Metodi aritmetici

Ci sono due modi di fare un calcolo, e la fluidità sta soprattutto nello scegliere in fretta fra i due. Un metodo mentale rimodella i numeri in altri più facili — è veloce, ma dipende dal fatto che i numeri collaborino. Un metodo scritto ignora che aspetto hanno i numeri e li macina a un costo costante.

Entrambi poggiano sulla stessa idea: il valore posizionale. Riportare, chiedere in prestito, spezzare e raddoppiare sono lo stesso impacchettare e spacchettare decine, fatto in notazioni diverse. Questa pagina percorre l'intera scala, con un esempio svolto a ogni piolo e il motivo per cui funziona.

Da dove comincia l'addizione?

Comincia con quantità abbastanza piccole da vedersi. Sommare entro il venti e Togliere sono la prima coppia, e restano di proposito dentro il raggio in cui un bambino può controllare la risposta guardando invece che fidandosi di una regola.

Moltiplicazione e divisione cominciano allo stesso modo, come disposizioni più che come fatti. Gruppi uguali stabilisce che moltiplicare conta gruppi della stessa misura, Righe e colonne stende quei gruppi come un rettangolo, così 3 × 4 e 4 × 3 sono visibilmente lo stesso rettangolo girato di lato, e Distribuire in parti uguali introduce la divisione come la domanda a cui il rettangolo risponde all'indietro. La guida alle tabelline si occupa di rendere automatico quel ricordo, che tutto ciò che segue dà per scontato.

Come si somma a mente?

Trasformando il conto in un conto più facile che ha la stessa risposta. Ci sono cinque mosse che vale la pena possedere, e fra loro coprono quasi tutto.

Riordina. Sommare in qualunque ordine è la licenza per tutto il resto: 7 + 24 + 3 diventa 7 + 3 + 24 = 34, perché all'addizione non importa in che ordine la si serve.

Spezza. Sommare spezzando rompe un numero lungo i suoi valori posizionali — $46+37\to 40+30=70$46 + 37 → 40 + 30 = 70, poi 6 + 7 = 13, quindi 83. È l'addizione in colonna detta ad alta voce, da sinistra a destra.

Passa per il dieci. Passare per il dieci usa il dieci come pietra di guado: $8+5\to 8+2=10$8 + 5 → 8 + 2 = 10, poi altri 3 = 13. È la mossa singola più utile di tutta l'aritmetica dei primi anni, perché il dieci è dove la notazione cambia marcia.

Raddoppia. Doppi e quasi doppi trasforma 7 + 8 in 7 + 7 + 1 = 15. I doppi si ricordano più in fretta di ogni altro fatto di addizione, quindi tutto ciò che dista uno da un doppio è quasi gratis.

Arrotonda e aggiusta. Arrotondare e aggiustare è quella che gli adulti usano di più: $198+47\to 200+47=247$198 + 47 → 200 + 47 = 247, poi riprenditi il $2\to 245$2 → 245.

Sottrarre senza togliere

La sottrazione ha le sue due mosse, e nessuna è "togliere". Contare in su per sottrarre legge 82 − 67 come il divario da 67 a 82: tre per arrivare a 70, poi altri dodici, quindi 15. È così che i negozianti davano il resto prima che lo facessero le casse.

La stessa differenza è la più potente. Fai scivolare entrambi i numeri della stessa quantità e il divario fra loro resta intatto, quindi 82 − 67 = 85 − 70 = 15. Scegli lo scivolamento che rende tondo il secondo numero e la sottrazione smette di essere lavoro.

Come funziona davvero l'addizione in colonna?

Funziona perché una colonna può contenere una sola cifra, e dieci di qualcosa sono uno della cosa successiva. Allineare le colonne è il passo che la gente salta e poi paga: unità sotto unità, decine sotto decine, così che si sommi sempre solo il simile col simile.

Il riporto è ciò che accade quando una colonna trabocca. 47 + 38: 7 + 8 = 15 unità. Dieci di quelle si impacchettano in una decina, riportata di là; il 5 resta. Poi 4 + 3 + 1 = 8 decine. Risposta: 85.

Riporti in più di una colonna mostra la cascata — un riporto può innescare il successivo, e niente della regola cambia quando succede.

Il prestito, e il prestito oltre uno zero

Chiedere in prestito è il riporto fatto girare all'indietro: spacchetta una decina della colonna successiva in dieci unità, così la sottrazione in questa colonna diventa possibile. 52 − 27: 2 − 7 non si può, quindi prendi una decina: 12 − 7 = 5, poi 4 − 2 = 2. Risposta: 25.

Il prestito oltre lo zero gestisce il caso che blocca la gente. 300 − 176: la colonna delle decine non ha niente da prestare, quindi il centinaio arriva e viene spacchettato due volte — 2 centinaia, 9 decine, 10 unità — e la sottrazione corre poi normalmente fino a dare 124. La fila di nove che compare non è un trucco; è l'aspetto che ha un centinaio quando viene rotto in decine e unità.

Come si moltiplica e si divide a mente?

