माध्य की जगह माध्यिका कब बरतनी चाहिए?

जब भी आँकड़ों में चरम मान या लंबी पूँछ हो, माध्यिका बरतिए — माध्य विपथी मानों की ओर खिंच जाता है और माध्यिका नहीं। घरों की क़ीमतें और आमदनियाँ जाने-पहचाने उदाहरण हैं: मुट्ठी भर बहुत बड़े मान माध्य को उससे ऊपर खींच लेते हैं जो ज़्यादातर लोग जीते हैं, जबकि माध्यिका बीच वाले घर का नाम लेती है। माध्य तब बरतिए जब बँटवारा लगभग सममित हो, या जब कुल चाहिए — माध्य को गिनती से गुणा करने पर योग वापस मिल जाता है।

मानक विचलन असल में क्या नापता है?

किसी मान की माध्य से आम तौर की दूरी। हर मान का माध्य से विचलन निकालिए, उनका वर्ग कीजिए ताकि धन और ऋण कट न जाएँ, वर्गों का औसत लीजिए, फिर मूल इकाइयों में लौटने के लिए वर्गमूल। 4 सेमी का मानक विचलन कहता है कि मान औसतन माध्य से क़रीब 4 सेमी दूर बैठते हैं। यह आँकड़ों की ही इकाई में है — प्रसरण के बजाय इसी को इसीलिए बताया जाता है।

अंतश्चतुर्थक परिसर कैसे निकालें?

आँकड़ों को क्रम में रखिए, माध्यिका निकालिए, फिर निचले आधे की माध्यिका और ऊपरी आधे की माध्यिका। वही निचला और ऊपरी चतुर्थक हैं, और अंतश्चतुर्थक परिसर है ऊपरी घटा निचला। यह आँकड़ों के बीच वाले आधे का फैलाव बताता है और चरम मानों को पूरी तरह अनदेखा करता है — ठीक इसीलिए इसे माध्य के बजाय माध्यिका के साथ बताया जाता है।

वर्गीकृत बारंबारता सारणी से ठीक-ठीक माध्य क्यों नहीं निकलता?

क्योंकि वर्गीकरण मूल मानों को फेंक देता है। 20 से 30 दर्ज हुए वर्ग में मान 21 पर गुच्छे हो सकते हैं या 29 पर, और सारणी को अब पता नहीं कौन-सा सच है। मानक विधि मानती है कि हर मान अपने वर्ग के मध्य-बिंदु पर बैठा है — औसतन वाजिब, पर सटीक नहीं, इसलिए वर्गीकृत माध्य हमेशा अनुमान कहकर बताया जाता है। यही सीमा बहुलक-वर्ग को अकेला बहुलक नहीं, एक वर्ग बनाती है।

सिम्पसन का विरोधाभास क्या है?

जब कोई रुझान हर उप-समूह में टिकता है और समूहों को मिलाते ही पलट जाता है। एक इलाज हल्के मामलों में भी दूसरे से ऊँची सफलता-दर रख सकता है और गंभीर मामलों में भी, फिर भी कुल मिलाकर नीची — क्योंकि समूहों के आकार और गंभीरताएँ बहुत अलग थीं। यह विरोधाभास चेतावनी है कि मिली-जुली आबादी का औसत उसमें के किसी व्यक्ति का गुण नहीं है, और आँकड़े मिलाना ऐसा नतीजा गढ़ सकता है जिसे कोई हिस्सा नहीं मानता।

दो आँकड़ा-समुच्चयों की तुलना ढंग से कैसे करें?

