Einheiten, Geld und Zeit

Das Messen ist der Ort, an dem die Arithmetik auf die Welt trifft — und der Zweig, in dem eine korrekte Rechnung am häufigsten eine falsche Antwort liefert: weil die Zahl stimmte und die Einheit nicht. Eine Länge von 350 ist nichts, solange man nicht weiß, ob es Zentimeter oder Meter sind.

Zwei der drei Systeme auf dieser Seite sind dezimal, eines nicht. Metrische Einheiten und Geld laufen auf Zehnern, also trägt sie der gewöhnliche Stellenwert. Die Zeit läuft auf Sechzigern und Vierundzwanzigern, und sie zu behandeln, als liefe sie auf Zehnern, ist die Quelle fast jedes Zeitfehlers, den es gibt.

Wo das Messen anfängt

Es fängt mit dem Vergleichen an, bevor irgendeine Zahl im Spiel ist. Länger und kürzer legt zwei Gegenstände nebeneinander, und der ganze Inhalt ist, dass ein Vergleich eine gemeinsame Startlinie braucht — die Enden müssen bündig liegen, sonst handelt die Antwort von Position statt von Länge.

Ein Lineal ablesen ist die erste Messung mit einer Zahl daran, und sie trägt dieselbe Idee weiter: Gemessen wird von der Null, nicht vom Rand des Plastiks, und die Ablesung ist die zurückgelegte Strecke, nicht die gekreuzten Striche.

Wie passen die metrischen Einheiten zusammen?

In Zehnern — das ist der ganze Sinn des Systems. Die Vorsilbe nennt dir den Faktor, und sie bedeutet dasselbe, woran auch immer sie hängt: Kilo ist tausend, bei Metern wie bei Gramm.

Meter, Zentimeter und Kilometer richtet die Längenfamilie ein und, ebenso wichtig, ein Gefühl dafür, in welcher Einheit eine Sache gemessen wird — ein Zimmer in Metern, ein Stift in Zentimetern, eine Reise in Kilometern. Gramm und Kilogramm und Milliliter und Liter tun dasselbe für Masse und Fassungsvermögen, und bei der dritten Familie unterrichten schon die Vorsilben.

Längen umrechnen ist die Arithmetik: multiplizieren zur kleineren Einheit, dividieren zur größeren. 350 cm = 3.5 m. 2.4 km = 2 400 m.

Warum Flächeneinheiten anders sind

Flächeneinheiten umrechnen steht auf dieser Seite, weil es die Umrechnung ist, die fast alle erwischt. 1 m² = 10 000 cm², nicht 100 — ein Quadratmeter ist ein Quadrat mit 100 cm Kante, und 100 × 100 = 10 000.

Die Regel verallgemeinert sich: Flächenumrechnungen quadrieren den Längenfaktor, Volumenumrechnungen kubieren ihn. 1 m³ = 1 000 000 cm³. Dieselbe Tatsache taucht als Maßstabsregel in Verhältnis und Proportion wieder auf, wo das Vergrößern einer Figur um k ihre Fläche mit k² multipliziert.

Skalen ablesen deckt die Instrumentenseite ab — Lineale, Messbecher, Küchenwaagen, Zeigerskalen — und die Methode sind immer dieselben zwei Schritte: den Wert eines Intervalls bestimmen, indem man den beschrifteten Abstand durch die Zahl der Zwischenräume teilt, und dann Intervalle von der letzten Beschriftung an zählen.

Die Uhr lesen und die 24-Stunden-Uhr

Die Uhr lesen übernimmt das Zifferblatt, auf dem zwei Zeiger mit verschiedenen Geschwindigkeiten um dieselben Zahlen wandern — was wirklich schwerer ist, als es aussieht, denn die Ziffer 3 bedeutet für den einen Zeiger „drei Uhr“ und für den anderen „fünfzehn Minuten“.

Die 24-Stunden-Uhr beseitigt die Zweideutigkeit, indem sie die Stunden von 00 bis 23 nummeriert, sodass jeder Moment des Tages genau einen Namen hat. 3:45 nachmittags ist 15:45; zähle zu jeder Nachmittagszeit zwölf dazu. Mitternacht ist 00:00 und Mittag ist 12:00 — das Paar, über das man stolpert, denn 12 am und 12 pm sind die zwei Etiketten, mit denen die 12-Stunden-Uhr am schlechtesten umgeht.

Eine Zeitspanne ausrechnen

Zeitspannen ist die Rechnung, die gewöhnliche Subtraktion nicht leisten kann, weil eine Stunde 60 Minuten hat und nicht 100. In Etappen hinaufzuzählen ist schneller und sicherer zugleich:

14:35 bis 17:10 → 25 min bis 15:00, dann 2 Stunden bis 17:00, dann 10 min → 2 Stunden 35 Minuten.

Die andere Falle ist eine Zeitspanne über Mitternacht. Teile sie bei 00:00 und addiere die beiden Stücke: 22:40 bis 06:15 ist 1 Stunde 20 Minuten plus 6 Stunden 15 Minuten, also 7 Stunden 35 Minuten.

Wie funktioniert Geld?

