Medie e dispersione

Aggiornato 7 ottobre 2026

Una media è un solo numero che sta al posto di molti, e tutto l'argomento riguarda quanto costa questa sostituzione. Due insiemi di dati possono avere la stessa media e nient'altro in comune — ed è per questo che ogni affermazione seria sui dati riporta un centro e una dispersione, e per questo "la media", da sola, è l'espressione più silenziosamente fuorviante della statistica.

Quale media conviene usare?

Usa la media quando i valori sono distribuiti in modo abbastanza uniforme, la mediana quando i dati hanno valori anomali o sono sbilanciati, e la moda quando i dati sono categorie, dove non c'è nessun calcolo da fare. Le misure di tendenza centrale rende questa scelta una scelta consapevole. La media somma i valori e divide per quanti sono. Per 4, 5, 5, 6 e 30, la media è (4 + 5 + 5 + 6 + 30) ÷ 5 = 10, ma la mediana, il valore centrale, è 5, e anche la moda, il valore più frequente, è 5. La media si è spostata perché l'unico valore grande, 30, tira su il totale, mentre la mediana dipende solo dall'ordine. Con un numero pari di valori, la mediana sta a metà tra i due centrali: per 3, 5, 7 e 9 è (5 + 7) ÷ 2 = 6. Una media deve stare tra il valore più piccolo e il più grande.

La media divide il totale in parti uguali, e Mediana e moda dà le altre due.

Stipendi di 22, 24, 25, 26 e 180 (migliaia): la media è 55.4, la mediana è 25. In quell'ufficio nessuno guadagna niente di simile a 55.4, e la mediana è il riassunto onesto.

Medie da una tabella

Quando gli stessi valori si ripetono, elencarli tutti è uno spreco. Medie da una tabella di frequenza mostra la scorciatoia: moltiplica ogni valore per la sua frequenza, somma quei prodotti e dividi per la frequenza totale. La mediana viene da un totale progressivo delle frequenze, che indica dove cade l'elemento a metà.

I dati raggruppati sono più difficili, perché i singoli valori non ci sono più. Media di dati raggruppati suppone che ogni valore stia nel valore centrale della sua classe, il che fa del risultato una stima — una stima onesta, che va dichiarata come tale. La classe modale dice la stessa cosa dall'altro lato: con i dati raggruppati puoi indicare la classe più affollata, ma non un singolo valore modale.

Perché una media non basta?

Una media dà il centro dei dati ma non dice niente su quanto sono sparsi i valori, e spesso è proprio la dispersione che conta. Le misure di dispersione lo mostra con due insiemi di dati. Prendi i punteggi di due giocatori in tre partite: uno ha fatto 9, 10 e 11, l'altro 1, 10 e 19. Entrambe le medie valgono 10, perché 9 + 10 + 11 = 30 e 1 + 10 + 19 = 30. La misura di dispersione più semplice è il campo di variazione, il valore più grande meno il più piccolo. Il campo di variazione del primo giocatore è 11 − 9 = 2 e quello del secondo è 19 − 1 = 18, quindi il primo giocatore è molto più costante. Un allenatore che cerca un giocatore affidabile ha bisogno della dispersione. Il campo di variazione ha un punto debole: un solo valore insolito può renderlo enorme, ed è per questo che spesso si usa invece lo scarto interquartile. Ordina i dati prima di trovare un campo di variazione, perché un elenco non ordinato nasconde il suo valore più grande e il più piccolo.

Campo di variazione e scarto interquartile introduce il rimedio. Lo scarto interquartile è il terzo quartile meno il primo, quindi descrive la metà centrale dei dati e nessun valore estremo può toccarlo.

I percentili generalizzano l'idea: il 90° percentile è il valore sotto cui cade il 90% dei dati. I quartili sono solo il 25°, il 50° e il 75° percentile sotto un nome più antico, e i percentili sono il modo in cui si riportano davvero le curve di crescita, i voti degli esami e gli obiettivi sui tempi di risposta.

Frequenza cumulata e quartili

La frequenza cumulata è un totale progressivo dei conteggi, e riportarla in funzione dell'estremo superiore di ogni classe dà la curva a forma di S che risponde a "quanti erano sotto questo valore" per qualunque valore.

Quartili dalla curva legge i quartili direttamente sulla curva: sali sull'asse verticale fino a un quarto del totale, vai in orizzontale fino alla curva e scendi fino al valore. La stessa mossa a metà e a tre quarti dà la mediana e il terzo quartile.

Che cosa mostra un diagramma a scatola?

Un diagramma a scatola mostra cinque numeri: il minimo, il primo quartile, la mediana, il terzo quartile e il massimo. Diagramma a scatola e baffi disegna la scatola dal primo al terzo quartile, segna la mediana al suo interno e allunga i baffi fino al valore più piccolo e al più grande. Per i dati 3, 5, 6, 8, 10, 11 e 14, la mediana è 8. Il primo quartile è il centro della metà inferiore, 3, 5 e 6, quindi è 5, e il terzo quartile è il centro di 10, 11 e 14, quindi è 11. La scatola va da 5 a 11, e la sua lunghezza, 11 − 5 = 6, è lo scarto interquartile. La scatola contiene la metà centrale dei dati. Un valore anomalo, più lontano di una volta e mezza la lunghezza della scatola oltre la scatola stessa, si disegna come una croce a parte. Leggi i cinque numeri da sinistra a destra: devono essere in ordine.

