तुल्य भिन्न और मिश्र भिन्न

अद्यतन 13 अक्टूबर 2026

यह पन्ना भिन्नों को उसी तरह चलता है जैसे ऐप उन्हें सिखाता है: एक सीढ़ी की तरह — किसी चीज़ को बराबर हिस्सों में काटने से लेकर एक भिन्न को दूसरी से भाग देने तक। आप भिन्नें कैसे जोड़ें का सीधा उत्तर लेने आए हों, तो भिन्न की गाइड ठीक वही देती है और कुछ नहीं; यह पन्ना पूरी चढ़ाई के लिए है, और उन पायदानों के लिए जो छूट जाते हैं — तुल्यता, मिश्र भिन्न, और राशियों के भिन्न भाग।

पूरी चीज़ को एक विचार थामे हुए है। नीचे की संख्या इकाई है, मात्रा नहीं। पाँचवें और आठवें हिस्से अलग-अलग नाप के टुकड़े हैं, और नीचे का लगभग हर नियम या तो गिनने से पहले टुकड़ों को एक नाप का करने के बारे में है, या उन्हें जान-बूझकर दोबारा काटने के बारे में।

भिन्नें शुरू कहाँ होती हैं

बराबर शब्द से। बराबर हिस्से बस इसी के बारे में है: चार में से तीन टुकड़े तीन चौथाई तभी हैं जब चारों टुकड़े एक नाप के हों — चार बेमेल टुकड़ों में कटा आकार चौथाइयाँ दिखा ही नहीं रहा। यही फ़र्क़ भिन्नों को बयान से उठाकर अंकगणित बनाता है।

आधे, चौथाई, तिहाई शुरुआती नाम रखता है, और ऊपर और नीचे वह जगह है जहाँ लिखावट आती है: नीचे की संख्या बताती है कि पूरे को कितने टुकड़ों में काटा गया, ऊपर की बताती है कि कितने आपके पास हैं। फिर समूह का भिन्न भाग वह छलाँग लगवाता है जो लोगों को पकड़ती है — भिन्न कटे हुए आकार का ही नहीं, चीज़ों के समूह का भी बयान हो सकती है। 12 गोटियों का आधा 6 है, और “पूरा” वे बारह हैं।

दो भिन्नें तुल्य किससे होती हैं?

दो भिन्न तुल्य होती हैं जब वे एक ही मात्रा बताती हैं, और अंश व हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग देने पर एक दूसरी में बदल जाती है। तुल्य भिन्न इसे एक पट्टी से दिखाता है: $\frac{3}{5}$3/5 के हर पाँचवें हिस्से को 3 बराबर टुकड़ों में काटिए, और अब पट्टी 15 में से 9 रंगे हुए टुकड़े दिखाती है, तो $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$3/5 = 9/15। रंगी हुई मात्रा हिली नहीं है; बस टुकड़े तिगुने हो गए हैं, हर एक तिहाई आकार का। इसीलिए यह नियम चलता है: अंश और हर को 3 से गुणा करना, $\frac{3}{3}$3/3 से गुणा करने जैसा है, जो 1 के बराबर है। भाग देना उलटी दिशा में उसी तरह चलता है, तो दोनों भागों को 3 से भाग देने पर $\frac{9}{15}$9/15 वापस $\frac{3}{5}$3/5 बन जाता है। यह तब बिगड़ता है जब आप हर भाग के साथ अलग-अलग करते हैं, या जोड़ देते हैं: $\frac{3}{5}$3/5 में हर भाग में 1 जोड़ने पर $\frac{4}{6}$4/6 बनता है, जो ज़्यादा है। जाँचने के लिए, आर-पार गुणा कीजिए: 3 × 15 = 45 और 5 × 9 = 45, तो दोनों भिन्न बराबर हैं।

$\frac{2}{3}=\frac{8}{12}($2/3 = 8/12 (दोनों × 4). $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100.