केंद्र का एक माप और फैलाव का एक माप मिलाइए, और संदर्भ में कहिए कि हर एक का मतलब क्या है। एक ही माध्य अंक वाली दो कक्षाएँ पूरी तरह अलग हो सकती हैं अगर एक का मानक विचलन 3 है और दूसरी का 15 — दूसरी में सबसे तगड़े भी हैं और सबसे कमज़ोर भी। सिर्फ़ औसत बताने वाली तुलना ने आधा सवाल हल किया है — और वही आधा, जो दिलचस्प फ़र्क़ छिपा लेता है।

औसत और फैलाव

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अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

औसत बहुतों की जगह खड़ी एक संख्या है, और पूरा विषय इस बारे में है कि वह अदला-बदली किस क़ीमत पर होती है। दो आँकड़ा-समुच्चय एक माध्य बाँट सकते हैं और उनमें और कुछ भी साझा न हो — इसीलिए आँकड़ों के बारे में हर संजीदा बयान केंद्र और फैलाव दोनों बताता है, और इसीलिए अकेला “औसत” सांख्यिकी का सबसे चुपचाप गुमराह करने वाला लफ़्ज़ है।

कौन-सा औसत बरतें?

माध्य का उपयोग तब कीजिए जब मान काफ़ी समान रूप से फैले हों, माध्यिका का जब आँकड़ों में विपथी मान हों या वे तिरछे हों, और बहुलक का जब आँकड़े कोटियों में हों, जहाँ कोई अंकगणित करने को है ही नहीं। केंद्रीय प्रवृत्ति के माप इस चुनाव को सोचा-समझा बनाता है। माध्य मानों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग देता है। 4, 5, 5, 6 और 30 के लिए, माध्य है (4 + 5 + 5 + 6 + 30) ÷ 5 = 10, लेकिन माध्यिका, यानी बीच वाला मान, 5 है, और बहुलक, यानी सबसे आम मान, भी 5 है। माध्य इसलिए खिसका क्योंकि वह एक बड़ा मान, 30, कुल को ऊपर खींचता है, जबकि माध्यिका केवल क्रम पर निर्भर करती है। मानों की सम संख्या होने पर, माध्यिका बीच के दोनों मानों के ठीक बीच में होती है: 3, 5, 7 और 9 के लिए यह (5 + 7) ÷ 2 = 6 है। माध्य को हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच बैठना चाहिए।

$x ˉ = \frac{\sum \sum x}{n} = 3.8 x ~ = 4$

जब आँकड़े क्रम में लगा दिए जाते हैं तो माध्यिका बीच का मान है, इसलिए वह क्रम पर निर्भर करती है, आकार पर नहीं — x₅ को बाकी मानों से आगे खिसकाने पर भी वह कभी नहीं हिलती

अंतिम मान को दाईं ओर बहुत दूर खींचिए

माध्य कुल को बराबर बाँट देता है, और माध्यिका और बहुलक बाक़ी दोनों देता है।

जोड़ो और बाँटो: 2 + 6 + 4 = 12, और 12 ÷ 3 = 4 — औसत, जिसे माध्य भी कहते हैं। पूरा पाठ: माध्य

वेतन 22, 24, 25, 26 और 180 (हज़ारों में): माध्य 55.4 है, माध्यिका 25. उस दफ़्तर में 55.4 के आस-पास भी कोई नहीं कमाता — ईमानदार सार माध्यिका है।

माध्य एक संतुलन-बिंदु है और माध्यिका एक गिनती-बिंदु — विपथी मान पर दोनों इसीलिए इतना अलग बरतते हैं। सबसे बड़ा मान 180 से 1,800 कर दीजिए: माध्य उछलकर क़रीब 380 पहुँच जाता है; माध्यिका हिलती तक नहीं, क्योंकि उसे बस इतना देखना है कि बीच में कौन है — छोर कितनी दूर हैं, नहीं। आम तौर पर कोई भी सही नहीं है — माध्य वही है जो वापस कुल में बदला जा सकता है, तो तनख़्वाह के बही-खाते को वह चाहिए और आम कर्मचारी की तस्वीर को नहीं।

6 की जगह 24 रखो तो माध्य 10 पर चला जाता है, पर माध्यिका अब भी 4 है। पूरा पाठ: केंद्रीय प्रवृत्ति के मापक

सारणी से औसत

एक ही मान बार-बार आए, तो सबको गिनाना फ़िज़ूल है। बारंबारता सारणी से औसत छोटा रास्ता दिखाता है: हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा कीजिए, गुणनफल जोड़िए, और कुल बारंबारता से भाग दीजिए। माध्यिका बारंबारताओं के चालू योग से आती है — बीच वाली चीज़ जहाँ गिरती है।