Geld ist eine Dezimalzahl mit fest auf zwei gesetzter Stellenzahl — das macht es zur guten ersten Dezimalzahl und zur gelegentlich verwirrenden. Münzen zählen beginnt, bevor der Punkt überhaupt existiert, und zählt in den Werten, die es wirklich gibt, statt in Einern, und Dollar und Cent führt die Zweispalten-Teilung ein.

Wechselgeld geben ist wieder das Hinaufzählen, in seiner ältesten Form: Von 6.35 bis 10.00 sind es 65 Cent bis 7.00 und 3 mehr, also 3.65. Händler taten das lange vor den Kassen, und es ist immer noch der schnellste Weg im Kopf.

Geld als Dezimalzahl nagelt die Schreibweise fest. 4.05 sind vier Einheiten und fünf Cent, nicht vier und fünfzig — die zweite Stelle ist die Cent-Spalte, und eine dort fehlende Ziffer ist ein Faktor zehn. Geld behält auch seine Endnull, also wird 3.5 als 3.50 geschrieben — eine Vereinbarung, keine mathematische Notwendigkeit, aber eine tragende. Der Dezimalzahlen-Ratgeber behandelt die allgemeinen Stellenwertregeln dahinter.

Wie überschlägt man mit Einheiten?

Indem man einen kleinen Satz Referenzobjekte im Kopf trägt und dagegen vergleicht. Überschlagen mit Einheiten baut genau das auf: Eine Tür ist etwa 2 m hoch, eine Packung Zucker wiegt 1 kg, eine Wasserflasche fasst 500 ml, ein Schritt misst ungefähr 70 cm.

Diese Anker zählen mehr, als sie aussehen, denn sie sind es, die eine Antwort in der falschen Einheit fangen. Eine Rechnung, nach der ein Mensch 1.7 cm groß ist oder eine Katze 45 kg wiegt, liegt um den Faktor hundert daneben, und ein Referenzobjekt fängt das in weniger als einer Sekunde — keine Arithmetik, nur ein Vergleich mit etwas, das man schon in der Hand hatte.

Eine Frage, von Anfang bis Ende durchgerechnet

Ein Paketdienst berechnet nach Gewicht und lehnt alles über 0.03 m³ Volumen ab. Ein Karton misst 40 cm mal 25 cm mal 30 cm und enthält 12 Beutel zu je 250 g, plus 400 g Verpackung. Wird er angenommen, und was wiegt er?

Die Arithmetik ist banal; die Einheiten sind die Frage. Rechne alles in ein einziges System um, bevor du irgendetwas ausrechnest.

• Volumen. 40 × 25 × 30 = 30 000 cm³. Ein Kubikmeter ist 1 000 000 cm³, also sind das 0.03 m³ — exakt auf der Grenze, und die Antwort hängt ganz daran, ob die Regel „über“ oder „mindestens“ sagt.
• Gewicht. 12 × 250 g = 3 000 g = 3 kg, plus 0.4 kg Verpackung, also 3.4 kg.
• Plausibilitätsprüfung. Dreieinhalb Kilogramm sind etwa ein großer Sack Kartoffeln, und ein Karton mit 40 cm Kantenlänge ist etwa eine Bücherkiste. Beides ist plausibel; ein Ergebnis von 3 400 kg wäre es nicht gewesen.

Der Volumenschritt ist der, der schiefgeht. 30 000 durch 100 statt durch 1 000 000 zu teilen ergibt 300 m³ — einen Karton von der Größe eines Hauses — und die Referenzobjekt-Probe fängt das in einer Sekunde.

Die vier Fehler, die einen Namen verdienen

• Eine Fläche mit dem Längenfaktor umrechnen. 1 m² sind 10 000 cm². Quadriere den Faktor für Flächen, kubiere ihn für Volumina.
• Uhrzeiten in Spalten subtrahieren. Minuten borgen sechzig, nicht hundert. Zähle stattdessen in Etappen hinauf.
• 4.05 als vier und fünfzig lesen. Die zweite Dezimalstelle ist die Cent-Spalte, und sie ist nicht optional.
• Die Striche einer Skala zählen. Ein Intervall ist der beschriftete Abstand geteilt durch die Zahl der Zwischenräume — immer eins weniger als die Striche.

Wohin es von hier aus geht

Metrische Umrechnungen sind Stellenwert, auf die Welt angewandt — von Grund auf behandelt in Ganze Zahlen und Stellenwert — und die Geldarithmetik ist Dezimalarithmetik: siehe Dezimalzahlen, Prozente und Zinsen. Geschwindigkeit, Dichte und jede andere Größe, die als eine Einheit pro anderer geschrieben wird, gehören zu Verhältnis, Raten und Proportion.

Im Spiel üben

Math Challenge lehrt jeden Schritt oben als bebilderte Lektion — das Lineal mit markierten Intervallen, die in sichtbaren Etappen hinaufgezählte Zeitspanne, den als Hundert-mal-hundert-Raster gezeichneten Quadratmeter — in einem Katalog von über 800 Lektionen über die ganze Leiter.

Fürs Training lässt das Thema Geld Wechselgeld und Summen laufen, und das Thema Zeit das Uhrlesen und die Zeitspannen.

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