크기가 같은 분수와 대분수
이 페이지는 앱이 가르치는 방식 그대로 분수를 따라갑니다. 무언가를 똑같은 조각으로 자르는 데서 시작해 분수를 분수로 나누는 데까지 오르는 사다리입니다. 분수 덧셈은 어떻게 하지라는 물음의 곧장 가는 답을 찾아왔다면 분수 가이드가 딱 그것만 답합니다. 이쪽은 전체 진행, 그리고 건너뛰어지기 쉬운 계단들 — 크기가 같음, 대분수, 양의 몇 분의 몇 — 을 위한 페이지입니다.
전체를 붙드는 생각은 하나입니다. 아래 수는 양이 아니라 단위입니다. 5분의 1과 8분의 1은 크기가 다른 조각이고, 아래의 거의 모든 규칙은 세기 전에 조각 크기를 맞추는 일, 또는 일부러 다시 자르는 일에 대한 것입니다.
분수는 어디서 시작하는가
"똑같은"이라는 말에서 시작합니다. 똑같은 부분은 다른 어떤 이야기도 아닙니다. 네 조각 중 셋이 4분의 3인 것은 네 조각이 같은 크기일 때뿐이고, 크기가 제각각인 넷으로 잘린 도형은 애초에 4분의 1을 보여 주고 있지 않습니다. 이 구별이 분수를 설명이 아니라 산수로 만듭니다.
절반·4분의 1·3분의 1이 처음 몇 개에 이름을 붙이고, 위와 아래에서 표기가 도착합니다. 아래는 전체를 몇 조각으로 잘랐는지, 위는 몇 개를 가졌는지. 그리고 묶음의 몇 분의 몇이 사람들을 붙잡는 도약을 넘습니다 — 분수는 잘라 놓은 도형만이 아니라 물건의 묶음도 나타낼 수 있습니다. 바둑돌 12개의 절반은 6개이고, "전체"는 열둘입니다.
두 분수의 크기가 같다는 것은?
위아래에 같은 수를 곱해도 값은 달라지지 않습니다. 크기가 같은 분수는 그림으로 이유를 보여 줍니다. 조각마다 같은 수의 더 작은 조각으로 잘리고 그 비율만큼 더 많이 가져가니, 손안의 양은 건드려지지 않습니다.
2/3 = 8/12 (둘 다 × 4). .
거꾸로 돌리면 가장 간단한 꼴이 됩니다 — 둘 다 나누는 수가 없어질 때까지 나누는 것인데, 최대공약수로 한 번에 나누는 것과 같습니다. . 그 수를 빨리 찾는 일은 약수와 배수(영어) 연장통의 몫입니다.
공통분모는 크기가 같음을 반대 방향으로 쓴 것입니다. 분수를 더 간단하게 만드는 대신 두 분수를 맞춥니다 — 그래야 마침내 개수를 비교하고 더할 수 있습니다.
두 분수는 어떻게 비교하는가
조각을 같은 크기로 만든 뒤 개수를 비교합니다. 아래 세 지름길은 전부 그 방법에서 한 걸음을 건너뛴 것입니다.
아래가 같다. 같은 분모: 5/8 > 3/8. 8분의 1이 다섯이면 셋보다 많으니까요.
위가 같다. 같은 분자: 3/5 > 3/8. 어느 쪽이든 조각은 셋이지만 5분의 1이 더 큰 조각입니다. 거꾸로처럼 느껴지지만 그렇지 않은 비교입니다 — 많이 자를수록 조각은 작습니다.
둘 다 다르다. 절반보다 많다가 가장 빠른 첫 확인입니다. 분자를 두 배로 해서 분모와 견줍니다. — 7의 두 배는 14, 16 아래이니 절반보다 작다. 하나는 절반 위, 하나는 아래라면 그것으로 끝입니다.
분수 순서 세우기는 셋 이상을 차례로 놓습니다. 여기서 공통분모는 선택이기를 그만둡니다. , , 7/10 → 15분의 1로도 10분의 1로도 안 맞으니 30분의 1로 → 20/30, , 21/30 → 3/5 < 2/3 < 7/10.
덧셈과 뺄셈
분모가 맞으면 세기만으로 더해집니다. 같은 분모의 덧셈: . 2미터 더하기 3미터가 5미터인 것과 같은 이유입니다. 단위는 더해지지 않습니다. 단위는 개수를 더할 수 있게 해 주는 쪽입니다.
다른 분모의 덧셈은 준비 한 걸음을 거친 같은 덧셈입니다. 1/3 + 1/4 → 12분의 1로 → 4/12 + 3/12 = 7/12. 두 분모를 곱하면 쓸 만한 공통분모는 언제나 나옵니다. 최소공배수는 나중에 약분할 거리가 줄어들 뿐입니다.