माध्य हर मान को उसकी बारंबारता से भारित करता है: 10 खेलों में 19 गोल यानी 1.9। पूरा पाठ: बारंबारता सारणी से औसत

वर्गीकृत आँकड़े कठिन हैं, क्योंकि अलग-अलग मान जा चुके हैं। वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य मानता है कि हर मान अपने वर्ग के मध्य-बिंदु पर है — जिससे उत्तर एक अनुमान बनता है, ईमानदार अनुमान, और उसे यही कहकर लिखना चाहिए। बहुलक-वर्ग दूसरी तरफ़ यही समांतर बात करता है: वर्गीकृत आँकड़ों में सबसे भरा वर्ग बताया जा सकता है, अकेला बहुलक-मान नहीं।

यहाँ यह 5 × 4 + 15 × 6 = 110 है, और 10 मान हैं, इसलिए अनुमानित माध्य 11 है। पूरा पाठ: समूहित आँकड़ों का माध्य

अब तुम

एक बहुत छोटे मान से कौन-सा औसत मुश्किल से हिलता है?

एक बहुत बड़े मान से कौन-सा औसत मुश्किल से हिलता है?

औसत काफ़ी क्यों नहीं है?

एक औसत आँकड़ों का केंद्र देता है, पर यह नहीं बताता कि मान कितने फैले हुए हैं, और अक्सर फैलाव ही मायने रखता है। फैलाव के माप इसे दो आँकड़ा-समुच्चयों से दिखाता है। दो खिलाड़ियों के तीन खेलों के स्कोर लीजिए: एक ने 9, 10 और 11 बनाए, दूसरे ने 1, 10 और 19। दोनों के माध्य 10 हैं, क्योंकि 9 + 10 + 11 = 30 और 1 + 10 + 19 = 30। फैलाव का सबसे सादा माप परिसर है, सबसे बड़ा मान घटा सबसे छोटा मान। पहले खिलाड़ी का परिसर 11 − 9 = 2 है और दूसरे का 19 − 1 = 18, तो पहला खिलाड़ी कहीं ज़्यादा स्थिर है। एक भरोसेमंद खिलाड़ी चुनने वाले कोच को फैलाव चाहिए। परिसर की एक कमज़ोरी है: एक असामान्य मान उसे बहुत बड़ा बना सकता है, इसीलिए अक्सर उसकी जगह अंतश्चतुर्थक परिसर इस्तेमाल किया जाता है। परिसर निकालने से पहले आँकड़ों को क्रम में रखिए, क्योंकि बिना क्रम की सूची अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे मान छुपा देती है।

$\frac{20}{40} \Rightarrow \Rightarrow 20$

20/40 इससे नीचे हैं, इसलिए यह माध्यिका है

कुल के एक चौथाई पर आड़ा पढ़ो और मान तक नीचे आओ।

इनका औसत भी 4 है, पर ये कहीं ज़्यादा फैले हैं। पूरा पाठ: फैलाव के मापक

परिसर और अंतश्चतुर्थक परिसर परिसर के लिए इलाज लाता है। अंतश्चतुर्थक परिसर ऊपरी चतुर्थक घटा निचला चतुर्थक है, तो वह आँकड़ों के बीच वाले आधे का बयान है — और एक चरम मान उसे छू नहीं सकता।

परिसर है 30 − 2 = 28। बीच का आधा, 22 − 14 = 8, अंतर-चतुर्थक परिसर है। पूरा पाठ: परिसर और IQR

शतमक विचार को आम बनाता है: 90वाँ शतमक वह मान है जिसके नीचे 90% आँकड़े पड़ते हैं। चतुर्थक पुराने नाम से 25वाँ, 50वाँ और 75वाँ शतमक ही हैं — और बढ़त-चार्ट, परीक्षा के ग्रेड और रिस्पॉन्स-टाइम के लक्ष्य असल में शतमकों में ही लिखे जाते हैं।

