पहाड़े

अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

पहाड़े ज़ुबानी याद हों तो आगे का सारा गणित तेज़ हो जाता है — भाग, भिन्न, प्रतिशत और मन ही मन हिसाब लगाने की हर तरकीब इन्हीं पर टिकी है। अच्छी बात यह है कि 144 सवाल रटने की ज़रूरत नहीं। ज़्यादातर तो अपने आप मिल जाते हैं।

सचमुच मुश्किल सिर्फ़ छह के आसपास हैं

12 × 12 की तालिका में सिर्फ़ छह तथ्य सचमुच मुश्किल हैं: 6 × 6 = 36, 6 × 7 = 42, 6 × 8 = 48, 7 × 7 = 49, 7 × 8 = 56 और 7 × 9 = 63। तालिका में 144 तथ्य हैं, पर ज़्यादातर मुफ़्त मिलते हैं। ×1 और ×10 की पंक्तियाँ नियमों का पालन करती हैं, ×2 दुगुना करना है, और ×5 व ×9 में पैटर्न हैं। हर तथ्य का एक जोड़ीदार भी होता है, क्योंकि 3 × 8 = 8 × 3, तो एक तथ्य सीखने से दो सीख लिए जाते हैं। जो बचता है वह तालिका का बीचोबीच है, बिना किसी पैटर्न के सहारे के। अगर किसी सीखने वाले को 5 का पहाड़ा अभी नहीं आता, तो वहीं से शुरू कीजिए: 6 × 7 तक का सबसे तेज़ रास्ता है 5 × 7 + 7 = 35 + 7 = 42, तो पहले 5 का पहाड़ा सीखिए। जाँचने के लिए, किसी आसान तथ्य से मुश्किल तथ्य बनाइए: 7 × 8 यानी 7 × 4 = 28, दुगुना करके 56।

पूरे 144 से शुरू कीजिए और वह सब हटा दीजिए जो असल में याद करने की चीज़ है ही नहीं:

• ×1 और ×10 नियम हैं, याद करने की बात नहीं। 36 गए।
• ×2 यानी दुगुना करना, जो लगभग सबको पहले से आता है। और ×5 तथा ×9 के पैटर्न इतने पक्के हैं कि उन्हें याद करने की नौबत ही नहीं आती (नीचे देखिए)।
• हर सवाल का एक जुड़वाँ है। 3 × 8 और 8 × 3 एक ही सवाल हैं। बचे हुए में से आधे यहीं कम हो गए।

जो बचता है वह एक छोटा-सा केंद्र है — मोटे तौर पर 6×7, 6×8, 7×8, 7×9, 6×6 और 7×7। नीचे की तालिका में ये उभारकर दिखाए गए हैं।

काम की तरकीबें, पहाड़ा दर पहाड़ा

×9 — उँगलियों पर

दसों उँगलियाँ खोल लीजिए। 9 × 4 के लिए चौथी उँगली मोड़ दीजिए: बाईं ओर 3 उँगलियाँ (30) और दाईं ओर $6\left(6\right)\to$6 (6) → 36।

×5 — आधा कीजिए, फिर ×10

$5\times 8\to 8$5 × 8 → 8 का आधा $4\to$4 → 40। हर उत्तर 0 या 5 पर ख़त्म होता है।

×4 — दुगुना, फिर दुगुना

$4\times 7\to 14\to$4 × 7 → 14 → 28। इसी तरह ×8 यानी तीन बार दुगुना।

×11 — अंक दोहरा दीजिए

एक अंक हो तो उसे दो बार लिख दीजिए: 11 × 7 = 77। दो अंक हों तो उन्हें जोड़कर बीच में रख दीजिए: $11\times 23\to 2\left(2+3\right)3\to$11 × 23 → 2 (2+3) 3 → 253।

×3 — दुगुना, फिर एक बार और

$3\times 7\to 7$3 × 7 → 7 का दुगुना 14, और $7\to$7 → 21। जब तक तीन का पहाड़ा जमा नहीं है, यह काम आता है।

×6 — पाँच का पहाड़ा जो आपको आता ही है, और एक बार

$6\times 7\to 5\times 7=35$6 × 7 → 5 × 7 = 35, और $7\to$7 → 42। तालिका के मुश्किल बीच तक पहुँचने का यह सबसे तेज़ रास्ता है, क्योंकि पाँच का पहाड़ा आसान है।

पहाड़े की तालिका क्या दिखाती है?

पहाड़े की तालिका हर गुणनफल को एक कोठरी में दिखाती है: जिस संख्या पर एक पंक्ति एक स्तंभ से मिलती है, वह पंक्ति की संख्या गुणा स्तंभ की संख्या है। पंक्ति 4 और स्तंभ 6 ढूँढ़िए, और कोठरी में 24 है, क्योंकि 4 × 6 = 24। हर गुणनफल एक आयत भी है, कोठरियों का, 4 पंक्तियाँ 6-6 की, और इसीलिए तालिका सममित है: आयत को करवट पर घुमाइए और वह 6 पंक्तियाँ 4-4 की बन जाती है, वही 24 कोठरियाँ। तो 6 × 4 = 4 × 6, और विकर्ण के एक तरफ़ का हर तथ्य दूसरी तरफ़ दोहराता है। 3 से 9 तक के पहाड़ों के लिए, यह 49 कोठरियों को घटाकर 28 अलग तथ्य कर देता है। विकर्ण वह मामला है जिसका कोई जोड़ीदार नहीं: 7 × 7 = 49 एक वर्ग संख्या है, और सिर्फ़ एक बार आती है। किसी कोठरी की जाँच के लिए, उसकी पंक्ति में स्तंभ की संख्या के बराबर क़दमों में गिनिए: 6, 12, 18, 24, चार क़दमों में 4 × 6 तक पहुँचता है।

