Equazioni di secondo grado e polinomi

Aggiornato 7 ottobre 2026

Un'equazione di secondo grado è qualunque equazione in cui la potenza più alta dell'incognita è due, e il motivo per cui merita un capitolo tutto suo è che è l'ultima famiglia di equazioni che si arrende sempre a una formula da imparare a memoria. Tutto ciò che sta sopra — terzo, quarto, quinto grado — o si scompone per fortuna o si risolve per via numerica.

Ci sono tre modi per risolverla, e non sono intercambiabili. Ognuno risponde a una domanda leggermente diversa, e sapere quale usare è gran parte dell'abilità.

Come si risolve un'equazione di secondo grado per scomposizione?

Per risolvere un'equazione di secondo grado per scomposizione, porta tutto da una parte in modo che dall'altra resti zero, scomponi in due parentesi e poni ciascuna uguale a zero. $x^2+5x+6=0$x² + 5x + 6 = 0 si scompone in (x + 2)(x + 3) = 0, quindi x = −2 oppure x = −3. Le parentesi vengono da due numeri che moltiplicati danno il termine noto e sommati danno il coefficiente di x: 2 e 3, perché 2 × 3 = 6 e 2 + 3 = 5. Funziona perché se due numeri moltiplicati danno zero, uno dei due è zero. Con $x^2+x=12$x² + x = 12, scrivere x(x + 1) = 12 non dimostra niente; prima sottrai 12, poi scomponi $x^2+x-12$x² + x − 12 come (x + 4)(x − 3), quindi x = −4 oppure x = 3. Verifica ogni radice nella sua equazione originale: per x = 3, 9 + 3 = 12, e per x = −2, 4 − 10 + 6 = 0.

La lezione su come risolvere per scomposizione allena la ricerca di quei due numeri finché diventa automatica.

E se non si scompone?

Quando un'equazione di secondo grado non si scompone, usa la formula risolutiva: $x=\left(-b\pm \sqrt{b^2-4ac}\right)$x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, con a, b e c presi da $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0. Per $x^2+4x+1=0$x² + 4x + 1 = 0, a = 1, b = 4 e c = 1. La parte sotto radice è 16 − 4 = 12, quindi $x=\left(-4\pm \sqrt{12}\right)$x = (−4 ± √12) / 2, che si semplifica in $-2\pm \sqrt{3}$−2 ± √3. La formula è il completamento del quadrato fatto una volta sola, sull'equazione generale. Vedi la formula risolutiva, che spiega il $\pm$± e il 2a. Se b è negativo, −b è positivo: per $x^2-6x+7=0$x² − 6x + 7 = 0, $b^2-4ac$b² − 4ac è 36 − 28 = 8, quindi $x=\left(6\pm \sqrt{8}\right)$x = (6 ± √8) / $2=3\pm \sqrt{2}$2 = 3 ± √2. Un numero negativo sotto radice significa nessuna soluzione reale. Per verifica, la somma delle radici è $-\frac{b}{a}$−b/a: $-2+\sqrt{3}$−2 + √3 e $-2-\sqrt{3}$−2 − √3 sommati danno −4.

$2x^2+3x-4=0\to x=\left(-3\pm \sqrt{9+32}\right)$2x² + 3x − 4 = 0 → x = (−3 ± √(9 + 32)) / $4=\left(-3\pm \sqrt{41}\right)$4 = (−3 ± √41) / 4.

La maggior parte delle equazioni di secondo grado reali non si scompone. Le scomposizioni con numeri interi sono un piccolo sottoinsieme fortunato, ed è per questo che gli esercizi dei libri ne sono pieni e i problemi di fisica quasi mai.

Da dove viene la formula risolutiva?

La formula risolutiva viene dal completamento del quadrato, fatto una volta sola su $a{x}^2+bx+c=0$ax² + bx + c = 0 invece che su ogni esercizio. Completare il quadrato trasforma i termini in $x^2$x² e in x in un'unica parentesi al quadrato. Per $x^2+8x+3=0$x² + 8x + 3 = 0, dimezza l'8, perché 8 ÷ 2 = 4, e nota che ${\left(x+4\right)}^2$(x + 4)² porta con sé un $4^2=16$4² = 16 in più. L'equazione diventa ${\left(x+4\right)}^2-16+3=0$(x + 4)² − 16 + 3 = 0, cioè ${\left(x+4\right)}^2=13$(x + 4)² = 13, quindi $x=-4\pm \sqrt{13}$x = −4 ± √13. Ripeti gli stessi passaggi con le lettere e ottieni la formula. Vedi ricavare la formula risolutiva. Quando il termine in $x^2$x² ha un coefficiente diverso da 1, dividi prima tutta l'equazione per quel coefficiente; da quella divisione viene il 2a. Per controllare il dimezzamento, sviluppa: ${\left(x+4\right)}^2-13$(x + 4)² − 13 è $x^2+8x+16-13$x² + 8x + 16 − 13, e 16 − 13 = 3 è il termine noto originale.

