Rapporto, tassi e proporzione

Il rapporto è il primo argomento dove l'aritmetica è facile e la lettura è difficile. Quasi nessuno sbaglia 360 ÷ 9; in tanti dividono per 4 quando il rapporto era 4:5, perché hanno confrontato una parte con una parte dove la domanda confrontava una parte con il tutto.

Quindi questa pagina è organizzata attorno a quella distinzione. Un rapporto confronta due parti fra loro. Una frazione confronta una parte con il tutto. Un tasso confronta due quantità in unità diverse. Metti in chiaro queste tre e il resto è moltiplicazione.

Che cos'è un rapporto?

Un rapporto dice come le parti di qualcosa si relazionano in grandezza. Rapporto comincia con la notazione a due punti — rosso : blu = 2 : 3 significa due rossi ogni tre blu — e Rapporti parte-tutto fa subito la conversione da cui dipende tutto il resto: sommare le parti dà cinque, quindi il rosso è $\frac{2}{5}$2/5 del totale, non $\frac{2}{3}$2/3.

Riordinare un rapporto funziona come semplificare una frazione — dividi ogni parte per il loro fattore comune, così 12 : 18 diventa 2 : 3 — e si estende ai Rapporti a tre parti senza cambiare. Rapporto, frazione, percentuale completa la tabella di traduzione: 2 : 3 è $\frac{2}{5}$2/5 del tutto, cioè il 40%.

Spartire una somma in un rapporto

Somma le parti, dividi, moltiplica. Spartisci 360 nel rapporto 4 : $5\to 9$5 → 9 parti → una parte è 40 → quote di 160 e 200. Il controllo è che le quote risommano all'originale.

Modelli a barre per i rapporti è il disegno che rende difficile sbagliare: nove caselle uguali in due gruppi, e la domanda diventa ovvia. Resta utile molto più a lungo di quanto sembri — i problemi più intricati di questa pagina si risolvono ancora disegnando le barre.

Combinare due rapporti gestisce il caso con un termine di mezzo condiviso. Se A : B = 2 : 3 e B : C = 4 : 5, i due B non coincidono, quindi scala ogni rapporto finché non lo fanno: A : B = 8 : 12 e B : C = 12 : 15, che danno A : B : C = 8 : 12 : 15.

Il metodo unitario è lo strumento universale sotto tutto questo: trova una unità, poi moltiplica. 7 quaderni costano 21, quindi uno costa 3, quindi 12 costano 36. Non è mai il metodo più veloce e non fallisce mai, il che lo rende la cosa giusta a cui ricorrere quando una domanda è formulata per confondere. Fattore di scala è la stessa idea nominata come moltiplicatore — il numero che porta una quantità alla sua compagna.

Che cos'è un tasso?

Un tasso confronta due quantità misurate in unità diverse, quindi il suo valore le porta entrambe. Tassi introduce l'idea e Tasso, totale, unità dà il triangolo che li collega: tasso × unità = totale, e due qualsiasi dei tre trovano il terzo.

Confrontare i tassi unitari è l'abilità pratica — una scatola da 750 g a 3.60 contro una da 1.2 kg a 5.40 è 0.48 contro 0.45 ogni 100 g — ed è tutto il contenuto di un'etichetta da scaffale del supermercato. Tassi di cambio è la stessa aritmetica con la cura in più di sapere da che parte punta il tasso, che è l'unica parte genuinamente soggetta a errore.

Velocità, densità e pressione

Velocità è distanza per unità di tempo, il tasso che tutti già possiedono per intuito. Velocità media è dove l'intuito fallisce: è la distanza totale divisa per il tempo totale, non la media delle velocità. Andare a 60 e tornare a 30 sulla stessa strada fa una media di 40, non 45, perché il tratto lento dura il doppio e quindi conta il doppio.

Densità (massa per volume) e Pressione (forza per area) sono lo stesso triangolo con etichette diverse, che è il punto dell'insegnarle insieme — una relazione, tre materie.

Convertire le unità composte è il passo che viene saltato in fisica tanto spesso quanto in matematica. Converti il sopra e il sotto separatamente: 72 km/h → 72,000 m/h → 72,000 ÷ 3,600 = 20 m/s. Gestirli tutti e due in una volta è dove abitano gli errori.