संचयी बारंबारता और चतुर्थक

संचयी बारंबारता गिनतियों का चालू योग है, और उसे हर वर्ग की ऊपरी सीमा के सामने आलेखित करने पर वह S-आकार का वक्र मिलता है जो किसी भी मान के लिए “इससे नीचे कितने थे” का उत्तर देता है।

चलते हुए जोड़ो और वक्र कभी नहीं गिरता: 3, फिर 11, फिर 17। पूरा पाठ: संचयी बारंबारता

वक्र से चतुर्थक चतुर्थकों को सीधे उसी से पढ़ता है: खड़ी धुरी पर कुल के चौथाई तक चढ़िए, वक्र तक पार जाइए, और मान तक उतर आइए। आधे और तीन-चौथाई पर वही चाल माध्यिका और ऊपरी चतुर्थक देती है।

40 का चौथाई 10 है। 10 पर आर-पार पढ़ते हुए वक्र तक जाओ, फिर नीचे अक्ष तक: वही निचला चतुर्थक है। पूरा पाठ: वक्र से चतुर्थक

संचयी योग को वर्ग की ऊपरी सीमा पर आलेखित कीजिए, मध्य-बिंदु पर कभी नहीं। जो बयान आलेखित हो रहा है वह है “इस मान पर या नीचे के सब” — और वह सिर्फ़ वर्ग के सिरे पर सच है। मध्य-बिंदुओं पर आलेखन पूरा वक्र बाईं ओर सरका देता है और उससे पढ़ा हर चतुर्थक आधे वर्ग जितना ग़लत होता है — ऐसी ग़लती जो कभी ग़लती नहीं दिखती, क्योंकि वक्र फिर भी जँचती शक्ल में निकलता है।

अब तुम

सबसे कम मान 4 है और सबसे ज़्यादा 29। परिसर क्या है?

रीडिंग 14, 18 और 23 हैं, और 48 पर एक बहिष्करण है। परिसर क्या है?

बॉक्स प्लॉट क्या दिखाता है?

एक बॉक्स प्लॉट पाँच संख्याएँ दिखाता है: न्यूनतम, निचला चतुर्थक, माध्यिका, ऊपरी चतुर्थक और अधिकतम। बॉक्स और व्हिस्कर निचले चतुर्थक से ऊपरी चतुर्थक तक डिब्बा खींचता है, उसके अंदर माध्यिका अंकित करता है, और सबसे छोटे व सबसे बड़े मान तक मूँछें चलाता है। आँकड़े 3, 5, 6, 8, 10, 11 और 14 के लिए, माध्यिका 8 है। निचला चतुर्थक निचले आधे का बीच वाला मान है, 3, 5 और 6, तो वह 5 है, और ऊपरी चतुर्थक 10, 11 और 14 का बीच वाला मान है, तो वह 11 है। डिब्बा 5 से 11 तक चलता है, और उसकी लंबाई, 11 − 5 = 6, अंतश्चतुर्थक परिसर है। डिब्बा आँकड़ों का बीच वाला आधा थामे रहता है। एक विपथी मान, जो डिब्बे से डेढ़ डिब्बा-लंबाई से ज़्यादा दूर हो, अलग क्रॉस से खींचा जाता है। पाँचों संख्याएँ बाईं से दाईं ओर पढ़िए: वे क्रम में होनी चाहिए।

$\frac{q _{3} - q _{1}}{max - min} = \frac{10}{40} = 0.25$

हर फैलाव पर माध्यिका − q1 = q3 − माध्यिका, इसलिए सममिति संकेत है, प्रमाण कभी नहीं

बॉक्स के दोनों हिस्से बराबर रखो और चारों बैंड एक ही चौड़ाई के बनाओ।

$Q_{1} = 14.8, Q_{3} = 30.3, I QR = 15.5, Q_{3} + 1.5 I QR = 53.5$

बॉक्स Q₁ से Q₃ तक फैला है, IQR = 15.5, और चाहे यह कितना भी संकरा हो जाए, यह बीस में से दस मानों को समेटे रहता है: संकरा बॉक्स घनत्व दर्शाता है, कम बिंदु नहीं