Completare il quadrato riscrive $x^2+6x-1$x² + 6x − 1 come ${\left(x+3\right)}^2-10$(x + 3)² − 10: dimezza il 6 per avere il 3 dentro la parentesi, poi sottrai il 9 che la parentesi si è portata dietro, insieme al −1 originale. Completare il quadrato è la lezione che fa sembrare il dimezzamento inevitabile invece che magico.

La forma riscritta vale più delle radici. ${\left(x+3\right)}^2-10$(x + 3)² − 10 dice a colpo d'occhio che il valore minimo è −10, raggiunto in x = −3, perché una parentesi al quadrato non è mai negativa e vale zero una sola volta.

Quante soluzioni ha un'equazione di secondo grado, e si può saperlo prima di risolverla?

Un'equazione di secondo grado ha due soluzioni reali, una o nessuna, e il discriminante (il delta), $b^2-4ac$b² − 4ac, dice quale caso è prima di risolvere. Positivo significa due, zero significa una radice doppia, negativo significa nessuna. Per $2x^2+3x-5=0$2x² + 3x − 5 = 0, il discriminante è 9 + 40 = 49, quindi le radici sono due. Per $x^2+2x+5=0$x² + 2x + 5 = 0, è 4 − 20 = −16, quindi non c'è soluzione reale. Il discriminante sta sotto la radice quadrata nella formula: un numero negativo non ha radice reale, e lo zero fa sì che $\pm$± non cambi niente. Vedi il discriminante e la natura delle radici. Se ti chiedono il k che rende uguali le radici, poni il discriminante uguale a zero: per $x^2+kx+9=0$x² + kx + 9 = 0, $k^2-36=0$k² − 36 = 0, quindi k = 6 oppure k = −6. Verifica k = 6: $x^2+6x+9$x² + 6x + 9 è ${\left(x+3\right)}^2$(x + 3)², e 3 × 3 = 9.

La stessa quantità risponde a una domanda che sembra scollegata: se un'espressione di secondo grado diventa mai negativa. Se a è positivo e il discriminante è negativo, la parabola sta tutta sopra l'asse, quindi l'espressione è sempre positiva per ogni x reale — un fatto che si usa di continuo nelle dimostrazioni e per controllare che un modello non possa produrre assurdità.

Quanto fa la somma delle due radici?

Le due radici di un'equazione di secondo grado hanno somma $-\frac{b}{a}$−b/a e prodotto $\frac{c}{a}$c/a, quindi entrambi si leggono sull'equazione senza risolverla. Per $2x^2-7x+3=0$2x² − 7x + 3 = 0, la somma è $\frac{7}{2}$7/2 e il prodotto è $\frac{3}{2}$3/2. Risolvere lo conferma: le radici sono 3 e $\frac{1}{2}$1/2, e $3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$3 + 1/2 = 7/2 mentre $3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$3 × 1/2 = 3/2. Vedi La somma e il prodotto delle radici. Entrambi i fatti vengono dalla forma scomposta. Sviluppando $a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)$a(x − α)(x − β) si ottiene $a{x}^2-a\left(\alpha +\beta \right)x+a\alpha \beta$ax² − a(α + β)x + aαβ, e confrontarla termine per termine con $a{x}^2+bx+c$ax² + bx + c impone le due relazioni. I segni ingannano: la somma porta un segno meno e il prodotto no, quindi per $x^2+5x+6=0$x² + 5x + 6 = 0 le radici hanno somma −5 e prodotto 6, il che le rende entrambe negative. Qui −2 e −3 rispettano tutti e due i fatti, perché −2 + −3 = −5 e −2 × −3 = 6.

Questo diventa uno strumento di costruzione. Se sai quali radici vuoi, puoi costruire l'equazione all'indietro, ed è proprio l'argomento di formare equazioni di secondo grado — se ti chiedono un'equazione con radici 2 e −5, scrivi $x^2-\left(\text{sum}\right)x+\left(\text{product}\right)=x^2+3x-10$x² − (sum)x + (product) = x² + 3x − 10 senza toccare una formula.

