औसत और फैलाव
औसत बहुतों की जगह खड़ी एक संख्या है, और पूरा विषय इस बारे में है कि वह अदला-बदली किस क़ीमत पर होती है। दो आँकड़ा-समुच्चय एक माध्य बाँट सकते हैं और उनमें और कुछ भी साझा न हो — इसीलिए आँकड़ों के बारे में हर संजीदा बयान केंद्र और फैलाव दोनों बताता है, और इसीलिए अकेला “औसत” सांख्यिकी का सबसे चुपचाप गुमराह करने वाला लफ़्ज़ है।
कौन-सा औसत बरतें?
आँकड़े सममित हों तो माध्य, तिरछे हों या विपथी मान रखते हों तो माध्यिका, और आँकड़े कोटिपरक हों — जहाँ कोई अंकगणित करने को है ही नहीं — तो बहुलक। केंद्रीय प्रवृत्ति के माप वह पाठ है जो इस चुनाव को आदत से उठाकर सोचा-समझा बनाता है।
माध्य कुल को बराबर बाँट देता है, और माध्यिका और बहुलक बाक़ी दोनों देता है: क्रम में रखे आँकड़ों का बीच वाला मान माध्यिका है, और सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान बहुलक।
वेतन 22, 24, 25, 26 और 180 (हज़ारों में): माध्य 55.4 है, माध्यिका 25. उस दफ़्तर में 55.4 के आस-पास भी कोई नहीं कमाता — ईमानदार सार माध्यिका है।
सारणी से औसत
एक ही मान बार-बार आए, तो सबको गिनाना फ़िज़ूल है। बारंबारता सारणी से औसत छोटा रास्ता दिखाता है: हर मान को उसकी बारंबारता से गुणा कीजिए, गुणनफल जोड़िए, और कुल बारंबारता से भाग दीजिए। माध्यिका बारंबारताओं के चालू योग से आती है — बीच वाली चीज़ जहाँ गिरती है।
वर्गीकृत आँकड़े कठिन हैं, क्योंकि अलग-अलग मान जा चुके हैं। वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य मानता है कि हर मान अपने वर्ग के मध्य-बिंदु पर है — जिससे उत्तर एक अनुमान बनता है, ईमानदार अनुमान, और उसे यही कहकर लिखना चाहिए। बहुलक-वर्ग दूसरी तरफ़ यही समांतर बात करता है: वर्गीकृत आँकड़ों में सबसे भरा वर्ग बताया जा सकता है, अकेला बहुलक-मान नहीं।
औसत काफ़ी क्यों नहीं है?
क्योंकि वह इस बारे में कुछ नहीं कहता कि आँकड़े उसके गिर्द कितने कसकर गुच्छे हैं — और अक्सर दिलचस्प हिस्सा वही है। फैलाव के माप यह दलील दो ऐसे आँकड़ा-समुच्चयों से देता है जो माध्य बाँटते हैं और ज़रा भी एक जैसे नहीं दिखते।
सबसे सादा फैलाव परिसर है — सबसे बड़ा घटा सबसे छोटा — और उसकी कमज़ोरी ज़ाहिर है: एक सनकी मान उसे तय कर देता है। परिसर और अंतश्चतुर्थक परिसर इलाज लाता है। अंतश्चतुर्थक परिसर ऊपरी चतुर्थक घटा निचला चतुर्थक है, तो वह आँकड़ों के बीच वाले आधे का बयान है — और एक चरम मान उसे छू नहीं सकता।
शतमक विचार को आम बनाता है: 90वाँ शतमक वह मान है जिसके नीचे 90% आँकड़े पड़ते हैं। चतुर्थक पुराने नाम से 25वाँ, 50वाँ और 75वाँ शतमक ही हैं — और बढ़त-चार्ट, परीक्षा के ग्रेड और रिस्पॉन्स-टाइम के लक्ष्य असल में शतमकों में ही लिखे जाते हैं।
संचयी बारंबारता और चतुर्थक
संचयी बारंबारता गिनतियों का चालू योग है, और उसे हर वर्ग की ऊपरी सीमा के सामने आलेखित करने पर वह S-आकार का वक्र मिलता है जो किसी भी मान के लिए “इससे नीचे कितने थे” का उत्तर देता है।
वक्र से चतुर्थक चतुर्थकों को सीधे उसी से पढ़ता है: खड़ी धुरी पर कुल के चौथाई तक चढ़िए, वक्र तक पार जाइए, और मान तक उतर आइए। आधे और तीन-चौथाई पर वही चाल माध्यिका और ऊपरी चतुर्थक देती है।
बॉक्स प्लॉट क्या दिखाता है?
पाँच संख्याएँ, और उनके बीच बँटवारे की शक्ल। बॉक्स और व्हिस्कर न्यूनतम, निचला चतुर्थक, माध्यिका, ऊपरी चतुर्थक और अधिकतम खींचता है — डिब्बा आँकड़ों का बीच वाला आधा थामे, और मूँछें छोरों तक पहुँचती हुईं।
इसकी क़ीमत तुलना में है। एक ही धुरी पर दो बॉक्स प्लॉट एक नज़र में दिखा देते हैं कि कौन-सा समूह ऊँचा है, कौन ज़्यादा एक-सा, और कोई एक तरफ़ लुढ़का तो नहीं — तीन सवाल जो शब्दों में एक पैराग्राफ़ लेते।
बॉक्स प्लॉट से सामान्यता आँकना उस पढ़त को एक परख बना देता है: सममित बँटवारे में माध्यिका डिब्बे के बीच बैठती है और मूँछें मिलती-जुलती लंबाई की होती हैं — तो एक सिरे की ओर धकेली माध्यिका, या एक लंबी मूँछ, तिरछेपन की गवाही है। यह आगे मायने रखता है, क्योंकि कई सांख्यिकीय विधियाँ चलने से पहले सममिति मानती हैं।
मानक विचलन कैसे निकलता है, और उसी तरह क्यों?
