Razón, tasas y proporción

La razón es el primer tema donde la aritmética es fácil y la lectura es difícil. Casi nadie falla 360 ÷ 9; mucha gente divide entre 4 cuando la razón era 4:5, porque comparó una parte con una parte donde la pregunta comparaba una parte con el todo.

Así que esta página está organizada alrededor de esa distinción. Una razón compara dos partes entre sí. Una fracción compara una parte con el todo. Una tasa compara dos cantidades en unidades distintas. Deja claras esas tres y el resto es multiplicar.

¿Qué es una razón?

Una razón dice cómo se relacionan en tamaño las partes de algo. Razón empieza con la notación de dos puntos — rojo : azul = 2 : 3 significa dos rojos por cada tres azules — y Razones de parte a todo hace de inmediato la conversión de la que depende todo lo demás: sumar las partes da cinco, así que el rojo es $\frac{2}{5}$2/5 del total, no $\frac{2}{3}$2/3.

Ordenar una razón funciona como simplificar una fracción — divide cada parte entre su factor común, y 12 : 18 se convierte en 2 : 3 — y se extiende a las Razones de tres partes sin cambiar. Razón, fracción, porcentaje completa la tabla de traducción: 2 : 3 es $\frac{2}{5}$2/5 del todo, que es el 40%.

Repartir una cantidad en una razón

Suma las partes, divide, multiplica. Reparte 360 en razón 4 : $5\to 9$5 → 9 partes → una parte es 40 → porciones de 160 y 200. La comprobación es que las porciones vuelven a sumar el original.

Modelos de barras para razones es el dibujo que hace esto difícil de fallar: nueve cajas iguales en dos grupos, y la pregunta se vuelve evidente. Sigue siendo útil mucho más tiempo del que aparenta — los problemas más retorcidos de esta página aún se resuelven dibujando las barras.

Combinar dos razones maneja el caso con un término medio compartido. Si A : B = 2 : 3 y B : C = 4 : 5, las dos B no coinciden, así que escala cada razón hasta que lo hagan: A : B = 8 : 12 y B : C = 12 : 15, que dan A : B : C = 8 : 12 : 15.

El método unitario es la herramienta de propósito general que hay debajo de todo esto: halla una unidad y multiplica. 7 cuadernos cuestan 21, así que uno cuesta 3, así que 12 cuestan 36. Nunca es el método más rápido y nunca falla, lo que lo convierte en lo correcto a lo que recurrir cuando una pregunta está redactada para confundir. Factor de escala es la misma idea nombrada como multiplicador — el número que lleva una cantidad hasta su pareja.

¿Qué es una tasa?

Una tasa compara dos cantidades medidas en unidades distintas, así que su valor carga con las dos. Tasas presenta la idea y Tasa, total, unidades da el triángulo que las conecta: tasa × unidades = total, y dos cualesquiera de las tres encuentran la tercera.

Comparar tasas unitarias es la destreza práctica — una caja de 750 g a 3.60 contra una de 1.2 kg a 5.40 es 0.48 contra 0.45 por cada 100 g — y es todo el contenido de una etiqueta de estantería de supermercado. Tipos de cambio es la misma aritmética con el cuidado añadido de saber hacia dónde apunta la tasa, que es la única parte genuinamente propensa a error.

Velocidad, densidad y presión

Velocidad es distancia por unidad de tiempo, la tasa que todo el mundo ya posee por intuición. Velocidad media es donde la intuición falla: es la distancia total dividida entre el tiempo total, no la media de las velocidades. Ir a 60 y volver a 30 por la misma carretera promedia 40, no 45, porque el tramo lento dura el doble y por tanto cuenta el doble.

Densidad (masa por volumen) y Presión (fuerza por área) son el mismo triángulo con etiquetas distintas, que es la gracia de enseñarlas juntas — una relación, tres asignaturas.

Convertir unidades compuestas es el paso que se salta en física tan a menudo como en matemáticas. Convierte el arriba y el abajo por separado: 72 km/h → 72,000 m/h → 72,000 ÷ 3,600 = 20 m/s. Manejar los dos a la vez es donde viven los errores.

