Frazioni equivalenti e numeri misti

Aggiornato 13 ottobre 2026

Questa pagina segue le frazioni come le insegna l'app: come una scala, dal tagliare qualcosa in parti uguali fino al dividere una frazione per un'altra. Se sei arrivato cercando la risposta diretta a come sommo le frazioni, la guida alle frazioni risponde esattamente a quello e a nient'altro; questa è per la progressione intera, e per i pioli che vengono saltati — l'equivalenza, i numeri misti e le frazioni di quantità.

Un'idea tiene insieme tutto. Il numero in basso è un'unità di misura, non una quantità. Quinti e ottavi sono pezzi di misure diverse, e quasi ogni regola qui sotto riguarda il rendere i pezzi della stessa misura prima di contarli, o il ritagliarli di proposito.

Dove cominciano le frazioni

Cominciano con la parola uguali. Parti uguali non parla d'altro: tre pezzi su quattro sono tre quarti solo se i quattro pezzi hanno la stessa misura, e una figura tagliata in quattro pezzi disuguali non sta mostrando quarti per niente. Quella distinzione è ciò che rende le frazioni aritmetica invece che descrizione.

Metà, quarti, terzi dà il nome ai primi, e Sopra e sotto è dove arriva la notazione: il sotto dice in quanti pezzi è stato tagliato l'intero, il sopra dice quanti ne hai. La frazione di un gruppo fa poi il salto che frega la gente — una frazione può descrivere un gruppo di oggetti, non solo una figura tagliata. La metà di 12 gettoni è 6, e l'"intero" sono i dodici.

Che cosa rende equivalenti due frazioni?

Due frazioni sono equivalenti quando indicano la stessa quantità, e moltiplicare o dividere il sopra e il sotto per lo stesso numero trasforma l'una nell'altra. Frazioni equivalenti lo mostra con una barra: taglia ogni quinto di $\frac{3}{5}$3/5 in 3 pezzi uguali, e la barra ora mostra 9 pezzi colorati su 15, quindi $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$3/5 = 9/15. La quantità colorata non si è mossa; ci sono tre volte più pezzi, ciascuno un terzo della dimensione. Per questo la regola funziona: moltiplicare sopra e sotto per 3 è moltiplicare per $\frac{3}{3}$3/3, che è uguale a 1. Dividere funziona allo stesso modo al contrario, quindi $\frac{9}{15}$9/15 torna $\text{a}\frac{3}{5}$a 3/5 quando entrambe le parti vengono divise per 3. Si rompe se fai qualcosa di diverso a ciascuna parte, o sommi: $\frac{3}{5}$3/5 con 1 sommato a ciascuna parte diventa $\frac{4}{6}$4/6, che è di più. Per controllare, moltiplica in croce: 3 × 15 = 45 e 5 × 9 = 45, quindi le due frazioni sono uguali.

$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\left(\text{entrambi}\times 4\right)$2/3 = 8/12 (entrambi × 4). $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100.

Falla girare all'indietro e ottieni la Forma più semplice — continua a dividere finché niente divide entrambi, che è lo stesso che dividere una volta per il massimo comune divisore. $\frac{18}{24}÷6\to \frac{3}{4}$18/24 ÷ 6 → 3/4. Trovare in fretta quel divisore è un lavoro per la cassetta degli attrezzi di fattori e multipli (in inglese).

Un denominatore comune è l'equivalenza usata nell'altra direzione: invece di rendere una frazione più semplice, fai coincidere due frazioni, così i loro conteggi possono finalmente essere confrontati o sommati.

Come si confrontano due frazioni?

