Gleichwertige Brüche und gemischte Zahlen

Aktualisiert 13. Oktober 2026

Diese Seite folgt den Brüchen so, wie die App sie lehrt: als Leiter, vom Schneiden einer Sache in gleiche Teile bis zum Teilen eines Bruchs durch einen anderen. Wer für die direkte Antwort auf wie addiere ich Brüche gekommen ist: Der Brüche-Ratgeber beantwortet genau das und sonst nichts; dieser hier ist für die ganze Strecke da, und für die Sprossen, die übersprungen werden — Gleichwertigkeit, gemischte Zahlen und Bruchteile von Mengen.

Eine Idee hält alles zusammen. Die untere Zahl ist eine Einheit, keine Menge. Fünftel und Achtel sind verschieden große Stücke, und fast jede Regel unten handelt davon, Stücke gleich groß zu machen, bevor man sie zählt — oder sie absichtlich neu zu schneiden.

Wo Brüche anfangen

Sie fangen mit dem Wort gleich an. Gleiche Teile handelt von nichts anderem: Drei von vier Stücken sind nur dann drei Viertel, wenn die vier Stücke gleich groß sind, und eine in vier ungleiche Brocken geschnittene Figur zeigt überhaupt keine Viertel. Diese Unterscheidung macht aus Brüchen Arithmetik statt Beschreibung.

Halbe, Viertel, Drittel benennt die ersten, und Oben und unten ist der Ort, an dem die Schreibweise ankommt: Die untere Zahl sagt, in wie viele Stücke das Ganze geschnitten wurde, die obere, wie viele du hast. Ein Bruchteil einer Gruppe macht dann den Sprung, der viele erwischt — ein Bruch kann eine Gruppe von Dingen beschreiben, nicht nur eine zerschnittene Figur. Die Hälfte von 12 Spielsteinen ist 6, und das „Ganze“ sind die zwölf.

Was macht zwei Brüche gleichwertig?

Zwei Brüche sind gleichwertig, wenn sie dieselbe Menge benennen, und Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren oder zu dividieren verwandelt den einen in den anderen. Gleichwertige Brüche zeigt es mit einem Balken: Schneide jedes Fünftel von $\frac{3}{5}$3/5 in 3 gleiche Stücke, und der Balken zeigt jetzt 9 schattierte Stücke von 15, also $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$3/5 = 9/15. Die schattierte Menge hat sich nicht verändert; es gibt dreimal so viele Stücke, jedes ein Drittel so groß. Deshalb funktioniert die Regel: Zähler und Nenner mit 3 zu multiplizieren heißt, mit $\frac{3}{3}$3/3 zu multiplizieren, und das ist 1. Das Dividieren funktioniert umgekehrt genauso, also wird aus $\frac{9}{15}$9/15 wieder $\frac{3}{5}$3/5, wenn beide Teile durch 3 geteilt werden. Es geht schief, wenn du mit den beiden Teilen etwas anderes machst oder addierst: $\frac{3}{5}$3/5 mit 1 addiert zu jedem Teil wird zu $\frac{4}{6}$4/6, was mehr ist. Zur Probe multipliziere über Kreuz: 3 × 15 = 45 und 5 × 9 = 45, also sind die beiden Brüche gleich.

$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\left(\text{beide}\times 4\right)$2/3 = 8/12 (beide × 4). $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100.

Rückwärts gespielt ergibt das Vollständig kürzen — teile weiter, bis nichts mehr beide teilt, was dasselbe ist wie einmal durch den größten gemeinsamen Teiler zu teilen. $\frac{18}{24}÷6\to \frac{3}{4}$18/24 ÷ 6 → 3/4. Diesen Teiler schnell zu finden ist eine Aufgabe für den Werkzeugkasten Teiler und Vielfache.

Ein gemeinsamer Nenner ist die Gleichwertigkeit in der anderen Richtung benutzt: Statt einen Bruch einfacher zu machen, bringst du zwei Brüche zur Deckung, damit sich ihre Anzahlen endlich vergleichen oder addieren lassen.

Wie vergleicht man zwei Brüche?

