Gleichwertige Brüche und gemischte Zahlen
Diese Seite folgt den Brüchen so, wie die App sie lehrt: als Leiter, vom Schneiden einer Sache in gleiche Teile bis zum Teilen eines Bruchs durch einen anderen. Wer für die direkte Antwort auf wie addiere ich Brüche gekommen ist: Der Brüche-Ratgeber beantwortet genau das und sonst nichts; dieser hier ist für die ganze Strecke da, und für die Sprossen, die übersprungen werden — Gleichwertigkeit, gemischte Zahlen und Bruchteile von Mengen.
Eine Idee hält alles zusammen. Die untere Zahl ist eine Einheit, keine Menge. Fünftel und Achtel sind verschieden große Stücke, und fast jede Regel unten handelt davon, Stücke gleich groß zu machen, bevor man sie zählt — oder sie absichtlich neu zu schneiden.
Wo Brüche anfangen
Sie fangen mit dem Wort gleich an. Gleiche Teile handelt von nichts anderem: Drei von vier Stücken sind nur dann drei Viertel, wenn die vier Stücke gleich groß sind, und eine in vier ungleiche Brocken geschnittene Figur zeigt überhaupt keine Viertel. Diese Unterscheidung macht aus Brüchen Arithmetik statt Beschreibung.
Halbe, Viertel, Drittel benennt die ersten, und Oben und unten ist der Ort, an dem die Schreibweise ankommt: Die untere Zahl sagt, in wie viele Stücke das Ganze geschnitten wurde, die obere, wie viele du hast. Ein Bruchteil einer Gruppe macht dann den Sprung, der viele erwischt — ein Bruch kann eine Gruppe von Dingen beschreiben, nicht nur eine zerschnittene Figur. Die Hälfte von 12 Spielsteinen ist 6, und das „Ganze“ sind die zwölf.
Was macht zwei Brüche gleichwertig?
Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren ändert den Wert nicht. Gleichwertige Brüche zeigt mit einem Bild, warum: Jedes Stück wird in gleich viele kleinere Stücke geschnitten, und du nimmst entsprechend mehr davon, also bleibt die Menge in deiner Hand unberührt.
2/3 = 8/12 (beide × 4). .
Rückwärts gespielt ergibt das Vollständig kürzen — teile weiter, bis nichts mehr beide teilt, was dasselbe ist wie einmal durch den größten gemeinsamen Teiler zu teilen. . Diesen Teiler schnell zu finden ist eine Aufgabe für den Werkzeugkasten Teiler und Vielfache.
Ein gemeinsamer Nenner ist die Gleichwertigkeit in der anderen Richtung benutzt: Statt einen Bruch einfacher zu machen, bringst du zwei Brüche zur Deckung, damit sich ihre Anzahlen endlich vergleichen oder addieren lassen.
Wie vergleicht man zwei Brüche?
Mach die Stücke gleich groß, dann vergleiche die Anzahlen. Die drei Abkürzungen unten sind alle diese Methode mit einem übersprungenen Schritt.
Gleicher Nenner. Gleiche untere Zahl: 5/8 > 3/8, weil fünf Achtel mehr Achtel sind als drei.
Gleicher Zähler. Gleiche obere Zahl: 3/5 > 3/8. Drei Stücke so oder so, aber Fünftel sind das größere Stück. Das ist der Vergleich, der sich verkehrt anfühlt und es nicht ist — mehr Schnitte machen kleinere Stücke.
Keins von beidem. Mehr als die Hälfte ist der schnellste erste Test: Verdopple den Zähler und schau, wo er gegen den Nenner landet. — das Doppelte von 7 ist 14, unter 16, also weniger als die Hälfte. Liegt ein Bruch über der Hälfte und der andere darunter, bist du fertig.
Brüche ordnen bringt drei oder mehr in Reihenfolge, und dort hört ein gemeinsamer Nenner auf, optional zu sein: , , 7/10 → Fünfzehntel und Zehntel passen nicht zusammen, also nimm Dreißigstel → 20/30, , 21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.
Addieren und Subtrahieren
Gleiche Nenner addieren sich durch Zählen. Brüche mit gleichem Nenner addieren: , aus demselben Grund, aus dem zwei Meter plus drei Meter fünf Meter sind. Die Einheit wird nicht addiert; sie ist das, was die Anzahlen addierbar macht.
Brüche mit verschiedenen Nennern addieren ist dieselbe Summe nach einem vorbereitenden Schritt. 1/3 + 1/4 → Zwölftel → 4/12 + 3/12 = 7/12. Die beiden Nenner zu multiplizieren liefert immer einen brauchbaren gemeinsamen Nenner; das kleinste gemeinsame Vielfache lässt hinterher nur weniger zu kürzen übrig.
Brüche subtrahieren ist der identische Zug: .