E vale anche più in alto. Un polinomio di terzo grado ha tre radici, che soddisfano tre relazioni corrispondenti; radici e coefficienti di un polinomio di terzo grado estende lo schema, e trasformare le radici di un polinomio mostra il trucco che ne segue: per trovare l'equazione con radici doppie di quelle vecchie, non ti servono mai le radici vecchie.

Come si risolve una disequazione di secondo grado?

Una disequazione di secondo grado si risolve trovando prima le radici, poi decidendo quale lato ti interessa. Per $x^2-x-6<0$x² − x − 6 < 0, l'espressione si scompone in (x + 2)(x − 3), quindi le radici sono −2 e 3. La parabola $y=x^2-x-6$y = x² − x − 6 è rivolta verso l'alto e scende sotto l'asse solo tra le sue radici, quindi la soluzione è −2 < x < 3. Il segno può cambiare solo dove la curva attraversa l'asse. Vedi Risolvere una disequazione di secondo grado. La soluzione si divide in due quando la disequazione chiede l'esterno: $x^2-x-6>0$x² − x − 6 > 0 vale per x < −2 oppure x > 3. Un coefficiente negativo davanti a $x^2$x² capovolge la parabola, quindi prima moltiplica tutto per −1 e inverti il verso. Prova un valore per ogni zona: x = 0 dà 0 − 0 − 6, un negativo, e x = 4 dà 16 − 4 − 6 = 6, un positivo.

La stessa prudenza vale per le disequazioni fratte, dove il denominatore può cambiare segno; moltiplicare senza conoscere quel segno è il modo classico per ottenere con sicurezza una risposta sbagliata.

Quando una retta taglia, tocca o manca una curva?

Per decidere se una retta taglia, tocca o manca una curva, sostituisci la retta nell'equazione della curva e leggi il discriminante dell'equazione di secondo grado che ottieni. Due soluzioni significano due intersezioni, una significa una tangente, nessuna significa che la manca. Per $y=x^2$y = x² e y = 2x + 3, porre $x^2=2x+3$x² = 2x + 3 dà $x^2-2x-3=0$x² − 2x − 3 = 0, con discriminante 4 + 12 = 16, quindi la retta taglia la curva in x = 3 e x = −1. Ogni soluzione è l'ascissa di un punto in comune. Vedi quando una retta taglia, tocca o manca una curva. Se la retta contiene un'incognita, come y = 2x + k, e deve essere tangente, poni il discriminante uguale a zero e risolvi rispetto a k: 4 + 4k = 0 dà k = −1. Verifica un punto d'incontro su entrambi i grafici: in x = 3, $3^2=9$3² = 9 e 2 × 3 + 3 = 9.

Per arrivarci serve il passaggio di sostituzione vero e proprio, che è l'argomento di un sistema con un'equazione di primo grado e una di secondo: ricava una variabile dall'equazione di primo grado, sostituiscila in quella di secondo grado e risolvi l'equazione in una sola variabile che ne viene fuori.

Equazioni che diventano di secondo grado

Moltissime equazioni che non somigliano affatto a una di secondo grado lo diventano dopo un solo passaggio. Eliminare un denominatore trasforma un'equazione fratta in un'equazione di secondo grado, e elevare al quadrato entrambi i membri fa lo stesso con un'equazione irrazionale.

Che cos'è il teorema binomiale?

Il teorema binomiale (il binomio di Newton) sviluppa una parentesi elevata a una potenza intera senza fare tutte le moltiplicazioni. ${\left(1+x\right)}^5=1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5$(1 + x)⁵ = 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵, e i suoi coefficienti sono la riga 5 del triangolo di Tartaglia. Ogni termine prende l'1 oppure la x da ciascuna delle cinque parentesi. Il termine in $x^2$x² conta i modi di scegliere le due parentesi che forniscono una x, e sono 5 × 4 ÷ 2 = 10. Vedi Il teorema binomiale. Quando il primo termine non è 1, le sue potenze entrano in ogni coefficiente. In ${\left(2+x\right)}^3$(2 + x)³ i coefficienti 1, 3, 3, 1 vengono moltiplicati per potenze decrescenti di 2, e si ottiene $8+12x+6x^2+x^3$8 + 12x + 6x² + x³, perché 3 × 4 = 12 e 3 × 2 = 6. Porre x = 1 verifica la riga: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32, cinque 2 moltiplicati tra loro.

