Das kleine Einmaleins
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Wer das Einmaleins auswendig kann, ist in allem Weiteren schneller: Division, Brüche, Prozente und jede Kopfrechen-Abkürzung bauen darauf auf. Die gute Nachricht ist, dass man sich nicht durch 144 Aufgaben quälen muss. Die meisten bekommt man geschenkt.
Wirklich schwer sind nur etwa sechs Aufgaben
Nur sechs Aufgaben im 12 × 12-Raster sind wirklich schwer: 6 × 6 = 36, 6 × 7 = 42, 6 × 8 = 48, 7 × 7 = 49, 7 × 8 = 56 und 7 × 9 = 63. Das Raster enthält 144 Aufgaben, aber die meisten sind geschenkt. Die ×1- und ×10-Reihen folgen Regeln, ×2 ist Verdoppeln, und ×5 und ×9 haben Muster. Jede Aufgabe hat auch einen Zwilling, denn 3 × 8 = 8 × 3, also lernt man mit einer Aufgabe gleich zwei. Übrig bleibt die Mitte des Rasters, ohne Muster zum Anlehnen. Kennt ein Lernender die 5er noch nicht, sollte er dort anfangen: Der schnellste Weg zu 6 × 7 ist 5 × 7 + 7 = 35 + 7 = 42, also lerne zuerst die 5er. Zur Probe baust du eine schwere Aufgabe aus einer leichten: 7 × 8 ist 7 × 4 = 28, verdoppelt zu 56.
Fang bei den vollen 144 an und nimm alles heraus, was gar nicht auswendig gelernt werden muss:
die ganze Tabelle, 10 × 10 = 100 Fakten, bevor irgendeine Regel angewendet wird
Nimm jede Regel weg, bis nur die schweren Fakten übrig bleiben
- ×1 und ×10 sind Regeln, keine Aufgaben. Damit sind 36 weg.
- ×2 ist Verdoppeln — das können die meisten längst. Und ×5 und ×9 haben Muster, die so stark sind, dass kaum etwas zu lernen bleibt (siehe unten).
- Zu jeder Aufgabe gehört die Tauschaufgabe. 3 × 8 und 8 × 3 sind dieselbe Aufgabe. Das halbiert, was übrig ist.
Übrig bleibt ein kleiner Kern — im Wesentlichen 6×7, 6×8, 7×8, 7×9, 6×6 und 7×7. Im Raster unten sind sie hervorgehoben.
Die Tricks, die sich lohnen — Reihe für Reihe
Finger 4 gefaltet: 3 Finger links sind die Zehner und 6 rechts sind die Einer, 9 × 4 = 10 × 3 + 6 = 36
Falte den Finger, der 9 × 8 ausrechnet
×9 — an den Fingern
Halte zehn Finger hoch. Für 9 × 4 klappst du den 4. Finger ein: links davon 3 Finger (30), rechts davon 36.
×5 — halbieren, dann ×10
die Hälfte von 8 ist 40. Jedes Ergebnis endet auf 0 oder 5.
×4 — verdoppeln und noch einmal verdoppeln
28. Genauso ist ×8 dreimal verdoppeln.
×11 — die Ziffer doppelt schreiben
Bei einer Ziffer schreibt man sie einfach zweimal: 11 × 7 = 77. Bei zwei Ziffern addiert man sie und setzt die Summe in die Mitte: 253.
×3 — verdoppeln, dann einmal dazu
das Doppelte von 7 ist 14, plus 21. Nützlich, solange die Dreierreihe noch nicht sitzt.
×6 — die Fünferreihe, die du schon kannst, plus einmal
, plus 42. Das ist der schnellste Weg in die schwere Mitte des Rasters, weil die Fünfer leicht sind.
Jetzt du
75 × 4
45 × 8
Was zeigt das Einmaleins-Raster?
