भाग

अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

भाग की जो बदनामी है, वह उसने कमाई नहीं है। हर भाग का सवाल असल में गुणा का सवाल है, उलटा पढ़ा हुआ: 72 ÷ 8 यानी बस “8 गुना कितना 72 होता है?” अगर आपको पहाड़े आते हैं, तो उत्तर पहले से आपके पास हैं — यह गाइड उन्हें पढ़ने का तरीक़ा बताती है, तेज़ मानसिक विधियों से लेकर पूरी लंबी भाग विधि तक, एक बार में एक क़दम।

भाग का मतलब क्या है (दो तस्वीरें)

बाँटना: 12 टॉफ़ियाँ 3 दोस्तों में — हर एक को कितनी? समूह बनाना: 12 टॉफ़ियाँ, 3-3 के पैकेट — कितने पैकेट? दोनों 12 ÷ 3 = 4 हैं, और दोनों तस्वीरें काम की हैं: बाँटने के रास्ते बच्चे भाग से मिलते हैं, और समूह बनाना वह है जो आगे बड़े सवालों तक साथ चलता है (लंबी भाग विधि व्यवस्थित समूह बनाना ही है)।

मन ही मन भाग कैसे करें?

मन ही मन भाग देने के लिए, भाग को पहाड़े के सवाल में बदल दीजिए: 54 ÷ 6 यह पूछता है कि कौन-सी संख्या 6 से गुणा होकर 54 बनाती है, और 6 × 9 = 54, तो उत्तर 9 है। जो भी पहाड़े की बात आपको आती है, वह भाग की भी बात है, क्योंकि भाग, गुणा को उलट देता है। पहाड़ों से आगे की संख्याओं के लिए, संख्या को भाजक के किसी आसान गुणज और एक जाने-पहचाने हिस्से में बाँटिए। 78 ÷ 6 के लिए, 60 लीजिए, जो दस 6 हैं, और 18 बचता है, जो तीन 6 हैं, तो 78 ÷ 6 = 10 + 3 = 13। 4 या 8 से भाग देने का अपना रास्ता है: 4 के लिए दो बार आधा कीजिए और 8 के लिए तीन बार, तो 96 ÷ 8, 48, 24, 12 से होकर जाता है। जब कोई संख्या बराबर नहीं बँटती, तो बचा हुआ हिस्सा शेष कहलाता है, और वह भाजक से छोटा होना चाहिए। किसी भी उत्तर की जाँच के लिए, पीछे गुणा कीजिए: 13 × 6 = 78।

क़दम 1: पहाड़ा उलटा पढ़िए

$56÷7\to$56 ÷ 7 → “सात गुना कितना 56 होता है?” $\to 8$→ 8. कोई नया हुनर नहीं; जो बात आपको आती है, उसे दूसरी दिशा से पढ़ना भर है।

क़दम 2: 4 और 8 से भाग, आधा करके

1. ÷ 4 = आधा, फिर आधा। $156÷4\to 78\to 39$156 ÷ 4 → 78 → 39.
2. ÷ 8 = तीन बार आधा। $328÷8\to 164\to 82\to 41$328 ÷ 8 → 164 → 82 → 41.

क़दम 3: टुकड़े करके भाग

भाजक का कोई आसान गुणज अलग कर लीजिए, बाक़ी बाँट दीजिए।

$91÷7\to 70$91 ÷ 7 → 70 अलग कीजिए (दस सात$)\to 21$) → 21 बचे (तीन सात$)\to 10+3=$) → 10 + 3 = 13.

अंक दर अंक भाग

लघु भाग संख्या में से बाईं ओर से दाईं ओर, एक बार में एक अंक करके चलता है: अंक को भाजक से भाग दीजिए, ऊपर लिखिए कि वह कितनी पूरी बार समाता है, और कोई शेष अगले अंक के आगे ले जाइए। 738 ÷ 3 के लिए, 7 ÷ 3 यानी 2, शेष 1, तो 2 लिखिए और 1 आगे ले जाकर 13 बनाइए। इसके बाद, 13 ÷ 3 यानी 4, शेष 1, जो 18 बनाता है। आख़िर में, 18 ÷ 3 = 6 ठीक-ठीक, तो 738 ÷ 3 = 246। यह इसलिए चलता है क्योंकि आगे ले जाया गया हर 1, अगले स्थान का दस होता है: बचा हुआ सैकड़ा 10 दहाई बन जाता है। जब पहला अंक भाजक से छोटा हो, तो एक अंक बाद शुरू कीजिए। 256 ÷ 4 में, 2 बहुत छोटा है, तो उसके ऊपर कुछ न लिखिए और इसकी जगह 25 को बाँटिए: 6, शेष 1, फिर 16 ÷ 4 = 4, जिससे 64 मिलता है। जाँचने के लिए, पीछे गुणा कीजिए: 246 × 3 = 738।