इसे उलटा चलाइए तो मिलता है सरलतम रूप — तब तक भाग देते जाइए जब तक कोई संख्या दोनों को न बाँटे, जो म.स.प. से एक ही बार भाग देने के बराबर है। $\frac{18}{24}÷6\to \frac{3}{4}$18/24 ÷ 6 → 3/4. वह गुणनखंड जल्दी ढूँढ़ना गुणनखंड और गुणज (अंग्रेज़ी में) के औज़ारों का काम है।

समान हर तुल्यता का दूसरी दिशा में इस्तेमाल है: भिन्न को सरल बनाने के बजाय दो भिन्नों को मिलवाना, ताकि उनकी गिनतियों की आख़िरकार तुलना या जोड़ हो सके।

दो भिन्नों की तुलना कैसे करें?

दो भिन्नों की तुलना करने के लिए, उन्हें एक ही हर से फिर लिखिए और अंशों की तुलना कीजिए: बड़ा अंश बड़ी भिन्न बताता है। $\frac{4}{5}$4/5 और $\frac{5}{7}$5/7 के लिए, 35वें इस्तेमाल कीजिए, क्योंकि 5 × 7 = 35: $\frac{4}{5}=\frac{28}{35}$4/5 = 28/35 और $\frac{5}{7}=\frac{25}{35}$5/7 = 25/35, तो $\frac{4}{5}$4/5 बड़ी है। एक जैसे आकार के टुकड़े बस गिने जा सकते हैं। जब अंश पहले से बराबर हों, तो नियम पलट जाता है: छोटा हर बड़ी भिन्न बताता है, क्योंकि कम कट बड़े टुकड़े छोड़ते हैं, तो $\frac{3}{4}$3/4, $\frac{3}{10}$3/10 से ज़्यादा है। आधे के विपरीत सिरों पर बैठी जोड़ी को दोबारा लिखने की ज़रूरत नहीं। हर अंश को दुगुना करके अपने हर से तुलना कीजिए: $\frac{3}{7}$3/7 और $\frac{5}{9}$5/9 के लिए, 3 × 2 = 6, 7 से कम है और 5 × 2 = 10, 9 से ज़्यादा है, तो $\frac{3}{7}$3/7 आधे से नीचे है, $\frac{5}{9}$5/9 ऊपर, और $\frac{5}{9}$5/9 बड़ी है। पहली जोड़ी जाँचने के लिए, आर-पार गुणा कीजिए: 4 × 7 = 28 और 5 × 5 = 25, और बड़ा गुणनफल $\frac{4}{5}$4/5 के साथ बैठता है।

नीचे बराबर। एक जैसी नीचे की संख्या: $\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$5/8 > 3/8, क्योंकि पाँच आठवें, तीन से ज़्यादा आठवें हैं।

ऊपर बराबर। एक जैसी ऊपर की संख्या: $\frac{3}{5}>\frac{3}{8}$3/5 > 3/8। दोनों तरफ़ तीन टुकड़े, पर पाँचवाँ हिस्सा बड़ा टुकड़ा है।

दोनों अलग। आधे से ज़्यादा सबसे तेज़ पहली जाँच है। $\frac{7}{16}$7/16 — 7 का दुगुना 14, 16 से नीचे, तो यह आधे से कम है।

भिन्नों का क्रम तीन या ज़्यादा को क्रम में रखता है — यहीं समान हर वैकल्पिक रहना बंद कर देता है: $\frac{2}{3}$2/3, $\frac{3}{5}$3/5, $\frac{7}{10}\to$7/10 → पंद्रहवें और दसवें नहीं पटते, तो तीसवें लीजिए $\to \frac{20}{30}$→ 20/30, $\frac{18}{30}$18/30, $\frac{21}{30}\to \frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.

जोड़ना और घटाना

मिलते हुए हर गिनकर जुड़ते हैं। समान हर वाली भिन्नों का जोड़: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$2/7 + 3/7 = 5/7, ठीक उसी वजह से जिससे दो मीटर और तीन मीटर पाँच मीटर हैं। इकाई जोड़ी नहीं जा रही; वही तो गिनतियों को जोड़ने लायक़ बनाती है।

पूरी व्याख्या, आकृतियों और सवालों के साथ: भिन्नों को कैसे जोड़ें और घटाएँ?।

विषम भिन्न और मिश्र भिन्न

विषम भिन्न वह है जिसका अंश हर के बराबर या बड़ा है — जिसका सीधा मतलब बस इतना है कि वह एक या उससे ज़्यादा की क़ीमत रखती है। विषम भिन्न यही बात कहता है कि $\frac{7}{4}$7/4 में कुछ ग़लत नहीं — सात चौथाइयाँ होती हैं, बस पूरे से ज़्यादा हैं।