Unechte Brüche und gemischte Zahlen
Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der mindestens so groß ist wie sein Nenner — was schlicht heißt, dass er eins oder mehr wert ist. Unechte Brüche hält fest, dass an nichts falsch ist — sieben Viertel existieren, sie sind nur mehr als ein Ganzes.
Gemischte Zahlen ist die andere Schreibweise derselben Menge: , ein Ganzes und drei Viertel.
Gemischte Zahlen und unechte Brüche gibt beide Umwandlungen, und beide sind nichts als Division und Multiplikation.
- Unecht zu gemischt: Zähler durch Nenner teilen; der Quotient ist der ganze Teil, der Rest bleibt oben. Rest .
- Gemischt zu unecht: Ganze × Nenner, plus Zähler. .
Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren
Behandle die Ganzen und die Teile getrennt, dann räume auf. , und , also .
Die Subtraktion ist der Ort, an dem es schiefgeht, weil der Bruchteil manchmal nicht reicht. Die Abhilfe ist das Borgen, genau wie bei der schriftlichen Subtraktion: Nimm ein Ganzes und mach Stücke daraus. 3 1/5 − 1 3/5 → ein Ganzes als fünf Fünftel borgen → 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. Beide Zahlen zuerst in unechte Brüche umzuwandeln — — umgeht das Borgen ganz und ist der sicherere Weg, wenn die Zahlen sperrig werden.
Wie nimmt man einen Bruchteil von einer Menge?
Teile durch den Nenner, dann multipliziere mit dem Zähler. Ein Bruchteil einer Menge rechnet es durch: von .
Zuerst zu teilen hält die Zahlen klein, was zählt, wenn man im Kopf rechnet. Die Reihenfolge lässt sich umdrehen, wenn das hilft — 3 × 60 = 180, dann ÷ 4 = 45 — und dass auf beiden Wegen dieselbe Antwort ankommt, ist einen Blick wert: Es ist der Grund, warum die Bruchteil-Regel und die Multiplikationsregel ein und dieselbe Regel sind.
Brüche multiplizieren und dividieren
Das sind die, vor denen sich alle wappnen, und es sind die leichten — für keins von beiden braucht es einen gemeinsamen Nenner.
Brüche multiplizieren: geradeaus durch. .
Durch einen Bruch teilen liest sich am besten als Frage nach dem Hineinpassen. fragt, wie viele Sechstel in eine Hälfte passen, und die Antwort ist drei — sichtbar vor jedem Umkehren. Das Umkehren ist eine Abkürzung für diese Frage: .
Einen Bruch durch einen Bruch teilen übernimmt den allgemeinen Fall, in dem das Hineinpassen keine ganze Zahl ist. . Zwei Fünftel passt nicht ganz zweimal in drei Viertel, und der Bruch ist der Teil-Passsitz.
Die vier Fehler, die einen Namen verdienen
- Die Nenner addieren. ist 1, nicht . Der Nenner benennt die Einheit; er häuft sich nicht an.
- Eine gemischte Zahl an Ort und Stelle multiplizieren. ist nicht . Erst in umwandeln, dann multiplizieren.
- Nur eine Zeile kürzen. Was du oben tust, tust du auch unten — sonst verschiebt sich der Wert.
- Vor dem Multiplizieren einen gemeinsamen Nenner suchen. Nicht falsch, nur vergeudete Arbeit — Multiplikation braucht keine passenden Einheiten.
Wohin es von hier aus geht
Ein Bruch mit Nenner zehn oder hundert ist eine Dezimalzahl, und ein Bruch mit Nenner hundert ist ein Prozentsatz — dieselbe Menge in drei Schreibweisen, weiterverfolgt in Dezimalzahlen, Prozente und Zinsen. Zwei Mengen miteinander zu vergleichen statt einen Teil mit einem Ganzen ist das Thema von Verhältnis, Raten und Proportion. Und ob die Dezimaldarstellung eines Bruchs abbricht oder sich ewig wiederholt, entscheiden die Primfaktoren seines Nenners — in der Zahlentheorie.
Im Spiel üben
Math Challenge lehrt jede Sprosse oben als bebilderte Lektion — das Gleichwertigkeits-Bild, die Umwandlung gemischter Zahlen, das Passargument für die Division — in einem Katalog von über 800 Lektionen über die ganze Leiter. Geht eine Übungsaufgabe schief, erklärt die App genau den Takt neu, aus dem die Frage kam, statt eines benachbarten.
Das Thema Brüche trainiert Addieren und Subtrahieren, beginnend mit freundlichen Nennern und mit wachsender Spanne, je öfter du triffst.
Du bist dran
Drei zum Ausprobieren — tippe, was du herausbekommst.
Welcher Bruch ist gleich 3/4?
7/2 als gemischte Zahl
2 2/5 als unechter Bruch