852 ÷ 4:

1. 8 ÷ 4 = 2, कुछ नहीं बचा।
2. 5 ÷ 4 = 1, शेष 1 — यह 1 अगले अंक के आगे चला जाता है।
3. इससे आख़िरी अंक 12 बन जाता है। 12 ÷ 4 = 3।

उत्तर: 213। जाँच: 213 × 4 = 852. ✓

लंबी भाग विधि, बिना डर

लंबी भाग विधि वही अंक दर अंक भाग है, बस शेष दिमाग़ में रखने के बजाय लिखे जाते हैं — और ठीक इसीलिए यह तब भी चलती है जब भाजक दो अंकों का हो और दिमाग़ में जगह न बचे। चार चालें, अंत तक दोहराई जाने वाली:

1. भाग — भाजक कितनी बार बैठता है? ऊपर लिख दीजिए।
2. गुणा — उसमें कितना ख़र्च हुआ?
3. घटाव — क्या बचा?
4. नीचे उतारना — अगला अंक उतारिए, और फिर से।

936 ÷ 24:

1. 93 में 24, 3 बार बैठता है (3 × 24 = 72)। 3 लिखिए।
2. 93 − 72 = 21 बचे।
3. 6 नीचे उतारिए $\to 216$→ 216।
4. 216 में 24 ठीक 9 बार बैठता है (9 × 24 = 216)। 9 लिखिए। कुछ नहीं बचा।

उत्तर: 39। जाँच: 39 × 24 = 936. ✓

शेषफल: वह हिस्सा जो बाँटने के लिए बहुत छोटा है

शेष वह रक़म है जो बचती है जब कोई संख्या बराबर समूहों में ठीक-ठीक नहीं बँटती। 17 ÷ 5 = 3, शेष 2 पाँच, 17 में तीन बार समाता है, जो 3 × 5 = 15 इस्तेमाल करता है, और 17 − 15 = 2 बच जाता है। शेष हमेशा भाजक से छोटा होता है, क्योंकि अगर 5 या ज़्यादा बचता, तो 5 का एक और समूह समा जाता। तो 17 ÷ 5 कभी 6 नहीं बचा सकता, और इतना बड़ा शेष यह बताता है कि ऊपर वाला उत्तर बहुत छोटा है। शेष के साथ आप क्या करते हैं, यह सवाल पर निर्भर है। अगर 17 लोग 5-5 की सीटों वाली गाड़ियों में जाएँ, तो बचे हुए 2 को भी सीट चाहिए, तो उत्तर 4 गाड़ियाँ है, 3 नहीं। अगर 17 पेंसिलें 5-5 के डिब्बों में रखी जाएँ, तो सिर्फ़ 3 डिब्बे भरे हैं, और 2 पेंसिलें अलग रह जाती हैं। शेष की जाँच के लिए, गुणा करके उसे वापस जोड़िए: 3 × 5 + 2 = 17।

पैसे अलग हैं: ₹17 पाँच में बाँटें तो हर एक को ₹3.40 (भाग को दशमलव में आगे बढ़ाते रहिए)।

बिना भाग किए कैसे पता करें कि कोई संख्या भाग जाती है?

विभाज्यता की जाँच भाग देने की बजाय अंकों को पढ़ती है। कोई संख्या 2 से बँटती है अगर उसका आख़िरी अंक सम हो, 5 से अगर वह 0 या 5 पर ख़त्म हो, और 10 से अगर वह 0 पर ख़त्म हो। 3 और 9 के लिए, अंकों को जोड़िए: संख्या 3 से तब बँटती है जब अंकों का योग बँटता है, और 9 से तब जब अंकों का योग बँटता है। 4,158 लीजिए। इसका आख़िरी अंक 8 है, तो यह 2 से बँटती है। इसके अंक जुड़कर 4 + 1 + 5 + 8 = 18 बनाते हैं, और 18, 3 और 9 दोनों से बँटता है, तो 4,158 भी बँटती है। आख़िरी अंक वाली जाँचें इसलिए चलती हैं क्योंकि हर दहाई पहले से ही 2, 5 और 10 से बँटती है, तो सिर्फ़ इकाई का अंक ही इसे बिगाड़ सकता है। अंकों के योग वाली जाँच इसलिए चलती है क्योंकि 10, 100 और 1,000 में से हर एक, 9 के किसी गुणज से एक ज़्यादा है। अगर अंकों का योग अब भी बड़ा हो, तो उसके अंक फिर जोड़िए। जाँचने के लिए, एक बार भाग दीजिए: 4,158 ÷ 9 = 462।

हर परीक्षण, और वह क्यों काम करता है: विभाज्यता के नियम।