हर मान की माध्य से दूरी निकालिए, उन दूरियों का वर्ग कीजिए, औसत लीजिए, और वर्गमूल निकालिए। मानक विचलन इसे इसी क्रम में बनाता है ताकि हर क़दम के साथ उसका कारण जुड़ा रहे।
पहले एक नरम चचेरा भाई आता है। माध्य निरपेक्ष विचलन बिना वर्ग किए दूरियों का औसत लेता है — निरपेक्ष मानों से धन-ऋण का कटना रोककर। समझाना आसान है और सचमुच काम का है — और वही उस सवाल को पैना करता है: यह चलता है, तो वर्ग किसलिए?
मानक विचलन: अवर्गीकृत व्यावहारिक सूत्र चलाता है — वर्गों का माध्य घटा माध्य का वर्ग — जो आँकड़ों में दो चक्करों के बजाय एक में वही उत्तर देता है। मानक विचलन: वर्गीकृत उसे बारंबारता सारणियों तक बढ़ाता है — हर वर्गित मान को उसकी बारंबारता से तौलकर, और वर्गीकृत आँकड़ों के लिए वर्गीकृत माध्य वाली अनुमान-चेतावनी समेत मध्य-बिंदु बरतकर।
दो आँकड़ा-समुच्चयों की ईमानदार तुलना कैसे हो?
दोनों से केंद्र का एक और फैलाव का एक माप बताइए, जोड़ी एक-सी रखिए, और कहिए कि आँकड़ों के संदर्भ में इन संख्याओं का मतलब क्या है। आँकड़ा-समुच्चयों की तुलना ठीक यही ढाँचा घुटवाता है, क्योंकि जो तुलना चार संख्याएँ गिनाकर कोई नतीजा नहीं निकालती, वह कुछ नहीं कमाती।
एकरूपता मायने रखती है: माध्यिका के साथ अंतश्चतुर्थक परिसर जाता है, माध्य के साथ मानक विचलन। इन्हें मिला देना — माध्यिका और मानक विचलन — मज़बूत केंद्र को कमज़ोर फैलाव के सामने रखता है, तो विपथी मान बयान के आधे हिस्से को छू जाता है।
और फिर वह जाल है जो हर सही हिसाब से बच निकलता है। सिम्पसन का विरोधाभास दो समूह दिखाता है जहाँ इलाज A हल्के मामलों में भी इलाज B से जीतता है और गंभीर में भी — फिर भी कुल मिलाकर हार जाता है, क्योंकि समूहों के आकार अलग थे और गंभीर मामले एक इलाज के हिस्से ज़्यादा गए। अंकगणित में कहीं कुछ ग़लत नहीं। सबक़ यह है कि मिली-जुली आबादी का औसत उसमें के किसी के बारे में नहीं है।
ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है
- वर्गीकृत माध्य को सटीक बताना। वह मध्य-बिंदु की मान्यता पर खड़ा अनुमान है। यही कहिए।
- माध्यिका से पहले क्रम में रखना भूलना। बिना क्रम की सूची का बीच आँकड़ों का बीच नहीं है।
- माध्यिका के साथ मानक विचलन जोड़ना। माध्यिका के साथ अंतश्चतुर्थक परिसर, माध्य के साथ मानक विचलन — जोड़ी या तो मज़बूत रखिए या नहीं, पर आधी-आधी नहीं।
- संचयी बारंबारता को मध्य-बिंदुओं पर आलेखित करना। चालू योग सिर्फ़ ऊपरी सीमा पर सच है।
- दो समूहों की तुलना अकेले केंद्र पर करना। बराबर माध्य और बेमेल फैलाव वही सूरत है जहाँ पूरी कहानी फैलाव है।
- विपथी मान को खटकता है इसलिए मिटा देना। जब तक शक की कोई दर्ज वजह न हो, विपथी मान एक आँकड़ा है।
यह आगे कहाँ ले जाता है
ये सारांश वह शब्दावली हैं जिसमें बाक़ी सांख्यिकी लिखी जाती है। चार्ट और प्रदर्शनों की गाइड (अंग्रेज़ी में) वे तस्वीरें सँभालती है जिनसे ये पढ़े जाते हैं — संचयी बारंबारता वक्र और आयतचित्र समेत। हर विषय के पास एक की जगह दो मापें आ जाएँ, तो सवाल बनता है कि वे साथ चलती हैं या नहीं — प्रकीर्ण, सहसंबंध और समाश्रयण की गाइड (अंग्रेज़ी में)। और प्रतिदर्श के माध्य और मानक विचलन से उस आबादी के बारे में कुछ कहना जिसे आपने नापा नहीं — यही पूरा विषय प्रतिचयन और आगमन की गाइड (अंग्रेज़ी में) का है।
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आपकी बारी
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4, 7 और 10 का माध्य
3, 9 और 5 की माध्यिका
12, 4 और 9 का परिसर