Allo stesso modo: prima rimodella, poi calcola. Moltiplicare per dieci e per cento è l'ancora — ogni cifra scivola di un posto a sinistra, e il motivo è il valore posizionale e non "aggiungi uno zero", che è una regola che fallisce nel momento in cui arrivano i decimali.

Moltiplicare spezzando è il cavallo da tiro: $7\times 34\to 7\times 30=210$7 × 34 → 7 × 30 = 210, 7 × 4 = 28, totale 238. Raddoppiare per moltiplicare raggiunge ×4 e ×8 raddoppiando due o tre volte, e fa coppia con Dimezzare per dividere, che trasforma ÷4 in dimezzare due volte.

Dividere spezzando rompe invece il dividendo in pezzi comodi: $96÷4\to 80÷4=20$96 ÷ 4 → 80 ÷ 4 = 20, 16 ÷ 4 = 4, quindi 24. E Arrotondare per stimare è l'abitudine che cattura la risposta sbagliata prima che tu abbia finito di crederci — $38\times 52\approx 40\times 50=2$38 × 52 ≈ 40 × 50 = 2,000, quindi una risposta vicina a 200 o a 20,000 è una cifra fuori posto. La guida alla divisione va più a fondo sul lato mentale del dividere.

Come si fanno la moltiplicazione e la divisione in colonna?

Moltiplicare in colonna prende il metodo dello spezzare e lo mette per iscritto, così niente deve restare in testa. Due cifre per due cifre lo fa poi due volte e somma i due prodotti parziali, ed è per questo che la seconda riga è spostata di un posto a sinistra — quella riga sta moltiplicando per decine, quindi va scritta dove si scrivono le decine.

$24\times 36\to 24\times 6=144$24 × 36 → 24 × 6 = 144, e 24 × 30 = 720, quindi 864.

La divisione in colonna è quella con la cattiva fama, e la cura è sapere che cosa fa ogni ciclo: tratta esattamente un valore posizionale, da sinistra, e i quattro passi si ripetono immutati.

1. Dividi: quante volte il divisore ci sta nella parte che stai guardando?
2. Moltiplica: quella cifra per il divisore, scritto sotto.
3. Sottrai: ciò che avanza dalla parte che hai già trattato.
4. Abbassa la cifra successiva, e torna al passo uno.

852 ÷ 4 → il 4 in 8 ci sta 2; abbassa il 5, il 4 in 5 ci sta 1 con resto 1; abbassa il 2 per fare 12, il 4 in 12 ci sta 3. Risposta: 213.

Quando l'ultima sottrazione non arriva a zero, ciò che resta è un resto, e Resti riguarda il decidere che cosa farne — arrotondare in su, in giù, o tenerlo come frazione — che è una domanda sulla situazione, non sull'aritmetica. Tredici bambini che vanno quattro per auto sono tre auto con resto uno, e la risposta è quattro auto.

Perché la moltiplicazione viene prima dell'addizione?

Perché una moltiplicazione è una singola quantità impacchettata, non un'istruzione in attesa del suo turno. In 2 + 3 × 4, il 3 × 4 significa tre volte quattro — una quantità, dodici — quindi la somma è 14.

Moltiplicare e dividere prima di sommare e sottrarre sviluppa quell'argomento per bene, e Prima le parentesi introduce la notazione per porre l'altra domanda di proposito: (2 + 3) × 4 = 20. Parentesi con le quattro operazioni mette poi insieme ogni piolo, compresa la trappola del da-sinistra-a-destra dove 8 ÷ 2 × 4 = 16 e non 1. C'è una guida all'ordine delle operazioni dedicata, se è quella la domanda che ti ha portato qui.

I quattro errori che vale la pena nominare

• Allineare le estremità invece dei posti. In un conto in colonna, le colonne sono tutto il punto; le estremità irregolari a destra vanno bene, i valori posizionali disallineati no.
• "Aggiungi uno zero" per moltiplicare per dieci. Funziona con gli interi e si rompe subito con 3.5 × 10. Le cifre scivolano; il punto sta fermo.
• Scegliere un metodo scritto per numeri amichevoli. 198 + 47 in colonna è più lento e più soggetto a errori di arrotondare e aggiustare.
• Buttare un resto senza chiedersi niente. Che cosa significa un resto dipende interamente da che cosa si sta dividendo.

Dove porta tutto questo

Questi metodi poggiano tutti sulle colonne descritte in numeri interi e valore posizionale, e si estendono oltre il punto decimale senza cambiare — la scala di decimali e percentuali (in inglese) li raccoglie lì. Chiedersi quali divisioni escono esatte porta a fattori, multipli e primi (in inglese).

Allenalo nel gioco

Math Challenge è un gioco di calcolo mentale, e ogni passo qui sopra ha dietro una lezione illustrata — una derivazione svolta con figure, poi problemi da provare che rispiegano esattamente la domanda che hai sbagliato. Stanno dentro un catalogo di oltre 800 lezioni che copre l'intera scala.

Per esercitarti invece di leggere, il tema Moltiplicazione si adatta ai fatti che continuano a costarti tempo, e la Sfida del Giorno non richiede account.

Allena la moltiplicazione gratis →