मिश्र भिन्न उसी मात्रा को लिखने का दूसरा ढंग है: $\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$7/4 = 1 3/4 — एक पूरा और तीन चौथाई।

मिश्र भिन्न और विषम भिन्न दोनों बदलाव देता है, और दोनों महज़ भाग और गुणा हैं।

• विषम से मिश्र: अंश को हर से भाग दीजिए; भागफल पूर्ण भाग है, शेष ऊपर रहता है। $\frac{17}{5}\to 17÷5=3$17/5 → 17 ÷ 5 = 3 शेष $2\to 3\frac{2}{5}$2 → 3 2/5.
• मिश्र से विषम: पूर्ण × हर, ऊपर से अंश। $3\frac{2}{5}\to 3\times 5+2=17\to \frac{17}{5}$3 2/5 → 3 × 5 + 2 = 17 → 17/5.

मिश्र भिन्नों का जोड़-घटाव

पूर्णों और हिस्सों को अलग-अलग निपटाइए, फिर समेट लीजिए। $2\frac{1}{2}+1\frac{3}{4}\to 2+1=3$2 1/2 + 1 3/4 → 2 + 1 = 3, और $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$1/2 + 3/4 = 5/4 = 1 1/4, तो $4\frac{1}{4}$4 1/4.

घटाव वहीं बिगड़ता है, क्योंकि भिन्न वाला हिस्सा कभी-कभी नहीं उतरता। इलाज है उधार — ठीक स्तंभ वाले घटाव जैसा: एक पूरा लेकर टुकड़ों में बदल दीजिए। $3\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}\to$3 1/5 − 1 3/5 → एक पूरा पाँच पाँचवें बनाकर $\to 2\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{3}{5}$→ 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. पहले दोनों संख्याएँ विषम भिन्न बना लेना — $\frac{16}{5}-\frac{8}{5}=\frac{8}{5}$16/5 − 8/5 = 8/5 — उधार को पूरी तरह टाल देता है, और संख्याएँ अटपटी हों तो यही रास्ता ज़्यादा सुरक्षित है।

किसी राशि का भिन्न भाग कैसे निकालें?

किसी राशि का भिन्न भाग निकालने के लिए, राशि को नीचे की संख्या से भाग दीजिए, फिर ऊपर की संख्या से गुणा कीजिए। राशि का भिन्न भाग इसे हल करके दिखाता है: 60 का $\frac{3}{4}\to 60÷4=15\to 15\times 3=45$3/4 → 60 ÷ 4 = 15 → 15 × 3 = 45. 4 से भाग देने पर 60 का एक चौथाई मिलता है, यानी 15, और तीन चौथाई उसके तीन गुने हैं, 45। नीचे की संख्या बताती है कि कितने बराबर हिस्से बनाने हैं, और ऊपर की बताती है कि कितने लेने हैं। जब ऊपर की संख्या 1 हो, तो भाग देना ही पूरा काम है: 35 का $\frac{1}{5}$1/5 यानी 35 ÷ 5 = 7। जब राशि ठीक-ठीक नहीं बँटती, तो इसकी जगह पहले गुणा कीजिए: 10 का $\frac{2}{3}$2/3 यानी 2 × 10 = 20, फिर 20 ÷ 3, यानी $6\frac{2}{3}$6 2/3। कोई भी क्रम एक ही उत्तर देता है। जाँचने के लिए, हिस्सों को वापस जोड़िए: बचा हुआ चौथाई 15 है, और 45 + 15 = 60।

पहले भाग देने से संख्याएँ छोटी रहती हैं — दिमाग़ में करते समय यही मायने रखता है। मदद मिले तो क्रम पलटा जा सकता है — 3 × 60 = 180, फिर ÷ 4 = 45 — और दोनों रास्तों से एक ही उत्तर आना ग़ौर करने लायक़ है, क्योंकि यही वजह है कि “का” वाला नियम और गुणा का नियम एक ही नियम हैं।