Das Einmaleins-Raster zeigt jedes Produkt in einem Feld: Die Zahl, wo eine Zeile eine Spalte trifft, ist die Zeilenzahl mal die Spaltenzahl. Suche Zeile 4 und Spalte 6, und das Feld enthält 24, weil 4 × 6 = 24. Jedes Produkt ist auch ein Rechteck aus Kästchen, 4 Reihen zu 6, und deshalb ist das Raster symmetrisch: Drehst du das Rechteck auf die Seite, wird es zu 6 Reihen zu 4, denselben 24 Kästchen. Also ist 6 × 4 = 4 × 6, und jede Aufgabe auf einer Seite der Diagonale wiederholt sich auf der anderen. Für die Reihen von 3 bis 9 verkürzt das 49 Felder auf 28 verschiedene Aufgaben. Die Diagonale ist der Fall ohne Zwilling: 7 × 7 = 49 ist eine Quadratzahl und kommt nur einmal vor. Um ein Feld zu prüfen, zählst du entlang seiner Zeile in Schritten der Spaltenzahl: 6, 12, 18, 24 erreicht 4 × 6 in vier Schritten.
dieselben Punkte, gedreht: 4 × 5 und 5 × 4
Baue vierundzwanzig, dann baue es auf eine andere Art
| × | 3 | 4 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 9 | 12 | 18 | 21 | 24 | 27 |
| 4 | 12 | 16 | 24 | 28 | 32 | 36 |
| 6 | 18 | 24 | 36 | 42 | 48 | 54 |
| 7 | 21 | 28 | 42 | 49 | 56 | 63 |
| 8 | 24 | 32 | 48 | 56 | 64 | 72 |
| 9 | 27 | 36 | 54 | 63 | 72 | 81 |
Eine Merkhilfe, die hängen bleibt: 56 = 7 × 8 liest sich als 5, 6, 7, 8.
Jetzt du
Jetzt ist das Rechteck auf die Seite gedreht. Wie viele Quadrate?
Wie viele Quadrate?
Einmaleins üben
Wähle eine Reihe und beantworte in sechzig Sekunden so viele Aufgaben wie du kannst.
2 × 4
Eine Reihe auf einmal, sechzig Sekunden lang. Jede Reihe in der App üben
So üben, dass es hängen bleibt
Übe das Einmaleins jeden Tag ein paar Minuten in gemischter Reihenfolge, und lass jede Aufgabe früher wiederkommen, wenn sie danebengeht, und später, wenn sie richtig war. Eine gute Übungseinheit sind fünf Minuten mit Fragen wie 7 × 8, dann 3 × 9, dann 6 × 4, nie eine Reihe der Reihe nach. Gemischte Reihenfolge funktioniert, weil jede Antwort aus dem Gedächtnis geholt werden muss, und jedes Mal, wenn eine Aufgabe hervorgeholt wird, wird sie beim nächsten Mal leichter zu finden. Über Tage verteilt halten sie länger als eine vollgestopfte Stunde. Eine Aufgabe, die immer wieder danebengeht, wie 7 × 8 = 56, bekommt einen eigenen Plan: Nimm sie aus den zeitlich begrenzten Fragen heraus, baue sie aus einer Aufgabe, die du kennst, 7 × 4 = 28 verdoppelt, und setze sie zurück, sobald sie dreimal hintereinander stimmt. Geschwindigkeit kommt zuletzt, nach der Genauigkeit. Um zu prüfen, ob eine Reihe sitzt, frag ihre Aufgaben eine Woche später in zufälliger Reihenfolge ab.
Misch die Reihenfolge
„3, 6, 9, 12 …“ aufzusagen baut eine Kette auf, keinen Abruf: Wer so gelernt hat und kalt nach 3 × 7 gefragt wird, zählt vom Anfang los.
Kurz und täglich
Fünf Minuten am Tag schlagen eine Stunde am Sonntag: zehn Abrufe über zehn Tage verteilt sind mehr wert als fünfzig an einem Stück.
Lass den Abstand wachsen
Die wachsende Lücke heißt verteiltes Wiederholen, und deshalb schlägt eine gute Übungs-App das Arbeitsblatt: Das Blatt fragt alles gleich oft ab, ob man es braucht oder nicht.