Um zwei Brüche zu vergleichen, schreibst du sie mit demselben Nenner um und vergleichst die Zähler: Der größere Zähler benennt den größeren Bruch. Für $\frac{4}{5}$4/5 und $\frac{5}{7}$5/7 nimmst du 35stel, denn 5 × 7 = 35: $\frac{4}{5}=\frac{28}{35}$4/5 = 28/35 und $\frac{5}{7}=\frac{25}{35}$5/7 = 25/35, also ist $\frac{4}{5}$4/5 größer. Gleich große Stücke lassen sich einfach zählen. Stimmen die Zähler schon überein, dreht sich die Regel um: Der kleinere Nenner benennt den größeren Bruch, weil weniger Schnitte größere Stücke übrig lassen, also ist $\frac{3}{4}$3/4 mehr als $\frac{3}{10}$3/10. Ein Paar auf entgegengesetzten Seiten der Hälfte braucht kein Umschreiben. Verdopple jeden Zähler und vergleiche ihn mit seinem Nenner: Für $\frac{3}{7}$3/7 und $\frac{5}{9}$5/9 ist 3 × 2 = 6 weniger als 7 und 5 × 2 = 10 mehr als 9, also ist $\frac{3}{7}$3/7 unter einer Hälfte, $\frac{5}{9}$5/9 darüber, und $\frac{5}{9}$5/9 ist größer. Zur Probe beim ersten Paar multiplizierst du über Kreuz: 4 × 7 = 28 und 5 × 5 = 25, und das größere Produkt steht bei $\frac{4}{5}$4/5.

Gleicher Nenner. Gleiche untere Zahl: $\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, weil fünf Achtel mehr Achtel sind als drei.

Gleicher Zähler. Gleiche obere Zahl: $\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8. Drei Stücke so oder so, aber Fünftel sind das größere Stück.

Keins von beidem. Mehr als die Hälfte ist der schnellste erste Test. $\frac{7}{16}$7/16 — das Doppelte von 7 ist 14, unter 16, also weniger als die Hälfte.

Brüche ordnen bringt drei oder mehr in Reihenfolge, und dort hört ein gemeinsamer Nenner auf, optional zu sein: $\frac{2}{3}$2/3, $\frac{3}{5}$3/5, $\frac{7}{10}\to$7/10 → Fünfzehntel und Zehntel passen nicht zusammen, also nimm Dreißigstel $\to \frac{20}{30}$→ 20/30, $\frac{18}{30}$18/30, $\frac{21}{30}\to \frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.

Addieren und Subtrahieren

Gleiche Nenner addieren sich durch Zählen. Brüche mit gleichem Nenner addieren: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7, aus demselben Grund, aus dem zwei Meter plus drei Meter fünf Meter sind. Die Einheit wird nicht addiert; sie ist das, was die Anzahlen addierbar macht.

Die ganze Erklärung mit Abbildungen und Fragen: Wie addiert und subtrahiert man Brüche?.

Unechte Brüche und gemischte Zahlen

Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der mindestens so groß ist wie sein Nenner — was schlicht heißt, dass er eins oder mehr wert ist. Unechte Brüche hält fest, dass an $\frac{7}{4}$7/4 nichts falsch ist — sieben Viertel existieren, sie sind nur mehr als ein Ganzes.

Gemischte Zahlen ist die andere Schreibweise derselben Menge: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$7/4 = 1 3/4, ein Ganzes und drei Viertel.

Gemischte Zahlen und unechte Brüche gibt beide Umwandlungen, und beide sind nichts als Division und Multiplikation.

• Unecht zu gemischt: Zähler durch Nenner teilen; der Quotient ist der ganze Teil, der Rest bleibt oben. $\frac{17}{5}\to 17÷5=3$17/5 → 17 ÷ 5 = 3 Rest $2\to 3\frac{2}{5}$2 → 3 2/5.
• Gemischt zu unecht: Ganze × Nenner, plus Zähler. $3\frac{2}{5}\to 3\times 5+2=17\to \frac{17}{5}$3 2/5 → 3 × 5 + 2 = 17 → 17/5.

Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Behandle die Ganzen und die Teile getrennt, dann räume auf. $2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, und $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, also $4\frac{1}{4}$4 1/4.

Die Subtraktion ist der Ort, an dem es schiefgeht, weil der Bruchteil manchmal nicht reicht. Die Abhilfe ist das Borgen, genau wie bei der schriftlichen Subtraktion: Nimm ein Ganzes und mach Stücke daraus. $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → ein Ganzes als fünf Fünftel borgen $\to 2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$→ 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. Beide Zahlen zuerst in unechte Brüche umzuwandeln — $\frac{16}{5}-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$16/5 − 8/5 = 8/5 — umgeht das Borgen ganz und ist der sicherere Weg, wenn die Zahlen sperrig werden.

Wie nimmt man einen Bruchteil von einer Menge?

