाहर गया, तो एक हिस्सा 6 है और बँटवारे थे 30 और 18.

क्षेत्रफल और आयतन की स्केलिंग

क्षेत्रफल की स्केलिंग वह नतीजा है जिस पर लोग दो बार चौंकते हैं। हर लंबाई को 3 से स्केल करना क्षेत्रफल को $3^2=9$3² = 9 से गुणा कर देता है, क्योंकि लंबाई और चौड़ाई दोनों तिगुनी हुईं। आयतन घन से चलता है।

इसीलिए 1 : 50,000 वाले नक़्शे का क्षेत्रफल-स्केल 1 : 2,500,000,000 होता है, और केक के साँचे की चौड़ाई दुगुनी करने पर घोल दो नहीं, चार गुना चाहिए।

इबारती सवाल में प्रत्यक्ष और प्रतिलोम कैसे पहचानें?

पूछिए कि पहली मात्रा दुगुनी होने पर दूसरी का क्या होता है। वह भी दुगुनी हो तो रिश्ता प्रत्यक्ष है; आधी हो तो प्रतिलोम। यह एक परख कीवर्ड ढूँढ़ने से ज़्यादा भरोसेमंद है, क्योंकि वही शब्द दोनों क़िस्म के सवालों में आते हैं।

फिर अचर जाँचिए। प्रत्यक्ष रिश्ते में हर जोड़ी मानों का भागफल एक ही आता है; प्रतिलोम में गुणनफल। दिए हुए आँकड़ों में दोनों में से कोई स्थिर न हो, तो रिश्ता समानुपाती है ही नहीं — और कोई स्केलिंग उसे क़ाबू में नहीं लाएगी।

चार ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• योग की जगह एक हिस्से से भाग देना। 4 : 5 में बाँटने का मतलब 9 से भाग है। कुल पहले लिखिए, हर बार।
• दो चालों का औसत निकालना। कुल दूरी भागा कुल समय। धीमा पड़ाव लंबा चलता है, तो ज़्यादा गिना जाता है।
• संयुक्त इकाई का आधा हिस्सा बदलना। km/h से m/s के लिए ऊपर और नीचे — दोनों चाहिए।
• क्षेत्रफल को लंबाई के गुणक से स्केल करना। लंबाइयाँ k से चलती हैं, क्षेत्रफल k² से, आयतन k³ से।

यह आगे कहाँ ले जाता है

अनुपात, बयान के बजाय हिस्सों की तुलना में लगी भिन्नें हैं — तो नीचे का विषय तुल्य भिन्न और मिश्र भिन्न है, और प्रतिशत वह अनुपात है जिसका कुल सौ पर बाँध दिया गया। आनुपातिकता के अचर को नाम देना बीजीय लिखावट (अंग्रेज़ी में) की पहली सीढ़ी है, और मूल-बिंदु से गुज़रती सीधी रेखा वह जगह जहाँ समीकरण (अंग्रेज़ी में) कमान सँभाल लेते हैं।

खेल में अभ्यास

Math Challenge ऊपर का हर पायदान सचित्र पाठ की तरह सिखाता है — बार मॉडल खिंचा हुआ, पहले-बाद वाला अचर उभारा हुआ, संयुक्त इकाई का रूपांतरण दो दिखते क़दमों में — 800+ पाठों की सूची के भीतर।

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