Tempo erst nach Sicherheit
Eine Aufgabe zu stoppen, die noch nicht sitzt, trainiert das Raten. Erst zuverlässig richtig, dann wird es von allein schnell.
Ein Plan über vier Wochen
Ein Vierwochenplan lernt zuerst die leichten Reihen und hebt sich die sechs schweren Aufgaben bis zuletzt auf, mit fünf Minuten gemischter Übung am Tag. Woche 1 deckt die Reihen ×1, ×2, ×5 und ×10 ab, die Regeln folgen: 7 × 10 = 70, und 7 × 5 = 35 ist die Hälfte davon. Woche 2 fügt die 9er an den Fingern hinzu und die 3er durch Verdoppeln und einmal dazuzählen, also 3 × 8 = 16 + 8 = 24. Woche 3 fügt die 4er und 8er durchs Verdoppeln hinzu: 8 × 6 ist 6 dreimal verdoppelt, 12, 24, dann 48. Woche 4 sind die sechs schweren Aufgaben, wie 6 × 7 und 7 × 8, eine pro Tag. Jede Woche baut auf der vorigen auf, und frühere Reihen bleiben im Mix, damit nichts verblasst. Sind die Aufgaben einer Woche noch langsam, wiederhole diese Woche. Um zu prüfen, ob der Plan gewirkt hat, frag am Ende zwanzig gemischte Aufgaben ab.
- Woche 1: die geschenkten — ×1, ×2, ×5, ×10.
- Woche 2: ×9 und ×3, Woche 1 bleibt im Mix.
- Woche 3: ×4 und ×8, Woche 1 und 2 bleiben im Mix.
- Woche 4: der schwere Kern — sechs Aufgaben, eine Woche.
Die Tagesaufgabe ist kostenlos und braucht kein Konto.
Du bist dran
Drei zum Ausprobieren — tippe, was du herausbekommst.
7 × 8
6 × 9
12 × 12
Sobald der Abruf automatisch läuft, sind die Abkürzungen aus den Kopfrechen-Tricks der natürliche nächste Schritt — fast alle setzen ein sitzendes Einmaleins voraus.
Fragen und Antworten
- Wie übt man das Einmaleins am besten?
- Kurz, täglich und in gemischter Reihenfolge. Fünf konzentrierte Minuten am Tag bringen mehr als eine Stunde pro Woche, denn eine Aufgabe festigt sich jedes Mal, wenn man sie aus dem Gedächtnis holt, nicht in jeder Minute, in der man sie anschaut. Eine Reihe der Reihe nach aufzusagen baut eine Kette auf, keinen Abruf — am Ende zählt man vom Anfang los. Gemischte Reihenfolge erzwingt echtes Erinnern.
- Wie lange dauert es, das Einmaleins zu lernen?
- Die meisten kommen in sechs bis zehn Wochen zu verlässlichem Abruf, bei fünf bis zehn Minuten täglich und gemischt statt aufgesagt. Das geht schneller, als man erwartet, denn von den 144 Aufgaben ist nur eine Handvoll wirklich schwer — der Rest ist durch ein Muster abgedeckt, durch die Tauschaufgabe, oder ohnehin schon bekannt.
- Welche Einmaleins-Reihen sind die schwersten?
- Nimmt man die leichten Reihen heraus und zählt jede Tauschaufgabe nur einmal, bleiben als wirklich schwer ungefähr 6×7, 6×8, 7×8, 7×9, 6×6 und 7×7. Fast alles andere deckt ein Muster ab. Genau diese wenigen gezielt zu üben ist weit wirksamer, als alle 144 durchzugehen.
- Muss man 3 × 8 und 8 × 3 beide lernen?
- Nein. Das Ergebnis ist in beiden Richtungen gleich, also kommt zu jeder gelernten Aufgabe die Tauschaufgabe gratis dazu. Dieser eine Gedanke halbiert den Lernstoff, und er gehört ausdrücklich erklärt statt dem Zufall überlassen.