एक बात पकड़ रखने लायक: 56 = 7 × 8 को 5, 6, 7, 8 की तरह पढ़ा जा सकता है।

पहाड़े का अभ्यास

एक पहाड़ा चुनिए और साठ सेकंड में जितने सवाल हो सकें उतने कीजिए।

ऐसे अभ्यास कीजिए कि टिके

पहाड़े हर दिन कुछ मिनट मिले-जुले क्रम में अभ्यास कीजिए, और हर तथ्य को चूकने पर जल्दी और सही होने पर देर से लौटने दीजिए। एक अच्छा सत्र है पाँच मिनट के सवाल जैसे 7 × 8, फिर 3 × 9, फिर 6 × 4, कभी एक पहाड़ा क्रम से नहीं। मिले-जुले क्रम इसलिए चलते हैं क्योंकि हर उत्तर याद से खींचना पड़ता है, और हर बार जब कोई तथ्य खींचा जाता है, वह अगली बार ढूँढ़ना आसान हो जाता है। दिनों में फैलाए जाने पर, वे किसी ठसाठस भरे घंटे से ज़्यादा टिकते हैं। जो तथ्य बार-बार ग़लत होता रहे, जैसे 7 × 8 = 56, उसे अपनी अलग योजना मिलती है: उसे समय-सीमा वाले सवालों से बाहर निकालिए, उसे किसी जाने-पहचाने तथ्य से बनाइए, 7 × 4 = 28 दुगुना, और उसे वापस डाल दीजिए जब वह लगातार तीन बार सही आए। रफ़्तार आख़िर में आती है, सटीकता के बाद। किसी पहाड़े के पक्के होने की जाँच के लिए, एक हफ़्ते बाद उसके तथ्य बेतरतीब क्रम में पूछिए।

क्रम मिला दीजिए

“3, 6, 9, 12…” रटने से एक कड़ी बनती है, याद नहीं: बिना तैयारी 3 × 7 पूछा जाए तो कड़ी वाला बच्चा शुरू से गिनने लगता है।

थोड़ा और रोज़

रोज़ के पाँच मिनट रविवार के एक घंटे पर भारी पड़ते हैं: दस दिन में फैले दस बार, एक ही बैठक के पचास बार से ज़्यादा क़ीमती हैं।

अंतराल बढ़ने दीजिए

यह बढ़ता हुआ अंतराल ही अंतराल-आधारित दोहराव कहलाता है, और इसी वजह से एक अच्छा अभ्यास ऐप काग़ज़ की वर्कशीट से बेहतर है — वर्कशीट सब कुछ बराबर पूछती है, चाहे ज़रूरत हो या न हो।

पहले सही, फिर तेज़

जो सवाल अभी जमा नहीं है, उस पर घड़ी लगाना अंदाज़ा लगाना सिखाता है। पहले हर बार सही आने दीजिए; तेज़ी अपने आप आ जाएगी।

चार हफ़्ते का क्रम

चार हफ़्तों की योजना पहले आसान पहाड़े सीखती है और छह मुश्किल तथ्य आख़िर के लिए बचाती है, रोज़ पाँच मिनट के मिले-जुले अभ्यास के साथ। हफ़्ता 1 ×1, ×2, ×5 और ×10 के पहाड़े कवर करता है, जो नियमों का पालन करते हैं: 7 × 10 = 70, और 7 × 5 = 35 उसका आधा है। हफ़्ता 2 उँगलियों पर 9 का पहाड़ा और दुगुना करके एक और जोड़कर 3 का पहाड़ा जोड़ता है, तो 3 × 8 = 16 + 8 = 24। हफ़्ता 3 दुगुना करके 4 और 8 के पहाड़े जोड़ता है: 8 × 6 यानी 6 को तीन बार दुगुना किया, 12, 24, फिर 48। हफ़्ता 4 छह मुश्किल तथ्य हैं, जैसे 6 × 7 और 7 × 8, एक रोज़। हर हफ़्ता पिछले पर टिका है, और पुराने पहाड़े मिश्रण में बने रहते हैं ताकि कुछ भी फीका न पड़े। अगर किसी हफ़्ते के तथ्य अभी भी धीमे हों, तो वह हफ़्ता दोहराइए। योजना के काम करने की जाँच के लिए, आख़िर में बीस मिले-जुले तथ्य पूछिए।

• पहला हफ़्ता: मुफ़्त वाले — ×1, ×2, ×5, ×10।
• दूसरा हफ़्ता: ×9 और ×3, पहला हफ़्ता अब भी मिश्रण में।
• तीसरा हफ़्ता: ×4 और ×8, हफ़्ते 1-2 अब भी मिश्रण में।
• चौथा हफ़्ता: मुश्किल केंद्र — छह तथ्य, एक हफ़्ता।

दैनिक चुनौती मुफ़्त है और उसके लिए कोई खाता नहीं चाहिए।

जब याद अपने आप आने लगे, तो मानसिक गणित की तरकीबें (अंग्रेज़ी में) अगला स्वाभाविक क़दम हैं — उनमें से लगभग हर तरकीब मानकर चलती है कि पहाड़े पलक झपकते आते हैं।