計算の順序

数か月おきにネットで言い争いになる式があります。2 + 3 × 4。20 だという声と 14 だという声が半々に分かれ、正しいのは 14 のほうです。だれかが多数決で決めたからではなく、3 × 4 ははじめから二つの数ではなく、ひとかたまりだったからです。

このページでは、決まりを三段階で示し、次にそれがある理由、最後に誤答のほとんどを生む二つの落とし穴を扱います。

決まりは三段階

1. まずかっこ。かっこの中は、外と関わる前に片づきます。
2. 次に × と ÷ を、左から。ひとつの段を、ひとなでで。（$3^2$3² のような累乗はこの段のすぐ上にあります。先に2乗して、それからかけます。）
3. 最後に + と − を、左から。これもひとつの段、ひとなでです。

決まりはこれで全部です。学校で習う「かっこ → かけ算・わり算 → たし算・ひき算」も、英語圏の PEMDAS や BODMAS も、同じこの一覧に別の帽子をかぶせたものです。

なぜこの順番なのか

かっこは、その反対の場面のためにあります。たし算を先にしてほしいときは、そう声に出して言う。(2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20。同じ三つの数で、別の文です。

例題を、一段ずつ

第2段が第3段に勝つ — 足す前にかける

2 + 3 × 4 → 2 + 12 → 14

5 × 2 + 3 × 4 → 10 + 12 → 22 — 二つの包みを先にほどいてから、たし算です。

かっこは文を変える

(2 + 3) × 4 → 5 × 4 → 20

18 − (4 + 6) → 18 − 10 → 8

四則が一度に出てくる式

段の順に進めます。かっこ、次に × と ÷、最後に + と −。

7 + 2 × 6 − 5 → 7 + 12 − 5 → 19 − 5 → 14

累乗が入るとき

3² + 4 × 5 → 9 + 20 → 29 — 2乗がいちばん先にほどけ（これはかけ算をさらに縮めた書き方で、一段上にいます）、次に ×、最後に + です。

名前をつけておく値打ちのある落とし穴、二つ

• × と ÷ を別々の段として読むこと。× と ÷ はひとつの段で、左から順です。+ と − も同じです。8 ÷ 2 × 4 = 4 × 4 = 16 であって 1 ではありません。8 − 2 + 5 = 6 + 5 = 11 であって 1 ではありません。かけ算をわり算より先に、たし算をひき算より先にまとめてやるのは、存在しない優先順位を作り出しています。
• 右から左へなでてしまうこと。同じ段の中では、左から右へ進みます。効いてくるのは ÷ と − のときだけで、そこがちょうど、みんなが火傷する場所です。

アプリでしっかり学ぶ

Math Challenge はこれを、1レッスンに1つの考えという段ばしごで教えます。どのレッスンにも図と、試してみる問題がついています。

• かっこが先 — かっこは、どこを先に計算するかを指定します。
• たし算・ひき算より、かけ算・わり算が先 — かっこがなければ、× と ÷ を左から先に。
• かっこと四則すべて — 決まりの全体：かっこ、× と ÷、そして + と −。

三つとも、アプリの「学ぶ」タブの基本の計算レッスンにあります。

ゲームで練習する

計算の順序のトピックは、ここに出てきた形をそのまま出題します。a + b × c、二つの包みがある a × b + c × d、かっこつきの (a + b) × c、そしてハードでは四項の式や $2^2+3\times 4$2² + 3 × 4 のような累乗つき。正解するほど難しさが上がります。

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