Proporzione diretta e proporzione inversa

Nella proporzione diretta, raddoppiare una quantità raddoppia l'altra e il rapporto resta fisso. In quella inversa, raddoppiare una dimezza l'altra e il prodotto resta fisso.

Proporzione diretta è y = kx, una retta per l'origine. Proporzione inversa è xy = k: quattro imbianchini che impiegano sei giorni significa che otto ne impiegano tre, perché il lavoro totale — ventiquattro giorni-imbianchino — è ciò che resta costante.

La costante di proporzionalità è il numero k stesso, e nominarlo è ciò che trasforma una domanda di proporzione in un'equazione che puoi risolvere invece che in uno schema da indovinare. Proporzione per valore unitario è il metodo unitario applicato qui, un passo alla volta.

Scale delle mappe è proporzione diretta con una costante fissa, e la notazione merita di essere inchiodata: 1 : 50,000 significa che 1 cm sulla mappa è 50,000 cm — mezzo chilometro — sul terreno.

Problemi di rapporti prima e dopo

Queste sono le domande che separano gli studenti sicuri dagli altri, e il metodo è sempre lo stesso: trova ciò che non è cambiato, e scala entrambi i rapporti così che la cosa immutata sia scritta con lo stesso numero di parti.

Riscrivere un rapporto per far combaciare una quota insegna la mossa di scala in sé. Poi ci sono tre forme, e coprono quasi ogni domanda d'esame di questo tipo:

• Rapporti con una parte costante — una quantità resta intatta mentre l'altra cambia, quindi rendi uguale il numero di quella parte in entrambi i rapporti.
• Rapporti con un totale costante — le cose si spostano fra due gruppi ma niente entra né esce, quindi i totali devono combaciare.
• Rapporti con una differenza costante — entrambi crescono della stessa quantità, come fanno le età, quindi il divario fra loro è l'invariante.

Problemi di rapporti prima e dopo li mette insieme. Due persone si spartiscono dei soldi 5 : 3. Dopo che una ne regala 12, sono pari. La differenza di 2 parti era 12 prima, e i 12 interi sono usciti dalla quota più grande verso nessuno, quindi una parte è 6 e le quote erano 30 e 18.

Scalare area e volume

Scalare l'area è il risultato che sorprende la gente due volte. Scalare ogni lunghezza per 3 moltiplica l'area per $3^2=9$3² = 9, perché lunghezza e larghezza sono triplicate entrambe. Il volume va col cubo.

È per questo che una mappa con scala 1 : 50,000 ha una scala delle aree di 1 : 2,500,000,000, e per cui raddoppiare la larghezza di uno stampo da torta richiede quattro volte l'impasto e non due.

Come si distingue la diretta dall'inversa in un problema a parole?

Chiediti che cosa succede alla seconda quantità quando la prima raddoppia. Se raddoppia anche lei, la relazione è diretta; se si dimezza, la relazione è inversa. Quel singolo test è più affidabile del cercare parole chiave, perché le stesse parole compaiono in entrambi i tipi di domanda.

Poi controlla l'invariante. In una relazione diretta ogni coppia di valori dà lo stesso quoziente; in una inversa, lo stesso prodotto. Se nessuno dei due è costante nei dati che ti hanno dato, la relazione non è affatto proporzionale, e nessuna quantità di scala la farà comportare bene.

I quattro errori che vale la pena nominare

• Dividere per una parte invece che per il totale. Spartire in 4 : 5 significa dividere per 9. Scrivi prima il totale, ogni volta.
• Fare la media di due velocità. Distanza totale su tempo totale. Il tratto lento dura di più, quindi conta di più.
• Convertire metà di un'unità composta. Da km/h a m/s servono sia il sopra sia il sotto.
• Scalare l'area col fattore delle lunghezze. Le lunghezze vanno per k, le aree per k², i volumi per k³.

Dove porta tutto questo

Il rapporto è le frazioni usate per confrontare parti invece che per descriverle, quindi frazioni equivalenti e numeri misti è l'argomento che ci sta sotto, e le percentuali sono un rapporto col totale fissato a cento. Nominare la costante di proporzionalità è il primo passo verso la notazione algebrica (in inglese), e la retta per l'origine è dove prendono il testimone le equazioni (in inglese).

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