Per confrontare due frazioni, riscrivile con lo stesso denominatore e confronta i numeratori: il numeratore più grande indica la frazione più grande. Per $\frac{4}{5}\text{e}\frac{5}{7}$4/5 e 5/7, usa 35 come denominatore, perché 5 × 7 = 35: $\frac{4}{5}=\frac{28}{35}\text{e}\frac{5}{7}=\frac{25}{35}$4/5 = 28/35 e 5/7 = 25/35, quindi $\frac{4}{5}$4/5 è più grande. Pezzi della stessa misura si possono contare direttamente. Quando i numeratori già coincidono, la regola si inverte: il denominatore più piccolo indica la frazione più grande, perché meno tagli lasciano pezzi più grandi, quindi $\frac{3}{4}$3/4 è più di $\frac{3}{10}$3/10. Una coppia su lati opposti di un mezzo non ha bisogno di essere riscritta. Raddoppia ogni numeratore e confrontalo col suo denominatore: per $\frac{3}{7}\text{e}\frac{5}{9}$3/7 e 5/9, 3 × 2 = 6 è meno di 7 e 5 × 2 = 10 è più di 9, quindi $\frac{3}{7}$3/7 è sotto un mezzo, $\frac{5}{9}$5/9 è sopra, $\text{e}\frac{5}{9}$e 5/9 è più grande. Per controllare la prima coppia, moltiplica in croce: 4 × 7 = 28 e 5 × 5 = 25, e il prodotto più grande sta con $\frac{4}{5}$4/5.

Stesso sotto. Lo stesso numero in basso: $\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, perché cinque ottavi sono più ottavi di tre.

Stesso sopra. Lo stesso numero in alto: $\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8. Tre pezzi in entrambi i casi, ma il quinto è il pezzo più grande.

Né l'uno né l'altro. Più di un mezzo è il primo controllo più rapido: raddoppia il sopra e guarda come si posiziona rispetto al sotto. $\frac{7}{16}$7/16 — il doppio di 7 è 14, sotto 16, quindi è meno di un mezzo.

Ordinare le frazioni ne mette in fila tre o più, che è dove il denominatore comune smette di essere facoltativo: $\frac{2}{3}$2/3, $\frac{3}{5}$3/5, $\frac{7}{10}\to$7/10 → quindicesimi e decimi non si mettono d'accordo, quindi usa i trentesimi $\to \frac{20}{30}$→ 20/30, $\frac{18}{30}$18/30, $\frac{21}{30}\to \frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.

Sommare e sottrarre

Coi denominatori uguali si somma contando. Sommare frazioni con lo stesso denominatore: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7, per lo stesso motivo per cui due metri più tre metri fanno cinque metri. L'unità non viene sommata; è ciò che rende sommabili i conteggi.

La spiegazione completa, con figure e domande: Come si sommano e si sottraggono le frazioni?.

Frazioni improprie e numeri misti

Una frazione impropria ha il sopra grande almeno quanto il sotto, il che significa semplicemente che vale uno o più. Frazioni improprie chiarisce che non c'è niente di sbagliato in $\frac{7}{4}$7/4 — sette quarti esistono, sono solo più di un intero.

Numeri misti è l'altro modo di scrivere la stessa quantità: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$7/4 = 1 3/4, un intero e tre quarti.

Numeri misti e frazioni improprie dà entrambe le conversioni, ed entrambe sono solo divisione e moltiplicazione.

• Da impropria a misto: dividi sopra per sotto; il quoziente è la parte intera, il resto rimane sopra. $\frac{17}{5}\to 17÷5=3$17/5 → 17 ÷ 5 = 3 con resto $2\to 3\frac{2}{5}$2 → 3 2/5.
• Da misto a impropria: intero × sotto, più il sopra. $3\frac{2}{5}\to 3\times 5+2=17\to \frac{17}{5}$3 2/5 → 3 × 5 + 2 = 17 → 17/5.

Sommare e sottrarre numeri misti

Tratta gli interi e le parti separatamente, poi metti in ordine. $2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, $\text{e}\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$e 1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, quindi $4\frac{1}{4}$4 1/4.

La sottrazione è dove va storto, perché la parte frazionaria a volte non basta. Il rimedio è il prestito, esattamente come nella sottrazione in colonna: prendi un intero e trasformalo in pezzi. $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → prendi in prestito un intero come cinque quinti $\to 2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$→ 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. Convertire prima entrambi i numeri in improprie — $\frac{16}{5}-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$16/5 − 8/5 = 8/5 — evita del tutto il prestito ed è la via più sicura quando i numeri sono scomodi.

Come si trova la frazione di una quantità?