बीच के दस मानों को एक साथ समेटिए, फिर सबसे ऊपरी मान को बाड़ के पार धकेलिए

पाँच संख्याएँ इसे खींचती हैं: सबसे छोटा, निचला चतुर्थक, माध्यिका, ऊपरी चतुर्थक और सबसे बड़ा। पूरा पाठ: बॉक्स प्लॉट

इसकी क़ीमत तुलना में है। एक ही धुरी पर दो बॉक्स प्लॉट एक नज़र में दिखा देते हैं कि कौन-सा समूह ऊँचा है, कौन ज़्यादा एक-सा, और कोई एक तरफ़ लुढ़का तो नहीं — तीन सवाल जो शब्दों में एक पैराग्राफ़ लेते।

बॉक्स प्लॉट से सामान्यता आँकना उस पढ़त को एक परख बना देता है: सममित बँटवारे में माध्यिका डिब्बे के बीच बैठती है और मूँछें मिलती-जुलती लंबाई की होती हैं — तो एक सिरे की ओर धकेली माध्यिका, या एक लंबी मूँछ, तिरछेपन की गवाही है। यह आगे मायने रखता है, क्योंकि कई सांख्यिकीय विधियाँ चलने से पहले सममिति मानती हैं।

यहाँ बक्से का दायाँ आधा बाएँ का तीन गुना है, और दाईं मूँछ लंबी है। पूरा पाठ: बॉक्स प्लॉट से सामान्यता जाँचना

अब तुम

निचला चतुर्थक 12 है और ऊपरी चतुर्थक 24 है। बक्सा कितना चौड़ा है?

100 मानों को बॉक्स प्लॉट के रूप में खींचा गया है। उनमें से कितने बक्से के अंदर बैठते हैं?

मानक विचलन कैसे निकलता है, और उसी तरह क्यों?

मानक विचलन निकालने के लिए, हर मान की माध्य से दूरी निकालिए, उन दूरियों का वर्ग कीजिए, वर्गों का माध्य निकालिए, और वर्गमूल लीजिए। मानक विचलन इसे क़दम दर क़दम बनाता है। 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 और 9 के लिए, माध्य है 40 ÷ 8 = 5। 5 से दूरियाँ हैं −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 और 4, और उनके वर्ग जोड़ने पर 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32 मिलता है। वर्गों का माध्य 32 ÷ 8 = 4 है, और मानक विचलन उसका वर्गमूल है, 2। वर्ग करना इसलिए ज़रूरी है क्योंकि माध्य से ऊपर और नीचे की दूरियाँ हमेशा एक-दूसरे को काटकर 0 बना देती हैं, और वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता। वर्गमूल उत्तर को आँकड़ों की इकाइयों में वापस लाता है। यदि हर मान एक ही हो, तो मानक विचलन 0 होता है। उत्तर परिसर से कभी अधिक नहीं होना चाहिए।

$\sum \sum (x - x ˉ) = 0, \frac{\sum \sum ∣ x - x ˉ ∣}{4} = 3$

हर आँकड़ा-समूह के लिए Σ(x − x̄) = 0, इसलिए औसत कुछ मापे इससे पहले चिह्न हट जाते हैं

तराजू के दोनों ओर अलग-अलग लंबाई बनाने की कोशिश करो।

$σ σ^{2} = \frac{1}{5} \sum \sum (x_{i} - μ μ)^{2} = \frac{59.2}{5} = 11.84, (x_{5} - μ μ)^{2} = 31.4$

(x − μ)² = 31.4: दोगुनी दूरी का अर्थ है दोगुनी पट्टी और चार गुना वर्ग, इसलिए एक दूर का मान कई पास के मानों पर भारी पड़ता है

अंतिम मान को तब तक खींचिए जब तक उसका वर्ग 100 तक न पहुँच जाए

1, 5 और 9 का माध्य वही है, पर वे कहीं ज़्यादा फैले हुए हैं, इसलिए मानक विचलन बड़ा है। पूरा पाठ: मानक विचलन

पहले एक नरम चचेरा भाई आता है। माध्य निरपेक्ष विचलन बिना वर्ग किए दूरियों का औसत लेता है — निरपेक्ष मानों से धन-ऋण का कटना रोककर। समझाना आसान है और सचमुच काम का है — और वही उस सवाल को पैना करता है: यह चलता है, तो वर्ग किसलिए?