분수의 뺄셈도 똑같은 동작입니다. .
가분수와 대분수
가분수는 위가 아래보다 크거나 같은 분수이고, 그저 1 이상의 값이라는 뜻입니다. 가분수는 의 어디도 잘못되지 않았음을 짚습니다 — 4분의 1 일곱 개는 존재합니다. 다만 온전한 하나보다 많을 뿐입니다.
대분수는 같은 양의 다른 쓰기입니다. , 온전한 하나와 4분의 3.
대분수와 가분수가 두 방향의 변환을 다 줍니다. 둘 다 그냥 나눗셈과 곱셈입니다.
- 가분수에서 대분수로: 위를 아래로 나눈다. 몫이 자연수 부분, 나머지는 위에 남는다. 나머지 .
- 대분수에서 가분수로: 자연수 × 분모, 더하기 분자. .
대분수의 덧셈과 뺄셈
자연수 부분과 조각 부분을 따로 다루고, 마지막에 정리합니다. , 그리고 , 그래서 .
어긋나는 곳은 뺄셈입니다. 조각 부분이 모자랄 때가 있기 때문입니다. 고치는 법은 빌리기 — 세로셈 뺄셈과 정확히 같아서, 온전한 하나를 조각으로 풉니다. 3 1/5 − 1 3/5 → 하나를 5분의 5로 빌려 → 2 6/5 − 1 3/5 = 1 3/5. 먼저 둘 다 가분수로 바꾸면 — — 빌리기가 통째로 사라지므로, 수가 까다로울 때는 그쪽이 안전한 길입니다.
양의 몇 분의 몇은 어떻게 구하는가
아래로 나눈 다음 위를 곱합니다. 양의 몇 분의 몇이 통째로 풀어 보입니다. 60의 .
먼저 나누면 수가 작게 유지되고, 머릿속으로 할 때는 그것이 중요합니다. 도움이 되면 순서는 뒤집을 수 있습니다 — 3 × 60 = 180, 그다음 ÷ 4 = 45 — 그리고 두 길 모두 같은 답에 닿는 것은 눈여겨볼 만합니다. '~의' 규칙과 곱셈 규칙이 같은 하나의 규칙인 이유가 그것이기 때문입니다.
분수의 곱셈과 나눗셈
사람들이 긴장하는 쪽인데, 사실 쉬운 쪽입니다 — 어느 쪽에도 공통분모가 필요 없습니다.
분수의 곱셈: 가로로 그대로. .
분수로 나누기는 들어맞기 질문으로 읽는 것이 가장 좋습니다. 은 절반에 6분의 1이 몇 개 들어가는지 묻고, 답은 셋 — 뒤집기 전부터 보입니다. 뒤집기는 그 질문의 지름길입니다: .
분수를 분수로 나누기가 들어맞음이 자연수가 아닌 일반의 경우를 맡습니다. . 4분의 3에 5분의 2는 두 번이 채 안 들어가고, 그 분수가 덜 들어간 부분입니다.
이름을 붙여 둘 만한 실수 넷
- 분모를 더하기. 은 1이지 이 아닙니다. 분모는 단위의 이름이고, 쌓이지 않습니다.
- 대분수를 그 자리에서 곱하기. 은 이 아닙니다. 먼저 로 바꾼 뒤 곱합니다.
- 한 줄만 약분하기. 위에 한 일은 아래에도 합니다. 아니면 값이 움직입니다.
- 곱하기 전에 공통분모 만들기. 틀린 것은 아니고 그저 헛수고입니다 — 곱셈은 단위를 맞출 필요가 없습니다.
다음으로 이어지는 곳
아래가 10이나 100인 분수는 소수이고, 아래가 100인 분수는 백분율 — 같은 양의 세 가지 표기이고, 소수·백분율·이자에서 이어집니다. 부분과 전체가 아니라 두 양끼리 비교하는 이야기는 비·비율·비례의 주제입니다. 그리고 분수의 소수가 멈추는지 영원히 반복되는지는 분모의 소인수가 결정합니다 — 수론(영어)에서.
게임으로 연습하기
Math Challenge는 위의 모든 계단을 그림 수업으로 가르칩니다 — 크기가 같음의 그림, 대분수 변환, 나눗셈의 들어맞기 논증 — 사다리 전체 800개 넘는 수업 카탈로그 안에서. 연습 문제가 틀리면 앱은 근처의 다른 대목이 아니라 그 문제가 나온 바로 그 대목을 다시 가르칩니다.
분수 주제는 덧셈과 뺄셈을 단련합니다. 다루기 좋은 분모로 시작해 맞힐수록 폭이 넓어집니다.
이제 당신 차례
세 문제 — 정답이라고 생각하는 것을 누르세요.
3/4 과 같은 것은?
7/2 을 대분수로 나타내면
2 2/5 를 가분수로 나타내면