Um einen Bruchteil einer Menge zu finden, teilst du die Menge durch die untere Zahl und multiplizierst dann mit der oberen Zahl. Ein Bruchteil einer Menge rechnet es durch: $\frac{3}{4}$3/4 von $60\to 60÷4=15\to 15\times 3=45$60 → 60 ÷ 4 = 15 → 15 × 3 = 45. Durch 4 zu teilen findet ein Viertel von 60, das ist 15, und drei Viertel sind drei davon, 45. Die untere Zahl sagt, in wie viele gleiche Teile geteilt wird, und die obere sagt, wie viele du nimmst. Ist die obere Zahl 1, ist das Teilen die ganze Arbeit: $\frac{1}{5}$1/5 von 35 ist 35 ÷ 5 = 7. Geht die Menge nicht genau auf, multiplizierst du stattdessen zuerst: $\frac{2}{3}$2/3 von 10 ist 2 × 10 = 20, dann 20 ÷ 3, das ist $6\frac{2}{3}$6 2/3. Beide Reihenfolgen ergeben dieselbe Antwort. Zur Probe addiere die Teile zurück: Das übrige Viertel ist 15, und 45 + 15 = 60.

Zuerst zu teilen hält die Zahlen klein, was zählt, wenn man im Kopf rechnet. Die Reihenfolge lässt sich umdrehen, wenn das hilft — 3 × 60 = 180, dann ÷ 4 = 45 — und dass auf beiden Wegen dieselbe Antwort ankommt, ist einen Blick wert: Es ist der Grund, warum die Bruchteil-Regel und die Multiplikationsregel ein und dieselbe Regel sind.

Brüche multiplizieren und dividieren

Um Brüche zu multiplizieren, multiplizierst du die Zähler miteinander und die Nenner miteinander, ohne dass ein gemeinsamer Nenner nötig ist: $\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$5/6 × 3/10 = 15/60 = 1/4. Mit einem Bruch zu multiplizieren nimmt diesen Teil der Menge, also ist fünf Sechstel von drei Zehnteln kleiner als jeder der beiden Brüche. Um durch einen Bruch zu teilen, drehst du diesen Bruch um und multiplizierst: $\frac{2}{3}÷\frac{1}{9}=\frac{2}{3}\times \frac{9}{1}=\frac{18}{3}=6$2/3 ÷ 1/9 = 2/3 × 9/1 = 18/3 = 6. Das Umdrehen funktioniert, weil die Division fragt, wie viele Neuntel in zwei Drittel passen, und jedes Drittel enthält 3 Neuntel, also enthalten zwei Drittel 6. Durch einen Bruch kleiner als 1 zu teilen ergibt immer eine größere Antwort, weil ein kleines Stück oft hineinpasst. Eine gemischte Zahl muss zuerst zu einem unechten Bruch werden: $1\frac{1}{3}÷\frac{1}{3}$1 1/3 ÷ 1/3 wird zu $\frac{4}{3}\times \frac{3}{1}=\frac{12}{3}=4$4/3 × 3/1 = 12/3 = 4. Zur Probe einer Division multiplizierst du die Antwort mit dem Bruch, durch den du geteilt hast: $6\times \frac{1}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$6 × 1/9 = 6/9 = 2/3.

Brüche multiplizieren: geradeaus durch. $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15.

Durch einen Bruch teilen liest sich am besten als Frage nach dem Hineinpassen. $\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}$1/2 ÷ 1/6 fragt, wie viele Sechstel in eine Hälfte passen, und die Antwort ist drei — sichtbar vor jedem Umkehren. Das Umkehren ist eine Abkürzung für diese Frage: $\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$1/2 × 6/1 = 3.

Einen Bruch durch einen Bruch teilen übernimmt den allgemeinen Fall, in dem das Hineinpassen keine ganze Zahl ist. $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. Zwei Fünftel passt nicht ganz zweimal in drei Viertel, und der Bruch ist der Teil-Passsitz.

Die vier Fehler, die einen Namen verdienen

• Die Nenner addieren. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 ist 1, nicht $\frac{2}{4}$2/4. Der Nenner benennt die Einheit; er häuft sich nicht an.
• Eine gemischte Zahl an Ort und Stelle multiplizieren. $2\frac{1}{2}\times 3$2 1/2 × 3 ist nicht $6\frac{1}{2}$6 1/2. Erst in $\frac{5}{2}$5/2 umwandeln, dann multiplizieren.
• Nur eine Zeile kürzen. Was du oben tust, tust du auch unten — sonst verschiebt sich der Wert.
• Vor dem Multiplizieren einen gemeinsamen Nenner suchen. Nicht falsch, nur vergeudete Arbeit — Multiplikation braucht keine passenden Einheiten.

Wohin es von hier aus geht

Ein Bruch mit Nenner zehn oder hundert ist eine Dezimalzahl, und ein Bruch mit Nenner hundert ist ein Prozentsatz — dieselbe Menge in drei Schreibweisen, weiterverfolgt in Dezimalzahlen, Prozente und Zinsen. Zwei Mengen miteinander zu vergleichen statt einen Teil mit einem Ganzen ist das Thema von Verhältnis, Raten und Proportion. Und ob die Dezimaldarstellung eines Bruchs abbricht oder sich ewig wiederholt, entscheiden die Primfaktoren seines Nenners — in der Zahlentheorie.