5 से उनकी दूरियाँ हैं 4, 2, 1 और 5। दूरी का कोई चिह्न नहीं होता। पूरा पाठ: माध्य निरपेक्ष विचलन

वर्ग करना उसके लिए चुना गया है जो वह आगे मुमकिन करता है, आँकड़ों के साथ जो करता है उसके लिए नहीं। निरपेक्ष मान बीजगणित में बेढब हैं, शून्य पर उनका अवकलज नहीं है, और उनसे बने प्रसरण जुड़ते नहीं। वर्गित विचलन जुड़ते हैं: स्वतंत्र मात्राओं के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों का योग है। वही एक गुण है जिस पर पूरा सामान्य बँटवारा, मानक त्रुटि और परिकल्पना-परीक्षण खड़ा है — और वह अर्थ-सुगमता की क़ीमत के लायक़ है।

जैसी हैं वैसे जोड़ने पर वे कटकर 0 हो जाती हैं। वर्ग करने पर वे 4, 0 और 4 हैं, जो कट नहीं सकतीं। पूरा पाठ: मानक विचलन: असमूहित

मानक विचलन: अवर्गीकृत व्यावहारिक सूत्र चलाता है — वर्गों का माध्य घटा माध्य का वर्ग — जो आँकड़ों में दो चक्करों के बजाय एक में वही उत्तर देता है। मानक विचलन: वर्गीकृत उसे बारंबारता सारणियों तक बढ़ाता है — हर वर्गित मान को उसकी बारंबारता से तौलकर, और वर्गीकृत आँकड़ों के लिए वर्गीकृत माध्य वाली अनुमान-चेतावनी समेत मध्य-बिंदु बरतकर।

अब तुम

2, 2, 10, 10 का मानक विचलन क्या है?

माध्य 6 है और एक मान 4 है। माध्य से वर्गित दूरी क्या है?

दो आँकड़ा-समुच्चयों की ईमानदार तुलना कैसे हो?

दो आँकड़ा-समुच्चयों की निष्पक्ष तुलना करने के लिए, दोनों से केंद्र का एक और फैलाव का एक माप बताइए, दोनों के लिए एक ही जोड़ी इस्तेमाल कीजिए, और कहिए कि आँकड़ों के संदर्भ में इन संख्याओं का मतलब क्या है। आँकड़ा-समुच्चयों की तुलना ठीक यही ढाँचा अभ्यास कराती है। माध्यिका के साथ अंतश्चतुर्थक परिसर जाता है, और माध्य के साथ मानक विचलन। मान लीजिए दो कक्षाएँ एक ही परीक्षा देती हैं। कक्षा A की माध्यिका 62 है और अंतश्चतुर्थक परिसर 10; कक्षा B की माध्यिका 55 है और अंतश्चतुर्थक परिसर 25। एक अच्छी तुलना कहती है कि कक्षा A ने औसतन ज़्यादा अंक पाए, 62 − 55 = 7 अंकों से, और उसके अंक ज़्यादा स्थिर थे, क्योंकि उसका बीच वाला आधा 25 की बजाय 10 अंकों में फैला है। जब किसी आँकड़ा-समुच्चय में विपथी मान हों, तो माध्यिका वाली जोड़ी इस्तेमाल कीजिए, जिसे विपथी मान मुश्किल से हिलाते हैं। जो तुलना चार संख्याएँ गिनाकर कोई नतीजा नहीं निकालती, वह कुछ नहीं बताती, तो अपनी तुलना दोबारा पढ़िए और सुनिश्चित कीजिए कि हर संख्या कक्षाओं के बारे में कुछ कहती हो।

