연산 순서

몇 달에 한 번씩 인터넷을 뒤집어 놓는 식이 있습니다. 2 + 3 × 4. 댓글의 절반은 20이라 하고 절반은 14라 하는데, 맞는 쪽은 14입니다. 위원회가 표결로 정해서가 아니라, 3 × 4 는 애초에 두 개의 수가 아니라 하나의 묶음이었기 때문입니다.

이 글은 규칙을 세 단계로 보여 주고, 그 규칙이 존재하는 이유를 설명한 다음, 오답의 거의 전부를 만드는 두 가지 함정을 다룹니다.

규칙은 세 단계

1. 괄호가 먼저. 괄호 안은 바깥과 만나기 전에 정리됩니다.
2. 다음은 × 와 ÷ 를, 왼쪽부터. 한 층을 한 번에 훑습니다. (3² 같은 거듭제곱은 이 층 바로 위에 있습니다. 먼저 제곱하고, 그다음 곱합니다.)
3. 마지막으로 + 와 − 를, 왼쪽부터. 이것도 한 층, 한 번의 훑기입니다.

규칙은 이게 전부입니다. 학교에서 배우는 "괄호 → 곱셈·나눗셈 → 덧셈·뺄셈"도, 영어권의 PEMDAS나 BODMAS도, 같은 목록이 모자만 바꿔 쓴 것입니다.

이 순서가 있는 이유

괄호는 그 반대의 순간을 위해 있습니다. 덧셈을 먼저 하기를 원한다면, 그렇게 소리 내어 말하면 됩니다. (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20. 같은 세 수, 다른 문장입니다.

예제를 한 층씩

둘째 층이 셋째 층을 이깁니다 — 더하기 전에 곱하기

2 + 3 × 4 → 2 + 12 → 14

5 × 2 + 3 × 4 → 10 + 12 → 22 — 두 묶음을 먼저 풀고, 그다음에 더합니다.

괄호는 문장을 바꿉니다

(2 + 3) × 4 → 5 × 4 → 20

18 − (4 + 6) → 18 − 10 → 8

사칙연산이 한꺼번에

층의 순서대로 갑니다. 괄호, 그다음 × 와 ÷, 마지막에 + 와 −.

7 + 2 × 6 − 5 → 7 + 12 − 5 → 19 − 5 → 14

거듭제곱이 있을 때

3² + 4 × 5 → 9 + 20 → 29 — 제곱이 가장 먼저 풀리고(곱셈을 한 번 더 압축한 표기라 한 층 위에 있습니다), 그다음 ×, 마지막이 + 입니다.

이름을 붙여 둘 만한 함정 두 가지

• × 와 ÷ 를 서로 다른 층으로 읽기. × 와 ÷ 는 하나의 층이고 왼쪽부터입니다. + 와 − 도 마찬가지입니다. 8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16 이지 1이 아닙니다. 8 − 2 + 5 = 6 + 5 = 11 이지 1이 아닙니다. 곱셈을 나눗셈보다, 덧셈을 뺄셈보다 몰아서 먼저 하는 것은 존재하지 않는 우선순위를 지어내는 일입니다.
• 오른쪽에서 왼쪽으로 훑기. 같은 층 안에서는 왼쪽에서 오른쪽으로 갑니다. 이것이 중요해지는 것은 ÷ 와 − 일 때뿐이고, 바로 거기가 사람들이 데는 자리입니다.

앱에서 제대로 배우기

Math Challenge는 이것을 한 수업에 하나의 생각이라는 사다리로 가르칩니다. 모든 수업에 그림과 직접 풀어 보는 문제가 붙어 있습니다.

• 괄호가 먼저 — 괄호는 어디를 먼저 계산할지 지정합니다.
• 덧셈·뺄셈보다 곱셈·나눗셈이 먼저 — 괄호가 없으면 × 와 ÷ 를 왼쪽부터 먼저.
• 괄호와 사칙연산 전부 — 규칙의 전체: 괄호, × 와 ÷, 그리고 + 와 −.

세 수업 모두 앱의 학습 탭에 있는 기본 연산 안에 있습니다.

게임으로 연습하기

연산 순서 주제는 여기 나온 모양을 그대로 냅니다. a + b × c, 묶음이 둘인 a × b + c × d, 괄호가 있는 (a + b) × c, 그리고 어려움 단계에서는 네 항짜리 식과 $2^2+3\times 4$2² + 3 × 4 같은 거듭제곱까지. 맞힐수록 난도가 올라갑니다.

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