Il suo valore sta nel confronto. Due diagrammi a scatola sullo stesso asse mostrano a colpo d'occhio quale gruppo sta più in alto, quale è più costante e se uno dei due è sbilanciato — tre domande che a parole richiederebbero un paragrafo.

Giudicare la normalità da un diagramma a scatola trasforma quella lettura in un test: in una distribuzione simmetrica la mediana sta al centro della scatola e i baffi hanno lunghezze simili, quindi una mediana spinta verso un'estremità, o un baffo lungo, è un indizio di asimmetria. Questo conta più avanti, perché diverse procedure statistiche presuppongono la simmetria prima di poter essere usate.

Come si calcola la deviazione standard, e perché così?

Per trovare la deviazione standard, trova quanto dista ogni valore dalla media, eleva al quadrato quelle distanze, fai la media dei quadrati ed estrai la radice quadrata. Deviazione standard la costruisce passo per passo. Per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9, la media è 40 ÷ 8 = 5. Le distanze da 5 sono −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, e i loro quadrati sommati danno 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. La media dei quadrati è 32 ÷ 8 = 4, e la deviazione standard è la sua radice quadrata, 2. Elevare al quadrato serve perché le distanze sopra e sotto la media si annullano sempre a 0, e un quadrato non è mai negativo. La radice quadrata riporta la risposta alle unità dei dati. Se tutti i valori sono uguali, la deviazione standard è 0. La risposta non deve mai superare il campo di variazione.

Prima viene un cugino più gentile. Lo scarto medio assoluto fa la media delle distanze senza elevarle al quadrato, usando i valori assoluti per impedire che positivi e negativi si annullino. È più facile da spiegare e davvero utile — e rende netta la domanda naturale: se questo funziona, perché elevare al quadrato?

Deviazione standard: dati singoli applica la formula pratica — la media dei quadrati meno il quadrato della media — che dà la stessa risposta con un solo passaggio sui dati invece di due. Deviazione standard: dati raggruppati la estende alle tabelle di frequenza, pesando ogni valore al quadrato con la sua frequenza e, per i dati raggruppati, usando i valori centrali delle classi con la stessa avvertenza sulla stima della media di dati raggruppati.

Come si confrontano onestamente due insiemi di dati?

Per confrontare in modo corretto due insiemi di dati, riporta per ciascuno un indice di posizione e un indice di dispersione, usa la stessa coppia per entrambi e di' che cosa significano i numeri nel contesto dei dati. Confrontare insiemi di dati allena proprio questa struttura. La mediana va con lo scarto interquartile, e la media va con la deviazione standard. Supponi che due classi facciano la stessa verifica. La classe A ha mediana 62 e scarto interquartile 10; la classe B ha mediana 55 e scarto interquartile 25. Un buon confronto dice che la classe A ha avuto in media un punteggio più alto, di 62 − 55 = 7 punti, e che i suoi punteggi erano più costanti, perché la sua metà centrale copre 10 punti invece di 25. Quando un insieme di dati ha valori anomali, usa la coppia con la mediana, che i valori anomali spostano appena. Un confronto che elenca quattro numeri e non trae nessuna conclusione non risponde a niente, quindi rileggi il tuo e controlla che ogni numero dica qualcosa sulle classi.

Mescolare le coppie — una mediana e una deviazione standard — mette un centro robusto accanto a una dispersione che robusta non è, così un valore anomalo influenza metà della descrizione.

E poi c'è la trappola che sopravvive a ogni calcolo corretto. Il paradosso di Simpson mostra due gruppi in cui il trattamento A batte il trattamento B nei casi lievi e nei casi gravi, eppure perde nel complesso — perché i gruppi avevano dimensioni diverse e i casi gravi sono andati in misura sproporzionata a un solo trattamento. Nell'aritmetica non c'è niente di sbagliato. La lezione è che una media su una popolazione mista non è una proprietà di nessuno che ne faccia parte.

Gli errori da nominare

• Riportare come esatta una media di dati raggruppati. È una stima costruita sull'ipotesi del valore centrale. Dillo.
• Dimenticare di ordinare prima di trovare una mediana. Il centro di un elenco non ordinato non è il centro dei dati.
• Accoppiare una mediana con una deviazione standard. Mediana con scarto interquartile, media con deviazione standard — tieni la coppia robusta o no, ma non metà e metà.
• Disegnare la frequenza cumulata sui valori centrali delle classi. Il totale progressivo è vero solo all'estremo superiore.
• Confrontare due gruppi solo sul centro. Medie uguali con dispersioni diverse è proprio il caso in cui la dispersione dice tutto.
• Eliminare un valore anomalo perché è scomodo. Un valore anomalo è un dato finché non c'è un motivo documentato per dubitarne.

Dove porta tutto questo

Questi indici sono il vocabolario con cui è scritto il resto della statistica. La guida ai grafici statistici (in inglese) tratta i disegni da cui si leggono, compresi la curva della frequenza cumulata e l'istogramma. Quando ogni soggetto porta due misure invece di una, la domanda diventa se si muovono insieme — la guida a dispersione, correlazione e regressione (in inglese). E la media e la deviazione standard di un campione, usate per dire qualcosa su una popolazione che non hai misurato, sono tutto l'argomento della guida a campionamento e inferenza (in inglese).