$A : \frac{74}{110} = 67.3%, B : \frac{58}{110} = 52.7%$

A दोनों पंक्तियाँ जीतता है और कुल में A% > B%, क्योंकि दोनों मिश्रण मिलते-जुलते हैं

A को दोनों पंक्तियों में बेहतर और कुल में खराब बनाओ।

उसी पैमाने पर, टीम B की माध्यिका भी 20 है, पर उसका बक्सा कहीं ज़्यादा चौड़ा है। पूरा पाठ: आँकड़ा समूहों की तुलना

इन्हें मिला देना — माध्यिका और मानक विचलन — मज़बूत केंद्र को कमज़ोर फैलाव के सामने रखता है, तो विपथी मान बयान के आधे हिस्से को छू जाता है।

और फिर वह जाल है जो हर सही हिसाब से बच निकलता है। सिम्पसन का विरोधाभास दो समूह दिखाता है जहाँ इलाज A हल्के मामलों में भी इलाज B से जीतता है और गंभीर में भी — फिर भी कुल मिलाकर हार जाता है, क्योंकि समूहों के आकार अलग थे और गंभीर मामले एक इलाज के हिस्से ज़्यादा गए। अंकगणित में कहीं कुछ ग़लत नहीं। सबक़ यह है कि मिली-जुली आबादी का औसत उसमें के किसी के बारे में नहीं है।

हर पंक्ति जोड़ो: A ने 110 में 49 ठीक किए, B ने 110 में 83 — 45% बनाम 75%। पूरा पाठ: सिम्पसन का विरोधाभास

अब तुम

दो समूहों का औसत दोनों में 25 है। एक का फैलाव कहीं छोटा है। कौन-सा ज़्यादा स्थिर है?

दो समूहों का औसत दोनों में 30 है। एक का फैलाव कहीं छोटा है। कौन-सा ज़्यादा स्थिर है?

ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

वर्गीकृत माध्य को सटीक बताना। वह मध्य-बिंदु की मान्यता पर खड़ा अनुमान है। यही कहिए।
माध्यिका से पहले क्रम में रखना भूलना। बिना क्रम की सूची का बीच आँकड़ों का बीच नहीं है।
माध्यिका के साथ मानक विचलन जोड़ना। माध्यिका के साथ अंतश्चतुर्थक परिसर, माध्य के साथ मानक विचलन — जोड़ी या तो मज़बूत रखिए या नहीं, पर आधी-आधी नहीं।
संचयी बारंबारता को मध्य-बिंदुओं पर आलेखित करना। चालू योग सिर्फ़ ऊपरी सीमा पर सच है।
दो समूहों की तुलना अकेले केंद्र पर करना। बराबर माध्य और बेमेल फैलाव वही सूरत है जहाँ पूरी कहानी फैलाव है।
विपथी मान को खटकता है इसलिए मिटा देना। जब तक शक की कोई दर्ज वजह न हो, विपथी मान एक आँकड़ा है।

यह आगे कहाँ ले जाता है

ये सारांश वह शब्दावली हैं जिसमें बाक़ी सांख्यिकी लिखी जाती है। चार्ट और प्रदर्शनों की गाइड (अंग्रेज़ी में) वे तस्वीरें सँभालती है जिनसे ये पढ़े जाते हैं — संचयी बारंबारता वक्र और आयतचित्र समेत। हर विषय के पास एक की जगह दो मापें आ जाएँ, तो सवाल बनता है कि वे साथ चलती हैं या नहीं — प्रकीर्ण, सहसंबंध और समाश्रयण की गाइड (अंग्रेज़ी में)। और प्रतिदर्श के माध्य और मानक विचलन से उस आबादी के बारे में कुछ कहना जिसे आपने नापा नहीं — यही पूरा विषय प्रतिचयन और आगमन की गाइड (अंग्रेज़ी में) का है।