भिन्नों का गुणा और भाग

भिन्न गुणा करने के लिए, अंशों को आपस में और हरों को आपस में गुणा कीजिए, समान हर की ज़रूरत नहीं: $\frac{5}{6}\times \frac{3}{10}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$5/6 × 3/10 = 15/60 = 1/4। किसी भिन्न से गुणा करना राशि का वह हिस्सा लेता है, तो तीन दशांश का पाँच छठा हिस्सा, दोनों भिन्नों से छोटा होता है। किसी भिन्न से भाग देने के लिए, उस भिन्न को उलट दीजिए और गुणा कीजिए: $\frac{2}{3}÷\frac{1}{9}=\frac{2}{3}\times \frac{9}{1}=\frac{18}{3}=6$2/3 ÷ 1/9 = 2/3 × 9/1 = 18/3 = 6। यह उलटाव इसलिए चलता है क्योंकि भाग यह पूछता है कि दो तिहाई में कितने नवें हिस्से समाते हैं, और हर तिहाई में 3 नवें हिस्से होते हैं, तो दो तिहाई में 6 समाते हैं। 1 से छोटी भिन्न से भाग देने पर हमेशा बड़ा उत्तर मिलता है, क्योंकि छोटा टुकड़ा कई बार समाता है। किसी मिश्रित संख्या को पहले अनुचित भिन्न बनाना होगा: $1\frac{1}{3}÷\frac{1}{3}$1 1/3 ÷ 1/3, $\frac{4}{3}\times \frac{3}{1}=\frac{12}{3}=4$4/3 × 3/1 = 12/3 = 4 बन जाता है। किसी भाग की जाँच के लिए, उत्तर को उस भिन्न से गुणा कीजिए जिससे आपने भाग दिया था: $6\times \frac{1}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$6 × 1/9 = 6/9 = 2/3।

भिन्नों का गुणा: सीधे आर-पार। $\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$2/3 × 4/5 = 8/15.

भिन्न से भाग सबसे अच्छा समाने के सवाल की तरह पढ़ा जाता है। $\frac{1}{2}÷\frac{1}{6}$1/2 ÷ 1/6 पूछता है कि आधे में कितने छठे समाते हैं — उत्तर तीन है, किसी भी पलटने से पहले दिखता हुआ। पलटना उसी सवाल का छोटा रास्ता है: $\frac{1}{2}\times \frac{6}{1}=3$1/2 × 6/1 = 3।

भिन्न को भिन्न से भाग आम सूरत सँभालता है, जहाँ समाना पूर्ण संख्या नहीं बैठता। $\frac{3}{4}÷\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1 7/8. दो पाँचवें, तीन चौथाई में लगभग-लगभग दो बार समाते हैं, और भिन्न वही अधूरा समाना है।

चार ग़लतियाँ जिनका नाम लेना ज़रूरी है

• हर जोड़ देना। $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$1/2 + 1/2 यानी 1, $\frac{2}{4}$2/4 नहीं। हर इकाई का नाम है; वह जमा नहीं होता।
• मिश्र भिन्न को वहीं की वहीं गुणा करना। $2\frac{1}{2}\times 3$2 1/2 × 3, $6\frac{1}{2}$6 1/2 नहीं है। पहले $\frac{5}{2}$5/2 बनाइए, फिर गुणा।
• सिर्फ़ एक पंक्ति को सरल करना। जो ऊपर किया, वही नीचे — वरना मान खिसक जाता है।
• गुणा से पहले समान हर खोजना। ग़लत नहीं, बस बेकार की मेहनत — गुणा को मिलती-जुलती इकाइयाँ नहीं चाहिए।

यह आगे कहाँ ले जाता है

जिस भिन्न का हर दस या सौ है वह दशमलव है, और जिसका हर सौ है वह प्रतिशत — एक ही मात्रा तीन लिखावटों में, जिसकी अगली कड़ी दशमलव, प्रतिशत और ब्याज (अंग्रेज़ी में) है। हिस्से की पूरे से नहीं, दो मात्राओं की आपसी तुलना अनुपात, दर और समानुपात (अंग्रेज़ी में) का विषय है। और किसी भिन्न का दशमलव रुकता है या हमेशा दोहराता है, इसका फ़ैसला उसके हर के अभाज्य गुणनखंड करते हैं — संख्या सिद्धांत (अंग्रेज़ी में) में।