भाग

भाग की जो बदनामी है, वह उसने कमाई नहीं है। हर भाग का सवाल असल में गुणा का सवाल है, उलटा पढ़ा हुआ: 72 ÷ 8 यानी बस “8 गुना कितना 72 होता है?” अगर आपको पहाड़े आते हैं, तो उत्तर पहले से आपके पास हैं — यह गाइड उन्हें पढ़ने का तरीक़ा बताती है, तेज़ मानसिक विधियों से लेकर पूरी लंबी भाग विधि तक, एक बार में एक क़दम।

भाग का मतलब क्या है (दो तस्वीरें)

बाँटना: 12 टॉफ़ियाँ 3 दोस्तों में — हर एक को कितनी? समूह बनाना: 12 टॉफ़ियाँ, 3-3 के पैकेट — कितने पैकेट? दोनों 12 ÷ 3 = 4 हैं, और दोनों तस्वीरें काम की हैं: बाँटने के रास्ते बच्चे भाग से मिलते हैं, और समूह बनाना वह है जो आगे बड़े सवालों तक साथ चलता है (लंबी भाग विधि व्यवस्थित समूह बनाना ही है)।

इन्हीं दो तस्वीरों की वजह से 12 ÷ 3 असल ज़िंदगी के दो अलग सवालों का जवाब एक ही संख्या से दे देता है। गणित यहाँ गोलमोल नहीं हो रहा — वह किफ़ायती हो रहा है।

मन ही मन भाग

क़दम 1: पहाड़ा उलटा पढ़िए

56 ÷ 7 → “सात गुना कितना 56 होता है?” → 8. कोई नया हुनर नहीं; जो बात आपको आती है, उसे दूसरी दिशा से पढ़ना भर है।

क़दम 2: 4 और 8 से भाग, आधा करके

  1. ÷ 4 = आधा, फिर आधा। 156 ÷ 4 → 78 → 39.
  2. ÷ 8 = तीन बार आधा। 328 ÷ 8 → 164 → 82 → 41.
4 यानी 2 × 2 और 8 यानी 2 × 2 × 2, इसलिए इनसे भाग देना असल में 2 से उतनी ही बार भाग देना है। आधा करना वह अकेली भाग-क्रिया है जिसमें सब तेज़ होते हैं — यह तरकीब कुछ नया माँगने के बजाय उसी को तीन बार बरत लेती है।

क़दम 3: टुकड़े करके भाग

भाजक का कोई आसान गुणज अलग कर लीजिए, बाक़ी बाँट दीजिए।

91 ÷ 7 → 70 अलग कीजिए (दस सात) → 21 बचे (तीन सात) → 10 + 3 = 13.

यह इसलिए चलता है कि भाग टुकड़ों पर बँट जाता है: (70 + 21) ÷ 7 = 70 ÷ 7 + 21 ÷ 7। आपने टुकड़े इस तरह चुने कि दोनों हिस्से आसान पड़ें — और यही चुनाव पूरा हुनर है।

अंक दर अंक भाग

जब संख्या मन ही मन करने लायक़ न रहे, तो बाएँ से दाएँ चलिए, एक-एक अंक, और बचा हुआ आगे ले जाइए।

852 ÷ 4:

  1. 8 ÷ 4 = 2, कुछ नहीं बचा।
  2. 5 ÷ 4 = 1, शेष 1 — यह 1 अगले अंक के आगे चला जाता है।
  3. इससे आख़िरी अंक 12 बन जाता है। 12 ÷ 4 = 3।

उत्तर: 213। जाँच: 213 × 4 = 852. ✓

आगे ले जाना असल में स्थानीय मान का काम है। दहाई के ख़ाने से बचा “1” एक दहाई है; इकाई के 2 के साथ रखने पर वह बारह इकाई बन जाता है। अंक दर अंक भाग बस हर ख़ाने को बाँटता है और बचा हुआ अगले ख़ाने को थमा देता है।