Per trovare una frazione di una quantità, dividi la quantità per il sotto, e poi moltiplica per il sopra. La frazione di una quantità la lavora per intero: $\frac{3}{4}$3/4 di $60\to 60÷4=15\to 15\times 3=45$60 → 60 ÷ 4 = 15 → 15 × 3 = 45. Dividere per 4 trova un quarto di 60, che è 15, e tre quarti sono tre di quelli, 45. Il sotto dice in quante parti uguali dividere, e il sopra dice quante prenderne. Quando il sopra è 1, dividere è tutto il lavoro: $\frac{1}{5}$1/5 di 35 è 35 ÷ 5 = 7. Quando la quantità non si divide esatta, moltiplica prima invece: $\frac{2}{3}$2/3 di 10 è 2 × 10 = 20, poi 20 ÷ 3, che fa $6\frac{2}{3}$6 2/3. Entrambi gli ordini danno la stessa risposta. Per controllare, riaggiungi le parti: il quarto che resta è 15, e 45 + 15 = 60.

Dividere prima tiene piccoli i numeri, il che conta quando lo fai a mente. L'ordine è reversibile quando aiuta — 3 × 60 = 180, poi ÷ 4 = 45 — e che la stessa risposta arrivi per entrambe le strade merita attenzione, perché è il motivo per cui la regola del "di" e quella della moltiplicazione sono la stessa regola.

Moltiplicare e dividere le frazioni

Per moltiplicare le frazioni, moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro, senza bisogno del denominatore comune: $\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$5/6 × 3/10 = 15/60 = 1/4. Moltiplicare per una frazione prende quella parte della quantità, quindi cinque sesti di tre decimi è più piccolo di entrambe le frazioni. Per dividere per una frazione, capovolgi quella frazione e moltiplica: $\frac{2}{3}÷\frac{1}{9}=\frac{2}{3}\times \frac{9}{1}=\frac{18}{3}=6$2/3 ÷ 1/9 = 2/3 × 9/1 = 18/3 = 6. Il capovolgimento funziona perché dividere chiede quanti noni stanno in due terzi, e ogni terzo contiene 3 noni, quindi due terzi ne contengono 6. Dividere per una frazione minore di 1 dà sempre una risposta più grande, perché un pezzo piccolo ci sta molte volte. Un numero misto deve prima diventare una frazione impropria: $1\frac{1}{3}÷\frac{1}{3}$1 1/3 ÷ 1/3 diventa $\frac{4}{3}\times \frac{3}{1}=\frac{12}{3}=4$4/3 × 3/1 = 12/3 = 4. Per controllare una divisione, moltiplica la risposta per la frazione per cui hai diviso: $6\times \frac{1}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$6 × 1/9 = 6/9 = 2/3.

Moltiplicare le frazioni: dritto per dritto. $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15.

Dividere per una frazione si legge meglio come una domanda sul starci. $\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}$1/2 ÷ 1/6 chiede quanti sesti ci stanno in un mezzo, e la risposta è tre — visibile prima di qualunque capovolgimento. Il capovolgimento è una scorciatoia per quella domanda: $\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$1/2 × 6/1 = 3.

Dividere una frazione per una frazione gestisce il caso generale, dove ciò che ci sta non è un numero intero. $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Due quinti ci sta in tre quarti non proprio due volte, e la frazione è la parte che ci sta.

I quattro errori che vale la pena nominare

• Sommare i denominatori. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 è 1, non $\frac{2}{4}$2/4. Il denominatore nomina l'unità; non si accumula.
• Moltiplicare un numero misto così com'è. $2\frac{1}{2}\times 3$2 1/2 × 3 non è $6\frac{1}{2}$6 1/2. Converti prima in $\frac{5}{2}$5/2, poi moltiplica.
• Semplificare una sola riga. Ciò che fai al sopra lo fai al sotto, o il valore si sposta.
• Cercare il denominatore comune prima di moltiplicare. Non è sbagliato, è lavoro sprecato — la moltiplicazione non ha bisogno di unità che combacino.

Dove porta tutto questo

Una frazione col sotto che è dieci o cento è un decimale, e una frazione col sotto che è cento è una percentuale — la stessa quantità in tre notazioni, proseguita in decimali, percentuali e interesse (in inglese). Confrontare due quantità invece di una parte con un tutto è l'argomento di rapporto, tassi e proporzione (in inglese). E se il decimale di una frazione si ferma o si ripete per sempre lo decidono i fattori primi del suo denominatore, nella teoria dei numeri (in inglese).