आपकी बारी

तीन सवाल — जो जवाब लगे उस पर टैप कीजिए।

4, 7 और 10 का माध्य

3, 9 और 5 की माध्यिका

12, 4 और 9 का परिसर

प्रश्न और उत्तर

माध्य की जगह माध्यिका कब बरतनी चाहिए?: जब भी आँकड़ों में चरम मान या लंबी पूँछ हो, माध्यिका बरतिए — माध्य विपथी मानों की ओर खिंच जाता है और माध्यिका नहीं। घरों की क़ीमतें और आमदनियाँ जाने-पहचाने उदाहरण हैं: मुट्ठी भर बहुत बड़े मान माध्य को उससे ऊपर खींच लेते हैं जो ज़्यादातर लोग जीते हैं, जबकि माध्यिका बीच वाले घर का नाम लेती है। माध्य तब बरतिए जब बँटवारा लगभग सममित हो, या जब कुल चाहिए — माध्य को गिनती से गुणा करने पर योग वापस मिल जाता है।
मानक विचलन असल में क्या नापता है?: किसी मान की माध्य से आम तौर की दूरी। हर मान का माध्य से विचलन निकालिए, उनका वर्ग कीजिए ताकि धन और ऋण कट न जाएँ, वर्गों का औसत लीजिए, फिर मूल इकाइयों में लौटने के लिए वर्गमूल। 4 सेमी का मानक विचलन कहता है कि मान औसतन माध्य से क़रीब 4 सेमी दूर बैठते हैं। यह आँकड़ों की ही इकाई में है — प्रसरण के बजाय इसी को इसीलिए बताया जाता है।
अंतश्चतुर्थक परिसर कैसे निकालें?: आँकड़ों को क्रम में रखिए, माध्यिका निकालिए, फिर निचले आधे की माध्यिका और ऊपरी आधे की माध्यिका। वही निचला और ऊपरी चतुर्थक हैं, और अंतश्चतुर्थक परिसर है ऊपरी घटा निचला। यह आँकड़ों के बीच वाले आधे का फैलाव बताता है और चरम मानों को पूरी तरह अनदेखा करता है — ठीक इसीलिए इसे माध्य के बजाय माध्यिका के साथ बताया जाता है।
वर्गीकृत बारंबारता सारणी से ठीक-ठीक माध्य क्यों नहीं निकलता?: क्योंकि वर्गीकरण मूल मानों को फेंक देता है। 20 से 30 दर्ज हुए वर्ग में मान 21 पर गुच्छे हो सकते हैं या 29 पर, और सारणी को अब पता नहीं कौन-सा सच है। मानक विधि मानती है कि हर मान अपने वर्ग के मध्य-बिंदु पर बैठा है — औसतन वाजिब, पर सटीक नहीं, इसलिए वर्गीकृत माध्य हमेशा अनुमान कहकर बताया जाता है। यही सीमा बहुलक-वर्ग को अकेला बहुलक नहीं, एक वर्ग बनाती है।
सिम्पसन का विरोधाभास क्या है?: जब कोई रुझान हर उप-समूह में टिकता है और समूहों को मिलाते ही पलट जाता है। एक इलाज हल्के मामलों में भी दूसरे से ऊँची सफलता-दर रख सकता है और गंभीर मामलों में भी, फिर भी कुल मिलाकर नीची — क्योंकि समूहों के आकार और गंभीरताएँ बहुत अलग थीं। यह विरोधाभास चेतावनी है कि मिली-जुली आबादी का औसत उसमें के किसी व्यक्ति का गुण नहीं है, और आँकड़े मिलाना ऐसा नतीजा गढ़ सकता है जिसे कोई हिस्सा नहीं मानता।
दो आँकड़ा-समुच्चयों की तुलना ढंग से कैसे करें?: केंद्र का एक माप और फैलाव का एक माप मिलाइए, और संदर्भ में कहिए कि हर एक का मतलब क्या है। एक ही माध्य अंक वाली दो कक्षाएँ पूरी तरह अलग हो सकती हैं अगर एक का मानक विचलन 3 है और दूसरी का 15 — दूसरी में सबसे तगड़े भी हैं और सबसे कमज़ोर भी। सिर्फ़ औसत बताने वाली तुलना ने आधा सवाल हल किया है — और वही आधा, जो दिलचस्प फ़र्क़ छिपा लेता है।

Mr. Chalk