लंबी भाग विधि, बिना डर

लंबी भाग विधि वही अंक दर अंक भाग है, बस शेष दिमाग़ में रखने के बजाय लिखे जाते हैं — और ठीक इसीलिए यह तब भी चलती है जब भाजक दो अंकों का हो और दिमाग़ में जगह न बचे। चार चालें, अंत तक दोहराई जाने वाली:

  1. भाग — भाजक कितनी बार बैठता है? ऊपर लिख दीजिए।
  2. गुणा — उसमें कितना ख़र्च हुआ?
  3. घटाव — क्या बचा?
  4. नीचे उतारना — अगला अंक उतारिए, और फिर से।

936 ÷ 24:

  1. 93 में 24, 3 बार बैठता है (3 × 24 = 72)। 3 लिखिए।
  2. 93 − 72 = 21 बचे।
  3. 6 नीचे उतारिए → 216।
  4. 216 में 24 ठीक 9 बार बैठता है (9 × 24 = 216)। 9 लिखिए। कुछ नहीं बचा।

उत्तर: 39। जाँच: 39 × 24 = 936. ✓

भाग–गुणा–घटाव–उतारना कोई जादुई मंत्र नहीं है। हर चक्कर यही पूछता है कि “कितने पूरे समूह बैठते हैं, और अभी कितना बिना बँटा पड़ा है?” — यानी समूह बनाना, व्यवस्थित ढंग से। घटाव की पंक्ति ही उस समय तक का शेष है; अगला अंक उतारना यानी उसी शेष को हाथ में लेकर अगले स्थानीय मान पर चले जाना।

शेषफल: वह हिस्सा जो बाँटने के लिए बहुत छोटा है

17 ÷ 5 = 3, शेष 2 — पाँच तीन मिलकर 15 ले लेते हैं, और बचे 2 एक और हिस्से से कम हैं।

शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है — अगर न होता, तो एक हिस्सा और बैठ जाता। यही एक वाक्य इस बात की जाँच भी है कि लंबी भाग विधि का कोई चक्कर पूरा हुआ या नहीं।

शेष का आप करते क्या हैं, यह सवाल पर निर्भर है: 5 सीटों वाली गाड़ियों में 17 लोगों के लिए 4 गाड़ियाँ चाहिए (ऊपर की ओर पूर्णांकन); ₹17 पाँच में बाँटें तो हर एक को ₹3.40 (भाग को दशमलव में आगे बढ़ाते रहिए — अंग्रेज़ी में)।

बिना भाग दिए जान लेना कि पूरी बँटेगी

किससे बँटती हैनियमउदाहरण
2आख़िरी अंक सम हो374 ✓
50 या 5 पर ख़त्म हो485 ✓
3अंकों का योग 3 से बँटे738 → 18 ✓
9अंकों का योग 9 से बँटे738 → 18 ✓
100 पर ख़त्म हो730 ✓
अंकों के योग वाले नियम इसलिए चलते हैं कि 10, 100, 1000… में से हर एक को 9 (और 3) से भाग देने पर शेष 1 बचता है। इसलिए हर अंक शेष में सिर्फ़ अपने बराबर जुड़ता है — अंकों का योग वही शेष रखता है जो पूरी संख्या रखती है। लगता जादू जैसा है; है फिर वही स्थानीय मान।

ऐप में ठीक से सीखिए

ऊपर की हर चाल Math Challenge में एक पूरा पाठ है, चित्रों और अभ्यास-सवालों के साथ:

ये बुनियादी अंकगणित के पाठों और विभाज्यता के नियमों वाले पाठों में मिलेंगे — ऊपर गिनाए सभी मुफ़्त हैं।

खेल में अभ्यास

भाग विषय में पूरे उत्तर वाली भाग-क्रियाएँ आती हैं, पहाड़ों के सवालों से लेकर कठिन मोड के 3648 ÷ 48 जैसे सवालों तक — चार अंकों तक के भाज्य और दो अंकों के भाजक — ताकि हर सवाल वापस गुणा करके जाँचा जा सके।

आपकी बारी

तीन सवाल — जो जवाब लगे उस पर टैप कीजिए।

91 ÷ 7

156 ÷ 12

50 ÷ 7 का शेषफल क्या है?

भाग मुफ़्त में अभ्यास कीजिए →