Proporción directa y proporción inversa

En la proporción directa, doblar una cantidad dobla la otra y la razón queda fija. En la inversa, doblar una divide la otra a la mitad y el producto queda fijo.

Proporción directa es y = kx, una recta que pasa por el origen. Proporción inversa es xy = k: que cuatro pintores tarden seis días significa que ocho pintores tardan tres, porque el trabajo total — veinticuatro días-pintor — es lo que queda constante.

La constante de proporcionalidad es el propio número k, y nombrarlo es lo que convierte una pregunta de proporción en una ecuación que puedes resolver y no en un patrón que tienes que adivinar. Proporción por valor unitario es el método unitario aplicado aquí, paso a paso.

Escalas de mapas es proporción directa con una constante fija, y merece clavar la notación: 1 : 50,000 significa que 1 cm en el mapa son 50,000 cm — medio kilómetro — sobre el terreno.

Problemas de razones de antes y después

Estas son las preguntas que separan a los estudiantes seguros del resto, y el método es siempre el mismo: encuentra lo que no cambió, y escala las dos razones para que lo que no cambió esté escrito con el mismo número de partes.

Reescribir una razón para igualar una parte enseña el propio movimiento de escalado. Luego hay tres formas, y cubren casi todas las preguntas de examen de este tipo:

• Razones con una parte constante — una cantidad queda intacta mientras la otra cambia, así que iguala el número de esa parte en las dos razones.
• Razones con un total constante — las cosas se mueven entre dos grupos pero nada entra ni sale, así que los totales deben coincidir.
• Razones con una diferencia constante — las dos crecen en la misma cantidad, como las edades, así que el hueco entre ellas es el invariante.

Problemas de razones de antes y después los junta. Dos personas se reparten dinero 5 : 3. Después de que una regale 12, quedan iguales. La diferencia de 2 partes era 12 antes, y los 12 enteros salieron de la porción grande hacia nadie, así que una parte es 6 y las porciones eran 30 y 18.

Escalar área y volumen

Escalar el área es el resultado que sorprende a la gente dos veces. Escalar cada longitud por 3 multiplica el área por $3^2=9$3² = 9, porque el largo y el ancho se triplicaron los dos. El volumen va por el cubo.

Por eso un mapa con escala 1 : 50,000 tiene una escala de áreas de 1 : 2,500,000,000, y por eso doblar el ancho de un molde de tarta necesita cuatro veces la masa y no dos.

¿Cómo se distingue la directa de la inversa en un problema con palabras?

Pregunta qué le pasa a la segunda cantidad cuando la primera se dobla. Si también se dobla, la relación es directa; si se reduce a la mitad, la relación es inversa. Esa única prueba es más fiable que buscar palabras clave, porque las mismas palabras aparecen en los dos tipos de pregunta.

Después comprueba el invariante. En una relación directa cada pareja de valores da el mismo cociente; en una inversa, el mismo producto. Si ninguno es constante en los datos que te dieron, la relación no es proporcional en absoluto, y ninguna cantidad de escalado la hará portarse bien.

Los cuatro errores que conviene nombrar

• Dividir entre una parte en vez de entre el total. Repartir en 4 : 5 significa dividir entre 9. Escribe el total primero, todas las veces.
• Promediar dos velocidades. Distancia total entre tiempo total. El tramo lento dura más, así que cuenta más.
• Convertir la mitad de una unidad compuesta. De km/h a m/s hacen falta el arriba y el abajo.
• Escalar el área por el factor de longitud. Las longitudes van por k, las áreas por k², los volúmenes por k³.

Adónde lleva esto

La razón es las fracciones usadas para comparar partes en vez de describirlas, así que fracciones equivalentes y números mixtos es el tema que hay debajo, y los porcentajes son una razón con el total fijado en cien. Nombrar la constante de proporcionalidad es el primer paso hacia la notación algebraica (en inglés), y la recta que pasa por el origen es donde toman el relevo las ecuaciones (en inglés).

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