Il teorema poi si estende oltre le potenze intere, ed è lì che smette di essere una comodità algebrica e diventa uno strumento di approssimazione. La serie binomiale per un esponente negativo o frazionario trasforma cose come $\sqrt{1+x}$√(1 + x) e $\frac{1}{\left(1+x\right)}$1/(1 + x) in serie infinite che sono precise per x piccolo, e sviluppare (a + bx) a un esponente razionale tratta il caso in cui la parentesi non comincia comodamente con un 1 — prima raccogli la a, e la condizione di validità arriva insieme.

Come si scompone un polinomio di terzo grado?

Per scomporre un polinomio di terzo grado, trova una radice per tentativi, dividi per il fattore che ti dà e scomponi quello che resta. Per $x^3-6x^2+11x-6$x³ − 6x² + 11x − 6, prova x = 1: 1 − 6 + 11 − 6 = 0, quindi (x − 1) è un fattore. La divisione (per esempio con la regola di Ruffini) lascia $x^2-5x+6$x² − 5x + 6, cioè (x − 2)(x − 3), quindi il polinomio è (x − 1)(x − 2)(x − 3). Il teorema di Ruffini giustifica il tentativo: se x = a annulla un polinomio, allora (x − a) è un suo fattore. Bastano i divisori del termine noto. Vedi Il teorema del fattore e del resto. Quando la sostituzione non dà zero, il valore è invece il resto: in x = 4, 64 − 96 + 44 − 6 = 6, quindi dividendo per (x − 4) resta 6. Verifica la forma scomposta in x = 0, dove le parentesi danno −1 × −2 × −3 = −6, il termine noto.

Con coefficienti interi, per un polinomio di terzo grado che termina con −6 vale la pena provare solo $\pm 1$±1, $\pm 2$±2, $\pm 3$±3, $\pm 6$±6.

E se non c'è una soluzione esatta?

Quando non si può scrivere nessuna soluzione esatta, riscrivi l'equazione nella forma x = g(x), parti da una stima grossolana e rimetti ogni output come input del passo successivo. Di solito i valori si stabilizzano verso una radice. Per $x^2=2$x² = 2, una riscrittura possibile è $x=\left(x+\frac{2}{x}\right)/2$x = (x + 2/x) / 2. Partire da 1 dà $\left(1+2\right)÷2=\frac{3}{2}$(1 + 2) ÷ 2 = 3/2, e il passo successivo dà $\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right)÷2=\frac{17}{12}$(3/2 + 4/3) ÷ 2 = 17/12, già vicino a $\sqrt{2}$√2. Una radice è un punto fisso: la metti dentro ed esce lo stesso numero, quindi i valori vicini vengono attirati verso di lei. Vedi Risolvere equazioni per iterazione. Non tutte le riscritture si stabilizzano. Scritta come $x=\frac{2}{x}$x = 2/x, la stessa equazione manda 1 in 2 e 2 di nuovo in 1 per sempre, quindi prova un'altra forma quando i valori saltano di qua e di là. Sostituisci il risultato nell'equazione originale: 17 × 17 = 289 e 2 × 144 = 288, quindi $\frac{17}{12}$17/12 al quadrato è appena più di 2.

Questo conta più di quanto sembri. Oltre il quarto grado non esiste una formula generale per radicali, quindi l'iterazione non è un ripiego per pigri: per la maggior parte delle equazioni polinomiali che nascono nella pratica, è il metodo.

Gli errori da nominare

• Risolvere prima di portare a zero. (x + 2)(x + 3) = 2 non dice niente sulle parentesi. La legge di annullamento del prodotto ha bisogno dello zero.
• Perdere la radice negativa. $\sqrt{9}$√9 è 3, ma "$x^2=9$x² = 9" ha due soluzioni. Il simbolo di radice quadrata e l'atto di disfare un quadrato sono cose diverse.
• Dimenticare di togliere ciò che il completamento del quadrato ha aggiunto. ${\left(x+3\right)}^2$(x + 3)² non è $x^2+6x$x² + 6x; si porta dietro un 9 di troppo.
• Fidarsi di un'equazione elevata al quadrato. Ogni equazione irrazionale finisce sostituendo le soluzioni nell'equazione di partenza.

Il passo successivo naturale da qui è la guida ai grafici di equazioni e geometria analitica (in inglese), che è la stessa parabola vista dall'altra parte, e quella su funzioni e funzioni razionali, dove il completamento del quadrato torna come trasformazione di un grafico. Guide collegate: Numeri complessi e Matrici e catene di Markov (in inglese).